第十章非自治系统量子力学

第十章非自治系统量子力学§10-1人造量子系统与非自治量子系统[1-2]A．人造量子系统与量子光学系统人类已进入控制单个原子、电子等微观粒子的量子工程的时代。目前，人类能够做到：1、用隧道扫描电镜探针搬动单个原子（1986年诺贝尔奖）；2、用电磁陷阱（Paultrap）捕捉单个电子、离子，甚至原子（1989年诺贝尔奖）；3、用激光束捕捉与冷却原子产生Bose-Einstein凝聚（1997年诺贝尔奖）；4、用腔场量子电动力学技术控制原子状态和光子的统计性质；5、在介观尺度设置人造势场和人造边界条件以控制微观粒子的运动。将来，人类可能做到：用双能级原子作记忆和开关元件，用量子动力学演化进行信息传输、信息加工和量子计算，实现量子通讯与量子计算机。上述事实表明，人类已从控制与利用大量微观粒子系综的时代进入控制与利用单个微观粒子的时代。人类应当自觉地认识到这一新的形势与机遇，及时地为自己提出新的战略性的研究课题，即“人类控制与利用微观系统（量子工程）的基本物理与技术问题”。这一课题的研究将直接影响与促进下本世纪下列新科技领域的发展，并可能开辟新的前沿领域：1、介观电路与半经典计算机。计算机进一步集成化与小型化将要求其基本元件进入介观领域，这种计算机的硬件设计必须考虑介观电路中的量子效应。以介观元件为基础的计算机将是一种半经典计算机，它基本上是宏观的，但考虑了介观元件中的量子效应。2、非经典激光通讯。以非经典激光（如压缩态激光）为载体的激光通讯将大大提高通讯密度与信噪比。3、量子通讯与量子计算机。以（双能级）原子量子态为记忆单元、开关电路和信息储存形式，以量子动力学演化为信息传递与信息加工的物理基础的量子通讯与量子计算机将成为现实。4、单原子事件的碰撞、反应动力学。对微观粒子进行的单一碰撞、反应过程的追踪和控制的研究将提供微观世界新的更精确的信息，改变原子、分子物理学和化学的面貌，为原子组装和分子裁剪提供物理化学原理,使材料科学发生革命的变化。5、单个量子事件和过程的其他应用。人们通过设置人工势场和人工边界条件的办法去控制微观粒子的量子运动；这种在人工势场和人工边界条件下运动的微观粒子系统称为人造量子系统。按照人工势场和边界条件是否依赖于时间，人造量子系统可分为自治的和非自治的两大类：若人造势场和边界条件不依赖于时间，则系统称为自治的；反之，则称为非自治的。B．非自治量子系统1非自治系统的哈密顿量或边界条件通过某些参数依赖于时间。这些随时间变化的参数体现了人类对系统的控制或环境对系统的影响。非自治系统可以是经典的，也可以是量子的。非自治量子系统的研究是量子力学研究的一大前沿，反映出人类对量子系统认识的深化和人类控制微观系统的能力的增强。非自治量子系统的种类很多，下面列举几个典型而重要的非自治量子系统。有趣的是，这些非自治量子系统都具有某种动力学代数结构，它们的名称及其哈密顿量的代数结构列于表I，图10-1则是这些系统的梗概示意。表I.几种重要的非自治量子系统及其代数结构系统名称H的代数结构系统的示意图Paul阱中粒子的量子运动H（su(1,1),α(t)）图一（a）束流动力学中粒子的极化H(su(2),α(t))图一（b）原子与腔场的作用H（su(N),α(t)）图一（c）螺旋光纤中激光的贝利相位H(su(2),α(t))图一（d）时间有关的Landau系统H（sp(4)⊕h(3）,α(t)）图一（e）核子在变化的四极平均场中的运动H(sp(6),α(t))图一（f）(a)(b)(c)(d)(e)(f)图10-1(a)Paul阱中粒子的量子运动,(b)回旋加速器中粒子的极化,(c)N能级原子与腔场的相互作用,(d)螺旋光纤中激光的贝利相位,(e)带电粒子在时间有关的均匀磁场中的量子运动,(f)核子在变化的四极平均场中的运动。