金融工程第11章 在险价值

第十一章在险价值许多机构对他们从事的一些较新型的交易，通常是与衍生证券有关的交易，可能带来怎样的后果全然不知。在对如何使投资变得更透明的研究过程中，金融界发展出了一种度量投资或投资组合下方（downside）风险的概念，即在险价值ValueatRisk，简称VaR）。第一节在险价值的定义•一、在险价值的定义•在险价值：是按某一确定的置信度，对某一给定的时间期限内不利的市场变动可能造成投资组合的最大损失的一种估计。•通俗地说VaR是要在给定的置信度（典型的置信度为95％、97.5％、99％等等）下衡量给定的资产或负债（即投资组合）在一段给定的时间内（针对交易活动的时间可能选取为一天，而针对投资组合管理的时间则可能选取为一个月）可能发生的最大（价值）损失。VaR是一种对可能实现的价值损失的估计,而不只是一种“账面”损失估计。•例：假设一个基金经理希望在接下来的10天时间内存在95%概率其所管理的基金价值损失不超过$1,000,000。则可以将其写作：•其中为投资组合价值的变动。用符合表示,•其中为置信度,在上述的例子中是95%Prob(-$1,000,000)5%VProb(VaR)1%VXV%X•二、选择合适的VaR参数•要使用VaR就必须选择定义中的两个参数——时间长度T和置信度X%。•（一）时间长度•在计算VaR时有一个隐含的假设就是投资组合在所选择的时间内不会发生变化。在选择合适的时间长度参数时必须考虑下列三个主要因素：•1.新交易发生的频率•2.收集市场风险数据的频率•3.对风险头寸套期保值（对冲）的频率•（二）置信度X%•在计算VaR中通常使用的置信度是95％、97.5％或99％。•95％置信度的含意是预期100天中只有5天的损失会超过对应的VaR值。同理，97.5％的置信度表示100天中预期只有2天半的时间会出现损失超过其VaR。•VaR并没有告诉我们在可能超过VaR损失的时间内（如95％置信度的5/100天中；或99％的1/100天中）的实际损失会是多少。•VaR的定义除了告诉我们损失大于某一水平的可能性之外并没有提供任何关于整个收益/损失分布状况方面的信息。•图11.2具有与图11.1相同VaR，但不同的尾部•三、VaR的使用•基本上可以说，任何暴露在金融风险下的机构都应该应用VaR。VaR的最大特点是：•①它用一个单一的数字捕捉住了风险的一个重要方面；•②它容易理解；•③它询问简单的问题:“情况究竟有多糟糕”?•根据VaR应用的历史发展，可以将其应用做如下划分：•1、被动式地应用：信息报告。•2、防御式地应用：控制风险。•3、积极式地应用：管理风险。•VaR正被全球广泛的公司机构所应用。归结起来，它们包括：•1、金融机构•金融机构通常需要处理大量的不同金融风险来源以及许多复杂的金融工具。大大提高了风险管理的效率。•2、监管机构•对金融机构审慎监管要求金融机构为防范金融风险保证达到最低资本金要求。一种标准风险度量。•3、非金融机构•在险现金流分析（cashflowatriskanalysis）能为企业提供可能面临资金短缺的临界值。•4、机构投资者•机构投资者现在也开始采用VaR来管理他们的金融风险。尤其是在险资本（capitalatrisk）的概念已被机构投资者广泛接受。•在险价值的技术正不断被大量采用，并得到不断发展。它主要针对的是:•1)金融市场风险;•2)VaR是在假定正态分布的市场环境中计算出来的,这意味着不考虑像市场崩盘这类极端的市场条件。•因此,实际上,VaR度量的是机构日常经营期间预期能够发生的情况。•VaR的计算至少需要下列数据:1）投资组合中所有资产的现价和波动率，2）资产之间的相关关系。•如果资产是可交易的,可以从市场得到资产的价格（这种做法被称为盯市，markingtomarket），否则盯模（markingtomodel）。第二节单一资产的在险价值计算•假设有某一股票，其价值为S，年波动率为σ。我们想要知道在接下来一个星期内具有99%确定性的最大可能损失是多少。•在图11.3中体现了一个星期时间中收益率的可能分布状况。•如何估计VaR?•首先，假定股票收益率是正态分布的。由于时间期限非常短,可以合理地假定均值为零。•图11.3将来股票收益率的分布•一、波动率换算•在计算VaR时，将波动率表达成日波动率或周波动率。严格来说，应该将定义成一天中连续复利收益率的标准差。•在实务中，通常假定它是一天百分比变动的标准差。对于股票这样具有活跃交易市场的证券计算的时间期限是按交易日天数来进行计算的。因此有：252552yeardayweekdayyearweek•二、单个资产在险价值（VaR）的计算•目的是计算出对应1%=(100-99)%分布最左边的尾部位置。•计算标准正态分布中的对应位置,由于任何一个正态分布都可以通过因子换算来得到。即N(x)=0.01，其中为标准正态分布的累计函数。设为的逆函数（如图11.4所示），则：•即：99%置信度对应于均值的2.33个标准差。•一般地，如果时间期限是（以天为单位），而要求的置信度是X％,如果持有价值为S的股票，则VaR被确定为：•（11.2）()N()N()N(0.01)2.3263xNVaR-(1)daySNXT％置信度偏离均值的标准差数99%2.32634298%2.05374897%1.8807996%1.75068695%1.64485390%1.281551表11.1置信度与均值离差之间的关系•图11.4标准正态分布累积分布函数的逆函数•对于较长时间的VaR度量•收益率的标准差按时间的平方根比例变化，但均值按时间本身的比例变化。