《量子力学》考研(思考题+填空题)汇总

第一章思考题1．下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于=可以忽略的体系。=答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。=2．什么是黑体？（1）黑颜色的物体。（2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。（3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。（4）吸收比为1的物体。（5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。答：（4），（5）正确。吸收比α（λ，T）=1蕴含了任何温度下，对入射的任何波长的辐射α（λ，T）均为1。（2）是常见的黑体定义，显然，应加上“在任何温度下”才完整。3．康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相互作用过程中是可分的？答：光电效应中，一个电子同时吸收两个光电子的概率非常小，一个电子只吸收一个光子。另外，实测中光电发射没有可分辨出的时间延迟，这说明，电子没有能量的积累过程，即电子吸收一个光子后再吸收一个光子的概率也是非常小的。因而，截止频率的限制是必需的。4．德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有内部结构的复合体系？答：德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而与物质具体结构无关。因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复杂体系。5．粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？二者之间是否有必然联系？答：由基本假设λ=ph，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。6．在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？答：为了验证是否大量粒子集合才呈现波动性，1949年比尔曼（苏）等曾做了，极微弱电子束射向金属箔发生的射的实验，实验中两个电子相继穿过衍射系统的时间约为一个电子穿过仪器所需时间的三万倍！尽管这样，产生的衍射图样和用强大的倍的电子束所得到的图样完全一样。可见每个粒子都是不受其它粒子影响而发生衍射的。单个粒子在被探测时与探测器发生作用，当打到荧光屏时是整个粒子起作用。单个粒子的落点虽是无规的，但却受概率波的支配而形成图样。7107．“电子是粒子，又是波”，“电子不是粒子，又是波”，“电子是粒子，不是波”，“电子是波，不是粒子”，以上哪一种说法是正确的？答：我们必须分出经典粒子与微观粒子；经典波与概率波。这样，给出的几种说法应为：（1）电子是微观粒子，又有概率波。（2）电子不是经典粒子也不是经典波。（3）电子是微观粒子，不是经典波。（4）电子波动性是概率波，电子不是经典粒子。这样就不致导致误解。8．以下说法是否正确？（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。（2）量子力学适用于h不能忽视的体系，而经典力学适用于h可以忽略的体系。答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。（2）对于宏观体系或h可忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过度到经典力学，二者相吻合。9．“双缝干涉实验中，电子必定通过两缝之一而打到屏上，因此落到屏上的总电子数必定等于分别通过两缝的电子数之和”，这种说法对吗？答：由于波动性，根据传统解释每个电子都是同时通过双缝而落到屏上，而不是电子束中的一部分电子由A缝通过，另一部分电子由B缝通过，不然屏上显示的只是两个单缝衍射条纹的叠加。因此“电子必定通过单缝”是错误的。第二章思考题1．微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(rKψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(rKψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。2．以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψcc+=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψcc+=确定，2ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项，和的模对相对相位对概率分布具有重要作用。]Re[2*21*21ψψcc1c2c3．量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψcc+=也是体系的一个可能态”。（1）是否可能出现)()()()(),(2211xtcxtctxψψψ+=；（2）对其中的与是任意与1c2crK无关的复数，但可能是时间t的函数。这种理解正确吗？答：（1）可能，这时与按薛定谔方程的要求随时间变化。)(1tc)(2tc（2）如按这种理解),()(),()(),(2211txtctxtctxψψψ+=已知1ψ和2ψ是体系的可能态，它们应满足波方程式11ψψHti=∂∂=22ψψHti=∂∂=如果1ψ和2ψ的线性叠加),()(),()(),(2211txtctxtctxψψψ+=也是体系的可能态，就必须满足波方程式ψψHti=∂∂=，然而，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂++∂∂=∂∂dtdcdtdciHcHcdtdctcdtdctciti2211221122221111ψψψψψψψψψ===可见，只有当021==dtdcdtdc时，才有ψψψψHccHti=+=∂∂)(2211=。