因子载荷矩阵

2020/3/41目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现在上一章中，我们用SPSS的FactorAnalysis模块实现了主成分分析，实际上，FactorAnalysis主要是SPSS软件进行因子分析的模块，由于主成分分析与因子分析（特别是因子分析中的主成分法）之间有密切的关系，SPSS软件将这两种分析方法放到同一分析模块中。下面我们先用SPSS软件自带的数据说明FactorAnalysis模块进行因子分析的方法，然后给出一个具体案例。为了与主成分分析进行比较，我们此处仍延用SPSS自带的Employeedata.sav数据集。【例6.1】数据集Employeedata.sav中各变量解释说明见上一章主成分分析，用FactorAnalysis模块进行因子分析。2目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现打开Employeedata.sav数据集并依次点选Analyze→DataReduction→Factor…进入FactorAnalysis对话框，选取educ、salary、salbegin、jobtime、prevexp变量进入Variables窗口。点击对话框下侧的Extraction进入Extration对话框，在Method选项框我们看到SPSS默认是用主成分法提取因子，在Analyze框架中看到是从分析相关阵的结构出发求解公因子。点Continue按钮继续。如果这样交由程序运行的话，将得到与上一章输出结果5-1同样的结果，其中包括公因子解释方差的比例，因子载荷矩阵(即ComponentMatrix)等。选中Displayfactorscorecoefficientmatrix复选框，我们在主成分分析中也选了该选项，它要求SPSS输出因子得分矩阵，即标准化主成分（因子）用原始变量线性表示的系数矩阵。点Continue继续，点OK按钮运行，可以得到如下输出结果6-1：3目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现输出结果6-1（1）（2）2020/3/4中国人民大学六西格玛质量管理研究中心4目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现输出结果6-1(3)(4)2020/3/45目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现上面这三张表我们在主成分分析中也得到过，实际上，用主成分法求解公因子与载荷矩阵，是求主成分的逆运算，这在前面我们有所表述。其中Componentmatrix是因子载荷矩阵，是用标准化后的主成分（公因子）近似表示标准化原始变量的系数矩阵，用fac1，fac2，fac3表示各公因子，以CurrentSalary为例，即有：3fac)02857.2(2fac104.01fac940.0E由上一章知，当保留5个主成分时，标准化原始变量与公因子之间有如下精确的关系式：标准化的salary=3)02857.2(2104.01940.0prinEprinprin5222.04234.0prinprin（1）标准化的salary2020/3/46目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现忽略掉而作为特殊因子反映在因子模型中，由communalities表，可知特殊因子的方差（特殊度）为1-0.896=0.104。可见，主成分法求解公因子就是把后面不重要的部分5222.04234.0prinprincomponentscorecoefficientmatrix（因子得分系数矩阵）是用原始变量表示标准化主成分（公因子）的系数矩阵，其关系式已在上一章给出，此处不再赘述。这里想说明的是用主成分求解公因子时因子得分系数与因子载荷之间的关系。如上面表中因子得分系数中第一个元素为0.342，它与第一主成分的方差2.477，因子载荷矩阵中第一个元素0.846之间有如下关系式：477.2342.0846.02020/3/47目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现此处之所以是乘以2.477而不是它的平方根是因为此处主成分已经经过标准化了。同理有，可见用主成分法进行因子分析与主成分分析是完全可逆的，由此，有些研究者也用主成分求解因子分析的结果来进行主成分分析。194.0052.1184.0实际上，在进行因子分析之前，我们往往先要了解变量之间的相关性来判断进行因子分析是否合适；对此，进入FactorAnalysis对话框后，点击下方的Descriptives按钮，进入Descriptives对话框，在Statistics框架中选择UnivariateDescriptives会给出每个变量的均值、方差等统计量的值，在下部CorrelationMatrix框架中，选中Coefficients选项以输出原始变量的相关矩阵，选中Significancelevels以输出原始变量各相关系数的显著性水平。CorrelationMatrix框架还有其他一些选项来帮助我们进行判断，此处不再详细说明，点击Continue按钮继续，点击OK运行，可以得到如下结果6-2：2020/3/48目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现输出结果6.2：2020/3/49目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现由上面结果知原始变量之间有较强的相关性，进行因子分析是合适的。得到初始载荷矩阵与公因子后，为了解释方便往往需要对因子进行旋转，设置好其他选项后点击FactorAnalysis对话框下部的Rotation…按钮，进入Rotation对话框，在Method框架中可以看到SPSS给出了多种进行旋转的方法，系统默认为不旋转。可以选择的旋转方法有Varimax（方差最大正交旋转）、DirectOblimin（直接斜交旋转）、Quartmax（四次方最大正交旋转）、Equamax（平均正交旋转）及Promax(斜交旋转),选中Varimax选项，此时，Display框架中Rotatedsolution选项处于活动状态，选中该选项以输出旋转结果。