09复旦考研分析试题

分析一、数学分析(90)1.计算(每个6分)（1）设为：2224(3)6(2)(1)36xyz曲面的外侧，求232xdydzydxdz=_______。（2）1320(1)(1)xdxxx=_______。（3）lnxAx在(0,)上有唯一的零点，A=_______。（4）()fx在原点存在二阶导数，''(0)0f，'()(0)()xfxffx，则0limxx_______。（填某个值或不一定存在或无法确定）（5）1sin2009kxkk在(0,)上一致收敛，则的取值范围为_______。2.证明（每个15分）（1）(,)fxy定义在[,][,]abcd上，且(,)fxy关于x连续，且对于某一固定的0[,]ycd，00[,]limsup|(,)(,)|0yyxabfxyfxy证明：(,)fxy在[,][,]abcd上连续。（2）21sin()nnnaaan求证：lim0nna（3）()fx在(,)上任意有限区间上可积，求证：对任意的,,,,abcd()()bddbaccadxfxtdtdtfxtdx（4）()fx定义在区间(,)ab上，对任一(,)xab0()()lim0yfxyfyy（注：左式可以为），求证：()fx在(,)ab上严格单调。二、常微分方程（30）已知2(,)3...xyx（这个式子都记不清楚了）和系统[*]3dxydt...dydt[*]（1）(,)xyC是[*]的首次积分，确定[*]中的值。（或者是0的值，具体不是很清楚）（只要明白首次积分的概念就能做的题目）（2）证明解对参数的连续性（3）求系统[*]在0，0时在李亚普诺夫意义下的稳定性。三、实变函数（30）1.叙述积分的法杜（Fatou）引理。（10分）2.（20分）{()}nfx为定义在可测集上的可测函数列，{()}nfx在勒贝格测度意义下收敛于()fx求证：（1）存在子列{()}knfx1()kknn，满足12kkmE，1{:|()()|}2kknkExEfxfx（2）证明上述子列几乎处处收敛于()fx。（这个整个是一个定理，分成两步证明了。Rieze引理）备注；可能有些小差错，自己修正过来。涉及到具体数字的地方也可能有错。基本上都是选的实变，所以没搞到复变的题目。因为考的实变实在太简单。