6.2-稳定性---奇点-常微分方程课件-高教社ppt-王高雄教材配套课件

第六章非线性微分方程§6.21§6.2稳定性奇点•平面一阶驻定微分方程组•其中X,Y对x,y有连续偏导数。方程组(18)的解x=x(t),y=y(t)•在欧几里得空间Otxy表示为一曲线，称为积分曲线。•平面Oxy称为相平面，积分曲线在相平面上的投影称为轨线。•当X2+Y2不恒为零时（18）可改写为•由于Y/X或X/Y与同样对x,y有连续偏导数。满足解的存在唯一性条件。•上两方程在平面的积分曲线可看成方程组(18)在相平面上的轨线。•因此，在相平面上，方程组(18)的轨线不能相交。d(,)((,))d(,)yYxyXxy0xXxyd(,)((,))d(,)xXxyYxy0yYxy或d(,)d()d(,)dxXxyt18yYxyt第六章非线性微分方程§6.22奇点•同时满足X(x,y)=0,Y(x,y)=0的常数x=x*,y=y*为方程组(18)的解，称为驻定解(常数解)，相平面上驻定解的点称为方程组的奇点。•可以通过坐标平移将奇点移到原点，此时X(0,0)=Y(0,0)=0。•现考虑驻定微分方程组在奇点邻域中的轨线图貌。•通过线性变换将方程组(18)的奇点移至的原点上，再取其线性项则得方程组(18)的线性近似方程组•对方程组(21)，坐标原点是奇点。•假设(21)的系数满足•则此奇点还是唯一的。dd()ddxaxbyt21ycxdytab0cd第六章非线性微分方程§6.23标准形式•根据线性代数理论•可以通过非奇异实线性变换将线性方程组(21)化为标准形式，其系数矩阵为下列四种形式之一：•其中λ,,,为实数。•这些标准形式由线性方程组(36)的特征方程•即•的根(特征根)的性质确定。•具体判别见后。11122122kxkykxky,,,010000ab0cd,(),2pq0padqadbc第六章非线性微分方程§6.24情形Ⅰ同号相异实根•可以通过方程组的系数即特征方程的根表示相平面上奇点(原点)附近的轨线图貌，即奇点的类型。现分四种情形讨论情形Ⅰ同号相异实根•这时方程的标准形式为•其解为•当特征根λ1,λ2同为负实数时，零解渐近稳定。•当B=0时的左、右半轴为轨线；当A=0时η的上、下半轴亦为轨线；若A·B≠0，当λ1λ2时轨线在t时刻的切线斜率为•故轨线切轴于原点。如图(6.4a)。•当λ1λ2时有•表明轨线切轴于原点。如图(6.4b)。(),()12tttAetBe()()()()21ttBe0ttA当()()()()12t1tAe0ttB当dd,dd12tt第六章非线性微分方程§6.25情形Ⅰ同号相异实根图•变换回x,y的轨线图貌如图(6.4c)。除两条轨线外其余轨线均同一方向切于原点。称此类奇点为结点。•当λ1,λ2同为负实数时，方程组的零解是渐近稳定的，对应的奇点称为稳定结点。•当λ1,λ2同为正实数时，方程组的零解是不稳定的，轨线当时趋于原点，称奇点为不稳定结点。第六章非线性微分方程§6.26情形Ⅱ异号实根情形Ⅱ异号实根•这时方程的标准形式为•其解为•当B=0时的左、右半轴为轨线；当A=0时η的上、下半轴亦为轨线。因特征根λ1,λ2符号相异，其中一轴趋于原点，另一轴远离原点。•若A·B≠0，如λ10λ2，则当t→+∞时，(t)→0,η(t)→+∞。如图(6.5a)。•如λ10λ2，则当t→+∞时，(t)→+∞,η(t)→0。如图(6.5b)。•变换回的轨线图貌如图(6.5c)。仅有四条轨线趋于或离开原点。称此类奇点为鞍点。鞍点是不稳定的。