开口和闭口圆柱壳屈曲和振动微分方程

闭口和开口圆柱薄壳的屈曲和振动微分方程南京工业大学岩土工程[e-mail]1.闭口圆柱薄壳的屈曲微分方程2.闭口圆柱薄壳的振动微分方程3.开口圆柱薄壳的屈曲微分方程4.开口圆柱薄壳的振动微分方程1.闭口圆柱壳屈曲微分方程圆柱壳稳定方程通常采用比较简单的Donnell(唐奈)方程(1933)，得到的结果也比较简单而且精度满足要求。一基本假定：1。薄壳：t/R1/15~1/202。与壳体厚度相比，侧向挠度很小；3。材料均匀、各向同性并且符合虎克定律；4。弯曲前垂直于中面的直线，弯曲后仍然是直线并且保持与中面相垂直－直法线假设；5。壳体是一个理想的圆柱壳；6。横截面上的荷载是均匀分布并且同轴加载。屈曲前：薄膜力(中面力)屈曲后：除了薄膜力外，还有弯曲力(弯矩、扭矩和横向剪力)假定Qx、Qy在x方向和y方向分量很小略去它们的影响，则壳体沿x、y方向的平衡方程式与板的平衡方程式相同。)11(0yNxNxyx)21(0xNyNxyy0X0Y沿z方向平衡必须考虑曲率的影响，由于曲率的影响，Ny在z方向分量为：)31(1dxdyRNyNy、Nxy及Nyx在z方向分量为零。圆柱壳微体所有的中面力在z方向分量之和为：)41()]1(2[22222dxdyRywNyxwNxwNyxyx横向剪力在z轴方向的合力与板相同，为：)61(0yxyyQxMyM)71(0xxyxQyMxM)51(dxdyyQxQyx0xM0yM将式(1－6)与(1－7)代入式(1－5)，得)81()2(22222dxdyyMyxMxMyxyx将(1－4)和(1－8)相加，并令其等于零，得：)91(0)1(222222222222RywNyxwNxwNyMyxMxMyxyxyxyx将Mx、My和Mxy用w表示buuu0bvvv00ww壳体内任意一点位移下标“0”表示中面位移；下标“b”表示弯曲位移应变也分成两部分xbxx0yby0xybxyxy0)101()1(12)1(23222222222EtDyxwDMxwywDMywxwDMxyyx)()(21200axwxux沿x方向应变位移关系对于小变形，第二项可以略去：)111(00xux沿y方向)(00byvy受曲率影响产生的应变：对于小变形：)()(''cRwRdRddwRABABBA因此圆柱壳在小变形下沿y方向的应变位移关系为：)121(00Rwyvy中面剪应变不受壳曲率影响：)131(000xvyuxy中面力下薄板与圆柱壳都属于平面应力问题，因此薄板中二维应力应变关系式也适用于圆柱壳，因此圆柱壳中面力与位移的关系为：)141()1(2)(1)(10000200020xyxyxyxyyyyxxxEttNEttNEttN)141()1(2)(1)(10000200020xyxyxyxyyyyxxxEttNEttNEttN将(1-11)、(1-12)、(1-13)代入(1－14)得：)151()()1(2)1()(1)(1002002002xvyuEtNxuRwyvEtNRwyvxuEtNxyyx为第二类中面力。起的中面力，所以称只都是屈曲引和、给出的中面力－引起的。那么也是屈曲、定位移是由于屈曲引起的。假上式中位移xyyxNNNvuw)151(00中面力小。类中面力通常比第一类为第一类中面力。第二称经产生引起的，在屈曲前就已另一类中面力是由荷载,为、、力。则总的中面和、中面力为设屈曲前出现的第一类xyyxxyyxNNNPPP)161()()1(2)1()(1)(1002002002xyxyxyxyyyyyxxxxPxvyuEtPNNPxuRwyvEtPNNPRwyvxuEtPNN前面(1－1)、(1－2)和(1－9)平衡方程中中面力是指总的中面力。用位移表示平衡微分方程。把(1－16)和(1－10)代入(1－1)、(1－2)和方程(1－9)，得：)171(0212102202202xwRyxvyuxu)181(01212102202202ywRyxuxvyv)191(0)(2)1)(()()2(222224422444yxwNPywRNPxwNPywyxwxwDxyxyyyxx相比是有限值。与微小的，但相比是与。因为虽然略去但对于第三项，则只能，、可以略去相比与相比、与中，方程22221,)191(ywRPNywNNNNPNPyyyxyxxyxyxx所以，可以将方程(1－19)简化为：)201(021)(1)1()2(200222224422444yxwPRxuRwyvEtywRPxwPywyxwxwDxyyx方程(1－17)、(1－18)和(1－20)组成一组含有三个未知量的三个方程式，称为圆柱壳屈曲微分方程。满足这组方程的中面力为壳的临界荷载，记为Pxcr、Pycr和Pxycr。板的平衡方程只有一个，是关于z方向的平衡方程，另两个关于x方向和y方向的平衡方程，由于忽略了第二类中面力，方程与z方向的平衡方程无关。