•对于较长的时间期限，收益率（如同人们所希望的）以时间的比例量向右移。因此，对于较长的时间度量，表达式(11.2)应该考虑对资产价值的漂移加以修正。如果这个漂移率为μ，那么(11.2)式变成：•（11.3）VaR(1)daySTNXT％•例11.1•我们持有一个价值为$100万的X公司的股票头寸，X公司股票的日波动率为3%(约为年48%)，假定该投资组合的价值变动是正态分布的并且投资组合价值的预期变动为零(这对很短的时间期限是正确的)，计算10天时间置信度为99％的在险价值。•解：•在这个例子中我们使用T=10和X=99，，•S=$1,000,000。也就是说我们关心的是10天内置信度为99%的可能最大损失。根据公式（11.2），有VaR：0.03dayVaR-(1)1,000,0000.03(0.01)1030,000(2.33)10221,043.21daySNXTN％第三节投资组合的在险价值计算•如果假定：投资组合的价值变化与市场标的变量的价值变化是线性相关的；并且市场标的变量的价值变化是正态分布的。则我们只要知道投资组合中所有资产的波动率及它们之间的相关系数，那么我们能为整个的投资组合计算VaR。•一、线性模型•设投资组合由M个资产所组成。第i个资产的价值为，波动率是，而第i个资产和第j个资产之间的相关系数是(其中•=1)。因此，该投资组合价值一天的变动为：•(11.4)•其中为第i个资产一天的价值变动率，•而为常数。1MiiiPxiiiiiSiix/iiixSSiiS•投资组合的方差为：•••（11.5）••（11.6）2112212MMPijijijjiMiiijijijiij投资组合的VaR是：112i1VaR(1%)(1%)VaRVaRVaRMMPPijijijjiMijijiijNXTNXT•例11.2•某一基金持有的投资组合由$100万美元投资于X公司股票和$200万投资于Y公司股票构成。X公司股票的日波动率为3％，而Y公司股票的日波动率为2％，并且X公司股票与Y公司股票收益率之间的相关系数为0.5。计算该投资组合10天时间置信度为99％的在险价值（VaR）。•解：在这个例子中，，•而，。另外，N=10和X=99。用公式（11.6）我们有（以百万美元表示）：•所以该投资组合的VaR为$448,184。1,000,000XXS2,000,000YYS0.03X0.02Y0.5XY112222VaR(1%)(1%)1010.0320.02210.0320.020.52.333.16227770.06082760.448184MMPijijijjiNXTN线性模型的适用范围线性模型显然只适用于那些投资组合的价值与构成该组合的市场变量呈线性相关的情况，这些情况包括：1.股票的投资组合；2.债券的投资组合；3.外汇的投资组合；4.商品实物的投资组合；5.外汇远期合约的投资组合；6.利率互换和货币互换的投资组合；7.由上述工具共同构成的投资组合。远期和互换虽然是金融衍生工具，但它们都可以分解成相应的各种零息票债券交易第四节衍生工具的在险价值•估计包含衍生证券在内的投资组合的VaR关键在于，即使基本标的证券价格的变动是正态的，衍生证券本质上的非线性就意味着衍生证券价格的变动可能同正态分布相去甚远。•然而，如果所关心的是基本标的证券价格一个非常小的变化（比如在一个很短的时间内），可以用期权的delta来近似投资组合对基本标的证券价格变化的敏感度。•对于较大的变动，可能需要采用某种高阶近似。•一、Delta近似•先考虑一个由单一的标的证券S的衍生证券组成的投资组合。期权或期权投资组合对标的证券的敏感度为Delta，用表示。•则有：•其中f是期权的价值，S是基本标的证券的价值。令•近似地我们有•如果基本标的证券价格变动分布的标准差是，那么期权价格变动分布的标准差为。fSdSdxSdfdSSdxSTST•对于存在着多个基本标的市场变量时，类似地有•其中是第i种基本标的市场变量的价格，Δi为该投资组合关于第i种基本标的市场变量的Delta值。•与方程（11.4）对应的有：•其中。因此，方程（11.5）可以用来计算的方差或标准差。iiiidfSdxiS1iiidfdxiiiSdf•对包括期权在内的投资组合的VaR的估计式:•这里是投资组合相对第i个资产的变动率。11VaR(1%)MMPijijijjiNXTi•二、Delta-Gamma近似•对于基本标的证券价格的微小移动delta近似值是令人满意的。而对于较大的变动，更高阶的近似可以达到更好的效果，这就要将Gamma效应或凸性效应结合进去。•假如投资组合由一个股票的期权组成。基本标的证券价格的变动•与期权价值变动之间的关系是：•由于有假定•其中取自一个标准正态分布dSdf22122fffdfdSdSdtSStdSSdtSdt•这样有•它还可重写作•(11.7)•对于一阶项，期权的随机价值只是基本标的证券价值的一种简单比例关系。对于二阶项，由于S的确定性漂移率和期权的Theta，•存在一个确定性的漂移率。然而，更重要的是Gamma效应引入了一项使的随机成分是非线性的。2222122ffffdfSdtSSdtSSSt22212dfSdtSSdtdfS•图11.3期权Delta近似分布、期权Delta/Gamma近似分布与标的证券分布的对照•三、二次方程模型•考虑一个基于单个资产的期权组合，设该资产价格为S，投资组合的Delta为，Gamma为。对投资组合价值变化运用Taylor展开式有：•（11.8）•设•公式（11.8）可表示成：•将上式扩展到包括M个市场变量的投资组合的情况，则公式变成：••（11.9）22221122ffdfdSdSdSdSSSdS