因此，),()(),()(),(2211txtctxtctxψψψ+=中，与应是任意复常数，而不是时间t的复函数。如上式中1c2cψ态不含时间，则有)()()(2211xcxcxψψψ+=。4．（1）波函数ψ与ψk、是否描述同一态？ψαie（2）下列波函数在什么情况下才是描述同一态？221122112121;;ψψψψψψααiiececcc+++这里是复常数，21,cc21,αα是实常数。答：（1）ψ与ψk、描述的相对概率分布完全相同，如对空间和两点的相对概率ψαie1x2x=2221)()(xxψψ=2221)()(xkxkψψ2221)()(xexeiiψψαα，故ψ与ψk、均描述同一态。ψαie（2）由于任意复数θiecc=，以及2*12*1*21*2122221122211ψψψψψψψψcccccccc+±+=±显然，只有当复数，即ccc==21ccc==21，且时，αααiiieee==21αααψψψψψψψψψψiiiecececccc)(),(,2122112122112121+=++=++均描述同一态。5．量子力学规律的统计性与经典统计力学的统计规律有何不同？量子力学统计规律的客观基础是什么？答：经典统计力学的基础是牛顿力学，例如一定量气体中每个气体分子在每个瞬时都有确定的位置和动量，每个分子都按牛顿运动定律而运动，而大量分子组成的体系存在着统计规律。例如，对个别分子不存在温度这个概念，处于平衡态的理想气体的温度是分子平均平动动能的量度。与经典力学不同，量子力学不是像经典统计力学那样建立起来的宏观理论，波函数的统计解释是量子力学的理论结构中的基本假设。在传统的解释中，量子力学规律的统计性被认为是由波粒二象性所决定的微观粒子的本质特性，是观测仪器对微观粒子的不可控制的作用的结果。如类似经典粒子那样，进一步问：统计性的微观实质是什么？依据是什么？则被认为是超出了基本假设限度，因而是没有意义的，也是没有必要的。6．判断下列说法是否确切、完整。（1）波函数是德布罗意波的数学表示。（2）波函数是体系波方程的解。（3）波函数是单粒子态的数学表示。（4）波函数是量子态的数学表示。答：（1）按照德布罗意假设，平面波是描述自由粒子的波，这只是波函数一个具体例子。一般情况下，微观粒子必须用更复杂的波函数来描述。有时也把描述微观粒子一切形式的波（一般不是平面波）笼统的称为德布罗意波。在这种理解下，才可以说，波函数是德布罗意波的数学表示。（2）体系波动方程的通解有无穷多个。但并非所有的这些解都可以描述体系的量子态。物理上真实态的波函数是指那些满足特定的初始条件与边界条件的体系波动方程的解。对同粒子系，能实现的体系其波函数是体系是既满足波方程又同时满足交换时对称性要求的解（3）（4）波函数是体系量子态的数学表示，而单粒子波函数才是单粒子态的表达形式。7．态的叠加原理，通常以对叠加态取和的形式表出如nnnCϕ∑=Ψ，是否有积分形式的态叠加原理？举例说明。答：有，而且很普遍，事实上，任何力学量本征值连续变化的本征态的叠加，其结果必然有求和形式过度到积分形式。例如，平面波叠加形成的波包，电子在晶体表面的衍射等都属于这类情形8．薛定谔方程能否适用于相对论性粒子？答：因为薛定谔方程中对空间坐标是二次微商,而对时间则是一次微商,显然不满足相对论要求的协变性.其次方程中动能以E=mp22表出的,这只对相对论情形适用,所以薛定谔方程是非相对论量子力学的波方程。9．有的书中说，为了满足叠加原理，波动方程必须是线性的，也有的书上说：因为波动方程是线性的，所以存在叠加原理。到底哪个说法对？答：认为,量子力学理论体系中,态叠加原理或波方程都可以单独作为独立的基本假设.不同教材中他们出现先后可能不同,单不存在主从之分.这时题中给出的两种说法只是说明这两个基本假设之间是相容的。也有人不把态叠加原理作为基本假设而作为由波方程得出的一个推论这正是题中的第二个提法,而狄拉克再他的书中开宗明义第一章就是态叠加原理,也有的名著如席夫所著的《量子力学》中只是为了使方程解能被叠加加以产生干涉…….方程必须是线性的.没有明确作为“态叠加原理”而提出的。不同的处理方式反映了不同作者对态叠加原理在量子力学中的地位和重要性的见解很不相同。10．量子体系是否遵从因果律？波方程如何反映这种因果律？答：量子体系遵从因果律,但由于微观粒子的波粒二象性使描述状态的方式与经典力学有本质的不同,因果律的含义及表现也有所不同.由于波方程只含时间一次导数,因此只要给出体系在初始时刻(t=0)的状态(0,r)ψ,原则上由波方程就可唯一确定以后任何时刻的状态),(trψ。这就是因果律在量子力学中的体现。把这个结果与经典力学作一比较是必要的.经典力学中牛顿运动方程是粒子的力学量坐标运动量满足的方程.给定初始条件就是给出初始时刻粒子的坐标,动量,借助于牛顿方程,可以给出这些力学量在各种情况下随时间变化的规律,这就是经典力学中的因果性。可见,尽管经典力学与量子力学对量子状态的描述,运动方程………都有着质的差异,但因果律起着作用,只是实际意义有所不同11．什么是定态？它有何特性？答：定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定0=∂∂tV，则体系可以处于定态。定态具有以下特征：（1）定态波函数时空变量可以分离()()=/,iktertr−Ψ=Ψ其中是哈密顿的本征函数，而()rΨΗΕ为对应的本征值（2）不显含t的任何力学量，对于定态的期待值，不随时间变化，各种可能观察值出现的几率分布亦不随时间变化。注意通用表示定态只是一种简写，定态是含时态，任何描写离子状态的波函数都是含时的。()rΨ12．什么是束缚态？它有何特性？束缚态是否必为定态？定态是否为束缚态？举例说明。答：当粒子被外力（势场）约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的叫束缚态。束缚态的能级是离散的。例如，一维谐振子就属于束缚态，具有量子化的能级。但束缚态不一定是定态，例如，限制在一维箱子中的粒子，最一般的可能态是以一系列分立的定态叠加而成的波包，上题已讨论过，这种叠加态是没有确定能量