高中数学数列----数列的综合应用

菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）第五节数列的综合应用菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）具体解题步骤用框图表示如下：菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？【提示】单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．(人教A版教材习题改编)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则S4＝()A．7B．8C．15D．16【答案】C【解析】设数列{an}的公比为q，则4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，∴q＝2.∴S4＝1－241－2＝15.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟【答案】B【解析】设至少需要n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n≥7.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）3．(2012·福建高考)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．【解析】设三角形的三边长从小到大依次为a，b，c，由题意得b＝2a，c＝2a.在△ABC中，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋2a2－4a22×a×2a＝－24.【答案】－24菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）4．(2013·东城调研)已知{an}是等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10＝________．【答案】110【解析】由题意知，a27＝a3·a9，∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)解得a1＝20，∴S10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【答案】45．若数列{n(n＋4)(23)n}中的最大项是第k项，则k＝________．【解析】依题意ak≥ak＋1且ak≥ak－1，∴k（k＋4）（23）k≥（k＋1）（k＋5）（23）k＋1，k（k＋4）（23）k≥（k－1）（k＋3）（23）k－1，解之得10≤k≤10＋1，且k∈N*，∴k＝4.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2012·四川高考改编)已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，a1≠0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设λ＝100，当n为何值时，数列{lg1an}的前n项和最大？【思路点拨】(1)由an与Sn的关系，得an与an－1的递推公式，利用等比数列的定义求an；(2)根据等差(比)数列的性质，求{lg1an}前n项和的最值．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【尝试解答】(1)当n＝1时，λa21＝2S1＝2a1，∵a1≠0，∴a1＝2λ，从而2an＝2λ＋Sn，①当n≥2时，2an－1＝2λ＋Sn－1，②由①－②，得2an－2an－1＝an，∴an＝2an－1(n≥2)，故数列{an}是公比为2，首项a1＝2λ的等比数列，因此an＝2λ·2n－1＝2nλ.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2)当λ＝100时，令bn＝lg1an，由(1)知，bn＝lg1002n＝2－nlg2，于是数列{bn}是公差为－lg2的递减数列．b1b2…b6＝lg10026＝lg10064lg1＝0，当n≥7时，bn≤b7＝lg10027＝lg100128lg1＝0.故数列{lg1an}的前6项的和最大．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．(1)本题的切入点是求a1，从而得an与Sn的关系，转化成等比数列求通项公式；(2)递减的等差数列的前n项和有最大值，运用函数思想求解．2．等差数列与等比数列的联系：(1)若数列{an}是等差数列，则数列{aan}是等比数列，公比为ad，其中a是常数，d是{an}的公差．(a＞0且a≠1)．(2)若数列{an}是等比数列，且an＞0，则数列{logaan}是等差数列，公差为logaq，其中a是常数且a＞0，a≠1，q是{an}的公比．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）已知在公比为实数的等比数列{an}中，a3＝4，且a4，a5＋4，a6成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，求2an＋1Sn的最大值．【解】(1)设数列{an}的公比为q(q∈R)，依题意可得2(a5＋4)＝a4＋a6，即2(4q2＋4)＝4q＋4q3，整理得，(q2＋1)(q－2)＝0.∵q∈R，∴q＝2，a1＝1.∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2)由(1)知，an＝2n－1.∴Sn＝1×（1－2n）1－2＝2n－1，∴2an＋1Sn＝2n＋12n－1＝1＋22n－1.∵n≥1，∴2n－1≥1.∴1＋22n－1≤3，∴当n＝1时，2an＋1Sn的最大值为3.菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2012年投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n年内(2012年为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【思路点拨】(1)an与bn分别是两个等比数列的前n项和．(2)解不等式bn＞an，求n的最小值．【尝试解答】(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－15)万元，…，第n年投入为800×(1－15)n－1万元，所以，n年内的总投入为an＝800＋800×(1－15)＋…＋800×(1－15)n－1＝4000×[1－(45)n]．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）第1年旅游业收入400万元，第2年旅游业收入400×(1＋14)万元，…，第n年旅游业收入400×(1＋14)n－1万元，所以，n年内的旅游业总收入为bn＝400＋400×(1＋14)＋…＋400×(1＋14)n－1＝1600×[(54)n－1]．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2)设经过n年，总收入超过总投入，由此bn－an＞0，即1600×[(54)n－1]－4000×[1－(45)n]＞0，令x＝(45)n，代入上式得5x2－7x＋2＞0，解此不等式，得x＜25，或x＞1(舍去)，即(45)n＜25，由此得n≥5.答：至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）1．解答本题时，理解题意是关键，其中an，bn是等比数列的前n项和，而非第n项．2．数列应用问题的核心是建立数学模型，往往从给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型．3．与等比数列联系密切的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题，这都与等比数列有关．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）(2012·湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年奖金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）【解】(1)由题意a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝32a1－d＝4500－52d.an＋1＝an(1＋50%)－d＝32an－d.(2)由an＋1＝32an－d，得an＋1－2d＝32(an－2d)，∴{an－2d}是公比为32的等比数列，则an－2d＝(3000－3d)·(32)n－1，∴an＝(3000－3d)·(32)n－1＋2d，菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）又am＝4000，∴(32)m－1(3000－3d)＋2d＝4000，解得d＝[（32）m－2]×1000（32）m－1＝1000（3m－2m＋1）3m－2m.故该企业每年上缴资金d的值为1000（3m－2m＋1）3m－2m时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安徽专用）在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*)，公比q∈(0，1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn；(3)是否存在k∈N*，使得S11＋S22＋…＋Snn＜k对任意n∈N*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．菜单课后作业典例探究·提知能自主落实·固基础高考体验·明考情新课标·文科数学（安