(),()12tttAetBedd,dd12tt第六章非线性微分方程§6.27情形Ⅱ异号实根图第六章非线性微分方程§6.28情形Ⅲ重根(1)情形Ⅲ重根可分两种情形•(1)b≠0或c≠0•这时方程的标准形式为•其解为•若λ0，当t→+∞时，(t)→0,η(t)→0方程组的零解渐近稳定。当A=0时的左、右半轴为轨线；•当A≠0时有•当t=-B/A时有(t)=0，轨线越过η轴而切轴于原点，•如图(6.6a)称为退化结点。因奇点稳定，是稳定退化结点•若λ0，只要将t→+∞改为t→-∞，前面的讨论同样成立。•如图(6.6b)所示。奇点为不稳定退化结点。()(),()tttAtBetAe()()()tA0ttAtB当dd()ddxaxbyt21ycxdytdd,ddtt第六章非线性微分方程§6.29情形Ⅲ重根(1)图第六章非线性微分方程§6.210情形Ⅲ重根(2)•(2)b=c=0。这时方程的形式为•其解为•于是y=B/Ax•轨线是趋向或远离奇点（原点）的半射线。•如图(6.7)所示，奇点称为奇结点。•当λ0时是稳定的，•当λ0时是不稳定的。(),()ttxtAeytBedd,,ddxyxyadtt第六章非线性微分方程§6.211情形Ⅳ非零实部复根•情形Ⅳ非零实部复根•这时方程的标准形式为•这里λ=±i。引入极坐标，令=rcos,η=rsin,则由•可将方程化为•解得•轨线是一族对数螺旋线，依顺或逆时针方向(视λ0或λ0)盘旋地趋向或远离奇点（原点）。•形状如图(6.8)，奇点称为焦点。•当0时是稳定的，当0时是不稳定的。,trAetBdd,ddttdddddd,dddddd2rrrttttttdd,ddrrtt第六章非线性微分方程§6.212情形Ⅳ非零实部复根图第六章非线性微分方程§6.213情形Ⅴ纯虚根•情形Ⅴ纯虚根这相当于情形Ⅳ中=0的情形。这时轨线是以原点为中心的一族圆。如图(6.9)所示，奇点称为中心。零解稳定但不是渐近稳定。第六章非线性微分方程§6.214线性奇点定理定理6如果平面驻定线性方程组（21）的系数满足条件(22)，则方程组的零解(奇点)将依特征方程(24)的根的性质•(1)如果特征方程的根λ1≠λ2为(非零)实根，则λ1·λ20时奇点为结点，且当λ10时奇点稳定，方程组的零解渐近稳定；λ10时奇点不稳定，方程组的零解不稳定。•而λ1·λ20时奇点为鞍点，方程组的零解不稳定。•(2)如果特征方程具(非零)重根λ，则奇点通常为退化结点，但当b=c=0时奇点为奇结点。当λ0时两类奇点稳定，零解渐近稳定；λ0时两类奇点不稳定，零解不稳定。•(3)如果特征方程的根为共轭复根λ1,λ2，则当Reλ1≠0时奇点为焦点，且Reλ10时奇点稳定，零解渐近稳定；Reλ10时奇点不稳定，零解不稳定。•而当Reλ1=0奇点为中心，零解稳定但非渐近稳定。()()dxaxbyabdt21022dycdcxdydt,(),()2pq0padqadbc24第六章非线性微分方程§6.215奇点类型图•上述奇点的类型和特征方程的根之间的关系可用图(6.10)表示。图是以p,q为直角坐标的平面图，•在平面(p,q)上划出各类奇点的分布区域，•图中的抛物线方程为p2-4q=0。,(),()2pq0padqadbc24第六章非线性微分方程§6.216例1讨论二阶线性微分方程的奇点：解令y=x’，将二阶线性微分方程化为一阶线性微分方程组•其特征方程的根为λ1=-1，λ2=-2是同号相异实根。•奇点是稳定结点。•在Oη平面上奇点图貌如(6.4a)•因轴和轴对应的在Oxy平面上的直线方程为x+y=0和2x+y=0，故在平Oxy面上奇点附近轨线图貌则如图(6.11)。