2015届苏科版中考数学复习课件(第24课时_解直角三角形的应用)

第24课时解直角三角形的应用第24课时┃解直角三角形的应用考点聚焦考点聚焦归类探究回归教材考点解直角三角形的应用常用知识仰角和俯角仰角俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角坡度坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝____坡度和坡角坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.i＝tanα，坡度越大，α角越大，坡面________定义指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角方向角(或方位角)图例h∶l越陡命题角度：1．计算某些建筑物的高度(或宽度)；2．将实际问题转化为直角三角形问题．探究一利用直角三角形解决和高度(或宽度)有关的问题归类探究第24课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用例1[2014·淮安]为了对一棵倾斜的古杉树AB进行保护，需测量其长度．如图24－1，在地面上选取一点C，测得∠ACB＝45°，AC＝24m，∠BAC＝66.5°，求这棵古杉树AB的长度．(结果取整数)参考数据：2≈1.414，sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30.图24－1考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用题中已知∠ACB＝45°，∠BAC＝66.5°，而45°是特殊角，66.5°的三角函数是已知的，所以过点B作BD⊥AC于点D，这样得到两个直角三角形，可设BD＝x(或CD＝x)，分别解两个直角三角形，构造方程解决问题．解析考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用解：过点B作BD⊥AC于点D.由∠ACB＝45°知，△BDC为等腰直角三角形，BD＝CD.设CD＝xm，则BD＝xm，AD＝(24－x)m.在Rt△ABD中，tanA＝BDAD＝x24－x.即tan66.5°＝x24－x，解得x≈16.73.所以sinA＝BDAB＝xAB，即sin66.5°＝16.73AB≈0.92，解得AB≈18m.答：这棵古杉树AB的长度约为18m.考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用基本图形锐角三角函数应用中的基本图形在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：①不同地点看同一点(如图24－2)；②同一地点看不同点(如图24－3)；图24－2图24－3③利用反射构造相似(如图24－4)．图24－4考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．利用直角三角形解决方位角问题；2．将实际问题转化为直角三角形问题．探究二利用直角三角形解决航海问题第24课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用例2[2014·徐州]如图24－5，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．(1)求点C与点A的距离(精确到1km)；(2)确定点C相对于点A的方向．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)图24－5考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用(1)依题意可知AB＝100km，BC＝200km，∠ABE＝∠BAF＝15°，∠EBC＝75°，于是有∠ABC＝60°，过点A作AD⊥BC于点D，则在Rt△ADB中，利用正弦和余弦求得BD和AD，从而得到CD.在Rt△ADC中，由勾股定理可求得AC.(2)求出∠CAF即可．解析考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用解：如图，(1)过点A作AD⊥BC于点D，∵∠ABE＝∠BAF＝15°，∠EBC＝75°，∴∠ABC＝60°，∠BAD＝30°.在Rt△ADB中，∵sin∠ABC＝ADAB，cos∠ABC＝BDAB，而AB＝100km，∴AD＝ABsin∠ABC＝503(km)，BD＝ABcos∠ABC＝50(km)．又∵BC＝200km，∴CD＝150km.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC＝AD2＋CD2＝1003≈173(km)．(2)在Rt△ADC中，∵sin∠ACD＝ADAC＝5031003＝12，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝60°.∵∠BAD＝30°，∠BAF＝15°，∠DAF＝15°，∴∠CAF＝75°，∴点C相对于点A的方向是南偏东75°.考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用利用锐角三角函数解决有关三角形的问题时的一般思路是遇斜化直，宁正不余，尽量运用原始数据．方法点析考点聚焦归类探究回归教材命题角度：1．利用直角三角形解决坡度问题；2．将实际问题转化为直角三角形问题．探究三利用直角三角形解决坡度问题第24课时┃解直角三角形的应用考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用例3[2014·镇江]如图24－6，小明从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了0.65千米到达点B，sinα＝513，然后又沿着坡度为i＝1∶4的斜坡向上走了1千米到达点C.问小明从A点到C点上升的高度CD是多少千米？(结果保留根号)图24－6考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，将这个不规则图形分割成两个直角三角形和一个矩形，分别在两个直角三角形中求得CF和FD的长．.解析考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用解：作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，则sinα＝BEAB＝513，BE＝AB×513＝0.65×513＝14.∵i＝CFBF＝14，设CF＝x，BF＝4x，∴BC＝17x＝1，∴CF＝x＝1717.∵BE⊥AD，BF⊥CD，CD⊥AD，∴四边形BEDF是矩形，∴BE＝DF.∴CD＝CF＋DF＝CF＋BE＝1717＋14.答：小明从A点到C点上升的高度CD是1717＋14千米．考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用解直角三角形的实际应用问题关键是要根据实际情况建立数学模型：①根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；②若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决．方法点析考点聚焦归类探究回归教材回归教材第24课时┃解直角三角形的应用测量热气球高度教材母题[苏科版九下P110问题2]如图24－7，为了测量停留在空中的气球C的高度CD，小明先在点A处测得气球的仰角(从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角)为27°，然后他沿AD方向前进了50m，到达点B，测得气球的仰角为40°，小明的眼睛离地面1.6m．求气球的高度(精确到0.1m)．图24－7考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用要计算CD，可以先由Rt△ACD及Rt△BCD，列出BD，CD与已知量的关系式，再计算CD.解：由题意知，∠CAD＝27°，∠CBD＝40°，CD⊥AD，AB＝50m，设CD＝xm.在Rt△BDC中，由tan40°＝CDBD，得BD＝xtan40°.在Rt△ADC中，由tan27°＝CDAD，得AD＝xtan27°.∵AD－BD＝50，∴xtan27°－xtan40°＝50.∴x＝50·tan27°·tan40°tan40°－tan27°.用计算器计算，得x≈64.9，64.9＋1.6＝66.5.答：气球的高度约为66.5m.解析考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用中考预测如图24－8，小明在M处用高1米(DM＝1米)的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请你求出旗杆AB的高度．图24－8考点聚焦归类探究回归教材第24课时┃解直角三角形的应用由题意连接CD并延长交AB于点E，易证四边形AFCE是矩形，所以AE＝CF＝MD＝1米，只要求出BE即可求出旗杆AB的高度，可直接设BE的长，也可间接设CE的长，在Rt△BCE和Rt△BDE中，利用解直角三角形的知识求解．解析考点聚焦归类探究回归教材