圆柱壳的第二类中面力不能忽略，体现在(1－19)中保留了Ny和1/R项，形成三个平衡方程互相依赖，必须联立求解。将(1－17)、(1－18)和(1－20)简化成一个单一的只含位移w的方程式。:)171()181(22222三个方程式，求得得到三个方程式，由这，分别作用于式和，用－作用于式用yxyx)211(1233304yxwRxwRu)(222222224yxyx）＝（式中：:)181()171(22222式，由此解得也得到相应的三个方程，分别作用于式和，用－作用于式用yxyx)221(12332304ywRyxwRv，有作用于方程再用算子)201(4)(0)1()1()2(4040422222248awRxuyvREtyxwPywPxwPwDxyyx式得到一个八阶线性方程式，后代入式作用，对式作用最后，对)()221()211(ayx)231(0)2(4422222248xwREtyxwPywPxwPwDxyyx此方程称为Donnell方程，可以用来计算各种情况下圆柱壳的临界荷载。1轴压圆柱壳的临界应力一用Donnell方程计算临界应力的经典解答研究对象：半径为R，厚度为t，长度为l两端简支轴压圆柱壳由于只有荷载Px，并且Px＝－xt，所有Donnell方程(1-23)化为)247(04422248xwREtxwtwDx简支边界条件：)257(0,022xwwlx时，选取挠曲函数)267(sinsin0Rynlxmww其中m为x方向的半波数，n为y方向的半波数，w0是最大挠度值。为了使计算简化，令：Rnl则式(1-26)可以写成：)271(sinsin0lylxmww将式(1-27)代入(1-24)，得：)281(0)(222264424228mmltlmREtmlDx参数：各项，并引入下列两个除式用)281(8lD212)1(Rtl22Dtlkxx可得：)291(0)(122222424422mmkmmz其中：是Batdorf参数，是无量纲参数，代表了圆柱壳的外形特征，用来区分长壳、短壳还是中等长度壳。kx是壳的屈曲系数。由方程(1-29)，解得)301(122224222222mmmmkx出当求导并令结果等零，得）（对最小值。将式对于临界应力，需求2222)301(mmkx)311(1221422222mm时，kx有最小值。把式(1-31)代入(1-30)，求得)321(342xk由此得到临界应力)331()1(312REtcr对于钢材＝0.3)341(605.0REtcr式(1-34)给出了用Donnell方程计算轴压圆柱壳临界应力的经典解答。下面分析(1-34)的适用范围。由式(1-31)求出)351())12((212412mm不能为虚数，因此0)12(2412mm由此解出：m85.2m最小为1，2.85。即只有对于大于2.85的圆柱壳，式(1－32)和式(1－34)的结果才是合适的。如果2.85，屈曲系数应该从式(1－30)中令m=1与＝0来确定。即)361(12142xk相应的临界应力为：)371(22tlDkxcr当趋向零的极端情形，由式(1－36)和(1－37)，得1xk)381(22tlDcr可以看作宽板的临界应力，该宽板仅仅在受载边支承，其余两边是自由的。十分细长的圆柱壳，其屈曲模态与柱子相同；非常短粗的壳体在纵向屈曲成一个半波而在环向没有波形，犹如一块宽板屈曲；中等长度壳体屈曲介于上述两种极端情况之间，在纵向及圆周向，均产生变形而屈曲。二对计算结果的讨论1。经典解答与实验结果的比较crexpcrσσtR实验观测到屈曲应力比线性理论得到的经典解答要小得多。2。对中面边界条件的分析)347(605.0REtcr)337()1(312REtcr)257(0,022xwwlx时，简支边界条件：)177(0212102202202xwRyxvyuxu)187(01212102202202ywRyxuxvyv)197(0)(2)1)(()()2(222224422444yxwNPywRNPxwNPywyxwxwDxyxyyyxxw和u0及v0互相关联，侧向挠度边界条件隐含着面内边界条件)267(sinsin0Rynlxmww向应力为常量。知屈曲期间沿荷载边轴由)247(04422248xwREtxwtwDx侧向挠曲函数：的函数，也是知切向位移由lxmvywRyxwRvsin)227(120332304其它简支边界条件：不约束切向边界位移v0，切向自由；边界位移u0常量，不约束边界上轴向应力x保持常量。在边界上v0＝0HoffandRehfield(1965)和Almroth(1966)研究简支圆柱壳临界应力发现：允许简支边切向自由运动，临界应力降低到经典临界应力的一半，但Almroth(1966)指出，沿切向加一个很小的切向弹性约束，可使壳屈曲荷载接近于切向完全约束的屈曲荷载。在大多数圆柱壳轴压屈曲试验中，壳切向都有一定的约束，经典解答与实验结果的差异不能用边界条件加以解释。3。边界约束引起屈曲前变形的影响边界约束引起屈