线性代数第三章矩阵的初等变换

第三章矩阵的初等变换与线性方程组知识点回顾：克拉默法则结论1如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解,而且解是唯一的.（P.22定理3）结论1′如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.设11112211211222221122(1)nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1)方程个数等于未知量个数；(2)系数行列式不等于零.线性方程组的解受哪些因素的影响？11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbbAx§1矩阵的初等变换例1：求解线性方程组一、消元法解线性方程组三种变换：交换方程的次序，记作；以非零常数k乘某个方程，记作；一个方程加上另一个方程的k倍，记作.其逆变换是：结论：1.由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后的方程组同解.2.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运算，未知数并未参与运算．iji×ki＋kjiji×ki+kjiji÷ki－kj定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换：对调两行，记作；ijrr以非零常数k乘某一行的所有元素，记作；irk某一行加上另一行的k倍，记作.ijrkr其逆变换是：ijrrirkijrkr;ijrr;irk.ijrkr把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义．矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．初等变换初等行变换初等列变换增广矩阵结论：对原线性方程组施行的变换可以转化为对增广矩阵的变换.备注带有运算符的矩阵运算，用“=”．例如：矩阵加法＋数乘矩阵、矩阵乘法×矩阵的转置T（上标）方阵的行列式|∙|不带运算符的矩阵运算，用“～”．例如：初等行变换初等列变换AB有限次初等行变换有限次初等列变换~rAB行等价，记作~cAB列等价，记作二、矩阵的初等变换AB有限次初等变换~AB矩阵A与矩阵B等价，记作矩阵之间的等价关系具有下列性质：反身性；对称性若，则；传递性若，则．~AA~AB~,~ABBC~BA~AC510104011030001300000B411214011100001300000B行阶梯形矩阵：1.可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2.每个台阶只有一行；3.阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.12rr23rr510104011030001300000B行最简形矩阵：4.非零行的第一个非零元为1;5.这些非零元所在的列的其它元素都为零.10000010000010000000F标准形矩阵：6.左上角是一个单位矩阵，其它元素全为零.34cc412ccc5123433cccc行阶梯形矩阵rmnOEFOO标准形矩阵由m、n、r三个参数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.行最简形矩阵标准形矩阵三者之间的包含关系任何矩阵行最简形矩阵行阶梯形矩阵标准形矩阵有限次初等行变换有限次初等列变换有限次初等变换结论有限次初等行变换定义：n阶单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等方阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.(1)对调单位阵的两行（列）；(2)以常数k≠0乘单位阵的某一行（列）；(3)以k乘单位阵单位阵的某一行（列）加到另一行（列）．三、初等方阵0000000000000000000011111000000000000000000001111150000000000000000011110100E50000000000000000011110100E35rr001000000135cc0010000001(1)对调单位阵的第i,j行（列），记作E5(3,5)记作Em(i,j)．000000000000000001111000k000000000000000001111000k50000000000000000011110100E50000000000000000011110100E3rk3ck00001(2)以常数k≠0乘单位阵第i行（列），记作E5(3(k))记作Em(i(k))．000000000000000001111100k000000000000000000011111k50000000000000000011110100E50000000000000000011110100E35rrk35cck00001(3)以k乘单位阵第j行加到第i行,记作E5(35(k))记作Em(ij(k))．以k乘单位阵第i列加到第j列．53cck000000000000000000011111k?两种理解！结论(,)mmnEijA把矩阵A的第i行与第j行对调，即.ijrr(,)nnmAEij把矩阵A的第i列与第j列对调，即.ijcc(())mmnEikA以非零常数k乘矩阵A的第i行，即.irk(())nnmAEik以非零常数k乘矩阵A的第i列，即.ick(())mnmEijkA把矩阵A第j行的k倍加到第i行，即.ijrkr(())nnmAEijk把矩阵A第i列的k倍加到第j列，即.jickc定理3.2设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.口诀：左行右列.定理3.3方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使A=P1P2…,Pl．这表明，可逆矩阵的标准形矩阵是单位阵.其实，可逆矩阵的行最简形矩阵也是单位阵．推论2方阵A可逆的充要条件是.~rAE推论1方阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=B.，有时，由当lPPPAA210,11111EAPPPll,111111AEPPPll及EPPPAPPPllll11111111111AEEAPPPll11111.)(21AEEAEAnn就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对.,3431223211AA求设解例3103620012520001321100343010122001321EA122rr133rr21rr23rr11110001252001120121rr23rr111100563020231001312rr325rr312rr325rr）（22r）（13r.111253232311A11110025323010231001）（22r）（13r.1BA矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵E)()(11BAEBAA)(BABA1即初等行变换例4.341352,343122321,BABAXX，其中使求矩阵解.1BAXA可逆，则若343431312252321)(BA1226209152052321311009152041201311006402023001122rr133rr21rr23rr312rr325rr，311003201023001.313223X）（22r）（13r311006402023001312rr325rr.1CAY即可得作初等行变换，也可改为对),(TTCA,1作初等列变换，则可对矩阵如果要求CACAY,CA1CAE列变换),)(,(),1TTTTCAECA（行变换TT1C)(AYT即可得,C)(T1TA.Y即可求得§2矩阵的秩一、矩阵秩的定义定义：在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式．显然，m×n矩阵A的k阶子式共有个．kkmnCC概念辨析：k阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式与元素a12相对应的余子式2123123133aaMaa相应的代数余子式矩阵A的一个2阶子块12132223aaaa矩阵A的一个2阶子式12132223aaaa21231212123133(1)aaAMaa111213212223313233aaaaaaaaa111213142122232431323334aaaaaaaaaaaa定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．规定：零矩阵的秩等于零．222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa矩阵A的一个3阶子式111213212223313233aaaaaaaaa矩阵A的2阶子式如果矩阵A中所有2阶子式都等于零，那么这个3阶子式也等于零．111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa定义：设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)．根据行列式按行（列）展开法则可知，矩阵A中任何一个r+2阶子式（如果存在的话）都可以用r+1阶子式来表示．如果矩阵A中所有r+1阶子式都等于零，那么所有r+2阶子式也都等于零．事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．因此矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数．规定：零矩阵的秩等于零．矩阵A的秩就是A中非零子式的最高阶数．显然，若矩阵A中有某个s阶子式不等于零，则R(A)≥s；若矩阵A中所有t阶子式等于零，则R(A)t．若A为n阶矩阵，则A的n阶子式只有一个，即|A|．当|A|≠0时，R(A)=n;可逆矩阵（非奇异矩阵）又称为满秩矩阵．当|A|=0时，R(A)n;不可逆矩阵（奇异矩阵）又称为降秩矩阵．若A为m×n矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．R(AT)=R(A)．矩阵A的一个2阶子式TD矩阵AT的一个2阶子式111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa12132223aaaaDAT的子式与A的子式对应相等，从而R(AT)=R(A)．112131122232132333142434TaaaaaaAaaaaaa12221323aaaa例：求矩阵A和B的秩，其中123235471A