一维Paul阱中粒子的量子运动构成su(1,1)动力系统；加速器中带自旋粒子的极化是su(2)动力系统；N能级原子与腔场交换光子的过程是非线性系统，但可以线性化为su(N)动力系统；带自旋粒子在转动磁场中和螺旋光纤中激光的贝利相位是su(2)动力系统；带电粒子在均匀可变的磁场和电场中的运动（推广的2时间有关的Landau系统）是sp(4)⊕h(3)动力系统；核子在变化的四极平均场中的运动是sp(6)动力系统……。在代数动力学的应用一节中，我们将研究更多的人造量子系统，它们是线性的或非线性的，但具有动力学代数结构，成为美妙的代数动力学系统。大多数人造量子系统是非自治的，这就要求发展非自治系统量子力学。研究非自治量子系统的重要性在于，人们可以通时间有关的势场或边界条件，实现对微观粒子的控制，达到为人类所用的目的。C．代数动力学随着人类控制微观粒子的实践的深入，人造量子系统的量子力学问题，特别是非自治系统量子力学问题，成为量子论的一大研究前沿。量子物理的另一发展前沿是动力学对称性理论。这一理论发源于原子核物理学的Elliottsu(3)转动模型和粒子物理中的Gell——Mannsu(3)夸克模型，20世纪70—80年代在核物理学中获得了大发展，出现了原子核集体运动的互作用玻色子模型（IBM）。从二十世纪八十年代以来，动力学对称性理论又在原子、分子物理和量子光学中获得成功应用，近年来又用于非自治量子系统和凝聚态物理的研究。动力学对称性理论，是在群论和李代数的范围内研究量子系统的守恒律和相应的动力学对称性，即在李代数范围内研究量子系统的可积性问题。它的进一步发展则是在非线性李代数即包络代数的范围内研究量子系统的可积性，即所谓的量子群和量子代数。动力学对称性理论原来的研究对象是自治的量子系统即哈密顿量不依赖于时间但具有代数结构的量子系统，研究这类系统的定态（静态）动力学对称性、守恒律及可积性问题。然而许多非自治量子系统也具有代数结构，要研究其守恒律、动力学对称性以及可积性问题，就必须把动力学对称性理论加以改造和推广。代数动力学正是在这种需要的激励下产生的。代数动力学把动力学对称性理论与非自治系统量子力学完美地结合起来，把原子核物理学中的自治系统的定态动力学对称性理论推广到人造量子系统中的非自治系统的时间有关的动力学对称性理论。代数动力学把时间之矢放入静态的运动学代数之中，使之按动力学规律随时间演化；它用代数和群论方的方法去揭示系统的守恒律和与之相应的对称性，使非自治量子系统的求解变得容易，并突出解的昀重要的物理内容即守恒量子数和动力学对称性。总之，代数动力学强调动力学的代数结构和代数系统的动力学演化。§10-2代数动力学[1-2]A．动力学的诸要素为了理解代数动力学的内涵，它与经典力学和量子力学的关系，有必要从动力学的诸要素入手对代数动力学加以剖析，并把它与经典力学和量子力学做个比较。表II正是为了实现这种剖析与比较。3表II动力学诸要素的比较动力学之要素动力学经典的量子的代数动力学经典的量子的运动之舞台:时空X=(r,t)X=(r,t)(2)运动之描述:运动学:a.运动学变量:b.运动学代数:c-数泊松代数q-数海森堡代数iip,q,iipˆ,qˆijii}p,q{δ=，ijiiipqδh=]ˆ,ˆ[经典李代数量子李代数)p,q(xi，)ˆ,ˆ(ˆpqxi{}kkijjixcx,x=,[]kkijjixicxxˆˆˆ,=(1)运动之定律：动力学:a.慣性律b.力律c.