1990-2011全国初中数学竞赛真题-奥数真题

1/842012年全国初中数学竞赛备考必备试题1990-2011历年真题附参考答案一九九○年第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。1．31231131144的值是（A）1（B）－1（C）2（D）－2答（）2．在△ABC中,AD是高,且AD2=BD·CD，那么∠BAC的度数是（A）小于90°（B）等于90°（C）大于90°（D）不确定答（）3．方程kkkxkx(02)13(722是实数)有两个实根、，且0＜＜1，1＜＜2，那么k的取值范围是（A）3＜k＜4；（B）－2＜k＜－1；（C）3＜k＜4或－2＜k＜－1（D）无解。答（）4．恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（A）17（B）18（C）35（D）36答（）5．△ABC中，22AB，2AC，2BC，设P为BC边上任一点，则（A）PBPA2·PC（B）PBPA2·PC（C）PBPA2·PC（D）PBPA与2·PC的大小关系并不确定2/84答（）6．若六边形的周长等于20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形（A）不存在（B）只有一个（C）有有限个，但不只一个（D）有无穷多个答（）7．若balog的尾数是零，且2loglog1logabbbaa，那么下列四个结论：（1）21abb（2）0loglogabba（3）10ba（3）01ab中，正确的结论的个数是（A）1（B）2（C）3（D）4答（）8．如图，点P，Q，R分别在△ABC的边上AB、BC、CA上，且1RCQRPQBP，那么，△ABC面积的最大值是（A）3（B）2（C）5（D）3答（）二、填空题1．已知82121xx，则xx12=2．2223,2,1，…，1234567892的和的个位数的数字是3．方程01)8)((xax，有两个整数根，则a4．△ABC中，2ACAB，BC边有100个不同的点1P，2P，…，100P，记iiiBPAPm2·CPi(i1，2，…，100)则21mm…100m=第二试3/84一、已知在凸五边形ABCDE中，∠BAE=3，BC=CD=DE，且∠BCD=∠CDE=180°－2，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE二、x表示不超过实数x的最大整数，令xxx（1）找出一个实数x，满足11xx（2）证明：满足上述等式的x，都不是有理数三、设有nn22个正方形方格棋盘，在其中任意的n3个方格中各有一枚棋子。求证：可以选出n行和n列，使得n3枚棋子都在这n行和n列中。1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１．设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则22223yxyxyxyx的值是（A）3；（B）31；（C）2；（D）35．答（）２．如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（A）10；（B）12；（C）16；（D）18．答（）３．方程012xx的解是（A）251；（B）251；（C）251或251；（D）251．答（）４．已知：)19911991(2111nnx（n是自然数）．那么nxx)1(2，的值4/8411S3S=132S是（Ａ）11991；（Ｂ）11991；（Ｃ）1991)1(n；（Ｄ）11991)1(n．答（）５．若Mn1210099321，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（）６．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足cba，dcb，adc，那么dcba的最大值是（Ａ）1；（Ｂ）5；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（）７．如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是11S，32S和13S，那么，正方形OPQR的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2；（Ｄ）3．答（）设CQ=AH=xBP=3x正方形边长为a则有（1）ax=2(2)x2/(x2+2ax+a2)=1/(5+a2)８．在锐角ΔABC中，1AC，cAB，60A，ΔABC的外接圆半径R≤1，则（Ａ）21c2；（Ｂ）0c≤21；（C）c2；（D）c=2．答（）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是．２．已知关于x的一元二次方程02cbxax没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，acb32．5/843．设m，n，p，q为非负数，且对一切x０，qpnmxxxx)1(1)1(恒成立，则qpnm22)2(．４．四边形ABCD中，∠ABC135，∠BCD120，AB6，BC35，CD=6，则AD=．第二试x+y，x－y，xy，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x,y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1201356/84一九九二年第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1abba的非负整数),(ba的个数是(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.2.若0x是一元二次方程)0(02acbxax的根,则判别式acb42与平方式20)2(baxM的关系是(A)M(B)=M(C)M;(D)不确定.3.若01132xx,则44xx的个位数字是(A)1;(B)3;(C)5;(D)7.答()4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7;(B)6;(C)5;(D)4.答()5.如图,正比例函数)0(aaxyxy和的图像与反比例函数)0(kxky的图像分别相交于A点和C点.若AOBRt和COD的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是(A)21SS(B)21SS(C)21SS(D)不确定答()6.在一个由88个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S,则21SS的整数部分是(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.答()7/847.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,60A,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC,FA=AB.则AE:EB等于(A)1:2(B)1:3(C)2:5(D)3:10答()8.设9321,,,,xxxx均为正整数,且921xxx,220921xxx,则当54321xxxxx的值最大时,19xx的最小值是(A)8;(B)9;(C)10;(D)11.答()二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0x,则xxxx44211的最大值是__________.3.在ABC中,BAC和,90的平分线相交于P点，又ABPE于E点，若3,2ACBC，则EBAE.4.若ba,都是正实数，且0111baba，则33)()(baab.第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062axx的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.二、如图，在ABC中，DACAB,是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且ACEDBED2.求证：CDBD2.三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651B：105263C：612305D：316250已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个数字的位置与M和N相同.试求：M和N.一九九二年8/84第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1abba的非负整数),(ba的个数是(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.2.若0x是一元二次方程)0(02acbxax的根,则判别式acb42与平方式20)2(baxM的关系是(A)M(B)=M(C)M;(D)不确定.3.若01132xx,则44xx的个位数字是(A)1;(B)3;(C)5;(D)7.答()4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7;(B)6;(C)5;(D)4.答()5.如图,正比例函数)0(aaxyxy和的图像与反比例函数)0(kxky的图像分别相交于A点和C点.若AOBRt和COD的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是(A)21SS(B)21SS(C)21SS(D)不确定答()6.在一个由88个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S,则21SS的整数部分是(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.答()7.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,60A,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC,FA=AB.9/84则AE:EB等于(A)1:2(B)1:3(C)2:5(D)3:10答()8.设9321,,,,xxxx均为正整数,且921xxx,220921xxx,则当54321xxxxx的值最大时,19xx的最小值是(A)8;(B)9;(C)10;(D)11.答()二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0x,则xxxx44211的最大值是__________.3.在ABC中,BAC和,90的平分线相交于P点，又ABPE于E点，若3,2ACBC，则EBAE.4.若ba,都是正实数，且0111baba，则33)()(baab.第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062axx的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.二、如图，在ABC中，DACAB,是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且ACEDBED2.求证：CDBD2.三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651B：105263C：612305D：316250已