点击Contunue→OK运行，除上面的结果外还可得到如下输出结果6-3:2020/3/410目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现输出结果6.3（1）2020/3/411目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现输出结果6.3（2）2020/3/412目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现输出结果6.3（3）2020/3/413目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现由结果可以看到，旋转后公共因子解释原始数据的能力没有提高，但因子载荷矩阵及因子得分系数矩阵都发生了变化，因子载荷矩阵中的元素更倾向于0或者正负1。有时为了公因子的实际意义更容易解释，往往需要放弃公因子之间互不相关的约束而进行斜交旋转，最常用的斜交旋转方法为Promax方法，对此例进行斜交旋转，可得到如下输出结果6-4：2020/3/414目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现输出结果6.4：（1）2020/3/415目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现输出结果6.4：（2）2020/3/416目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现输出结果6.4：（3）2020/3/417目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现可以看到，与正交旋转不同，斜交旋转的输出结果中没有RotatedComponentMatrix而代之以PatternMatrix和StructureMatrix，这里，PatternMatrix即是因子载荷矩阵，而StructureMatrix为公因子与原始变量的相关阵，也就是说，在斜交旋转中，因子载荷系数不再等于公因子与原始变量的相关系数。上面三个表格存在如下关系：StructureMatrix=PatternMatrixCorrelationMatrix2020/3/418目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现为了得到因子得分值，进行如下操作：在FactorAnalysis对话框，点击下方的Scores按钮，进入FactorScores（因子得分）对话框，选中Saveasvariables复选框，即把原始数据各样本点的因子得分值存为变量，可以看到系统默认用回归方法求因子得分系数（Method框架中Regression选项被自动选中），保留此设置。在此例中，我们还选中了Saveasvariables复选框，这一选项要求输出估计的因子得分值，该结果出现在数据窗口。在数据窗口，我们可以看到在原始变量后面出现了三个新的变量，变量名分别为fac1_1，fac2_1，fac3_1。这三个变量即为各个样品的第一公因子、第二公因子、第三公因子的得分。我们在前面的分析中曾提过这些得分是经过标准化的，这一点可以用下面的方法简单的验证：2020/3/419目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现依次点选Analyze→DescriptiveStatistics→Descriptives…进入Descriptives对话框，选中fac1_1，fac2_1，fac3_1三个变量，点击OK按钮运行，可得到如下结果6-5：输出结果6-5：（1）2020/3/420目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现可以看到，三个变量的标准差均为1（此处由于舍入原因，变量的均值不绝对等于0而是有细微差别）。得到各个样品的因子得分后，我们就可以对样本点进行分析，如用因子得分值代替原始数据进行归类分析或是回归分析等。同时，我们还可以在一张二维图上画出各数据点，描述各样本点之间的相关关系。依次点选Graphs→Scatter…进入Scatterplot对话框，选择Simple按Define按扭，在弹出的SimpleScatterplot对话框中，分别选择fac1_1，fac2_1作为X轴与Y轴，点击OK交由程序运行，可得如下散点图：2020/3/421目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现输出结果6.5：（2）2020/3/422目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现由此可以直观地描述原始数据的散布情况，为了研究需要，还可以很方便地输出第一因子与第三因子，第二因子与第三因子的散点图或同时生成三个因子的散点图，这只需选择不同的变量或图形类型即可，在此不再详述。2020/3/423目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现【例6.2】（数据见表5-9）对企业经济效益指标体系的八项指标建立因子分析模型。（详细因子分析上机实现见例6-3）由spss输出方差解释表及碎石图可看出，前三个特征值较大，其余五个特征值均较小。前三个公共因子对样本方差的贡献和为87.085%，于是我们选取3个公共因子。2020/3/424目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现TotalVarianceExplainedComponentInitialEigenvaluesExtractionSumsofSquaredLoadingsTotal%ofVarianceCumulative%Total%ofVarianceCumulative%14.86160.75860.7584.86160.75860.75821.26915.86576.6231.26915.86576.6233.83710.46387.085.83710.46387.0854.5176.46493.5495.3784.72798.2766.1151.44399.7197.021.26499.9848.001.016100.000ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.2020/3/425目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现ScreePlotComponentNumber87654321Eigenvalue65432102020/3/426目录上页下页返回结束§6.4因子分析的上机实现因子载荷的估计如下：Component123X1.957-.019-.239X2.899-.396.037X3.862.081-.