dddd22xx32x0ttddddxyty2x3yt第六章非线性微分方程§6.217极限环例例1对平面一阶非线性驻定方程组•如取极坐标=rcos,η=rsin，•则可化为•当r=0和r=1时，有两特解•第一个解为原点，是一奇点；第二个解在相平面上是原点为园心半径为1的园(轨线)，是一个以2为周期反时针旋转的周期解。•如在相平面上作一个是原点为园心半径为R0的园，则通过r=R园上任一点(R,*)，•当R=R11时由极坐标方程有•即轨线按顺时针方向从圆上走出圆外；•当R=R21时由极坐标方程有•即轨线按顺时针方向从圆上走进圆内。,,,,0000r0ttttr1tttt和d()dd()d2222xxyxxytyxyyxytdd(),dd2rr1r1ttdd(),dd1211rRrR1R010ttdd(),dd2222rRrR1R010tt第六章非线性微分方程§6.218极限环•考虑环域D:R1rR2，显然，•环域D内没有奇点，轨线从环域D的内、外边界上走入环域D•因R1,R2可任意接近1•因此，r=1圆是周期解(闭轨线)，其余的解(轨线)均趋近于此周期解(闭轨线)。•这种孤立的闭轨线称为极限环。•如图(6.16)所示。第六章非线性微分方程§6.219稳定不稳定半稳定极限环•考虑平面驻定微分方程组•方程组在相平面上孤立的周期解(闭轨线)，且附近的轨线均趋于(离开)该闭轨线时，称此闭轨线为稳定(不稳定)极限环，•如附近的轨线一边趋于另一边离开该闭轨线时，则称此闭轨线为半稳定极限环。•如图(6.17)所示。d(,)d()d(,)dxXxyt18yYxyt第六章非线性微分方程§6.220环域定理定理7如果G内存在有界的环形闭域D，在其内不含方程组(18)的奇点，而(18)的经过D上的点的解(轨线)x=x(t),y=y(t)当t≥t0(或t≤t0)时不离开域D。则或者解本身是周期解(闭轨线)，或者解正向(或负向)趋于D内的某一周期解(闭轨线)。定理8如果G内存在单连通区域D*，在其内函数不变号且在D*内的任何子域内不恒为零。则方程组在域D*内不存在任何周期解(闭轨线)，更不存在任何极限环。证假设在D*内存在周期T的周期解•则对围成的域DD*有•这与定理的假设矛盾。故在域内不存在任何周期解，更不存在任何极限环。XYxy:(),(),xxtyyt0tTdd(,)(,)18ddxyXxyYxytt，.（）ddddddddddTTD00XYyxxyXyYxXYtXYYXt0xytt第六章非线性微分方程§6.221数学摆和范得波尔(vanderPol)方程例2考虑§6.1例5的数学摆解数学摆微分方程为因由定理8知方程组不存在周期解。•无线电技术中有重要应用的范得波尔(vanderPol)方程需研究其极限环的存在性。•考虑更广泛的李纳(Lienerd)方程记李纳方程可化为方程组0XYxymdd,sin,(0)ddxygyxyttlm222dd(1)0ddxxxxttdd()()dd22xxfxgx0ttd()()d,()dx0xFxfxxyFxtdd(),()ddxyyFxgxtt第六章非线性微分方程§6.222李纳(Lienerd)方程定理定理9假设(1)f(x),g(x)对一切x连续，g(x)满足局部利普希茨条件；(2)f(x)为偶函数,f(0)0,g(x)为奇函数,当x≠0时xg(x)0；(3)当x→±∞时F(x)→±∞,F(x)有唯一正零点x=a，且当x≥a时F(x)单调增加。则李纳方程有唯一周期解,即方程组有一个稳定的极限环。•在定理9条件下，相平面上原点是唯一奇点，轨线对于原点是对称的可通过构造一个环域D应用环域定理7证明存在一环域，如