守恒律:能量守恒之微分形式iipq的泊松方程的海森堡方程iipqˆˆ)p,q(H)q(vm⎭⎬⎫，)pˆ,qˆ(Hˆ},{Hqqii=&，]ˆ,ˆ[1ˆHqidtqdiih=},{Hppii=&，]ˆ,ˆ[1ˆHpidtpdiih=ix的泊松方程的海森堡方程ixˆ))(,(txHiα，))(,ˆ(ˆtxHiα},{Hxxii=&，]ˆ,ˆ[1ˆHxidtxdiih=从表II可知：（1）代数动力学是把通常的动力学从泊松——海森堡代数动力学形式推广到一般李代数动力学形式；这是因为，通常的经典动力学的运动学代数为泊松代数，通常的量子力学的运动学代数为海森堡代数，而代数动力学的运动学代数则为一般的李代数；（2）在通常的动力学中，把哈密顿量区分为动能与势能两部分是重要的，代数动力学则不强调这种划分，而强调哈密顿量的代数结构。B．代数动力学及其内涵1.量子运动学代数如表II所示，运动学代数是动力学的基本要素，它有两方面的内涵：a、规定运动学变量；b、确定这些变量之间的代数关系。同时，运动学代数规定了动力系统运动的内涵，即什么东西在运动，它们的相互关系如何。运动学代数规定了运动的模式或类型，正是在这一点上把动力学系统区分为不同的代数动力学：不同运动模式的代数动力学。运动学代数规定了各种可能的运动模式以及如何描述这些运动模式。对于经典力学，是粒子的共轭的正则坐标与正则动量在运动，它们之间满足泊松代数关系。对量子力学，运动模式的描述更加广义一些，可以叙述如下：量子运动模式用可互易算子集vHˆ和它们的本征值描述；这些运动模式的激发、退激发和相互转化，用升算子νnαEˆ、降算子α−Eˆ，及其乘积描述。所有可能的量子运动模式，它们的激发和退激发组成量子运动学算子集{vHˆ,αEˆ,α−Eˆ}，它们的集合及其扩充在李代数对易子运算之下构成一个封闭的代数，称为量子运动学代数。4对于坐标空间的量子力学，基本的运动学代数，对一维而言是海森堡代数())3(h1=h}]ˆ,ˆ[1,ˆ,ˆ{)3(ipqpqh==（10-1）对f-维而言是f个h(3)的直和∑。应当指出，基本运动学代数描述一切可能的运动，生成整个Hilbert空间；而复合的运动学代数(其生成元是的函数),=fii)(h13)3(h}xˆic]xˆ,xˆ[)pˆ,qˆ(xˆ{gkkijjii==(10-2)常常生成一个子空间，描述某种特殊类型的运动。对于一维情况，昀简单的复合代数是su(1,1)=;)qˆpˆpˆqˆ(ikˆ,qˆk,pˆkˆ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−===−+422022(10-3)对f维，二次型的复合代数是⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=)ˆˆˆˆ(21,ˆˆ,ˆˆ)2(ijjijijiqppqppqqfsp.(10-4)显然，无论代数（10-3）或代数（10-4），只能生成Hilbert空间的一个子空间。)1,1(su)2(fsp2．代数动力学的定义定义了运动学代数之后，应当转向动力学。运动学代数是静态的代数，它刻画了各种可能的运动模式，并未描述这些运动学变量如何随时间演化。运动学代数随时间的演化，是代数动力学的基本内容。为了使静态的运动学代数随时间演化，我们需要一个时间平移算子；而运动学要变成动力学，则需要一个哈密顿量。能量守恒律要求:时间平移算子应当是系统的哈密顿量（差一个量纲常数）。对于代数动力学，因运动变量是运动学代数的生成元,故系统的哈密顿量必须是运动学变量即运动学代数生成元的函数:))t(,xˆ(HˆHˆiα=。有了哈密顿量之后，代数动力学定义为⎭⎬⎫⎩⎨⎧α===))t(,xˆ(HˆHˆ,xˆic]xˆ,xˆ[]Hˆ,xˆ[idtxˆdikkijjiii1(10-5)（10-5）式表明，代数动力学就是在系统的哈密顿量驱动下的随时间演化的运动学代数。应当指出，运动学代数只描述运动的可能模式，它比较普遍，适用的范围比较宽；而代数动力学则描述某种特定运动模式的实现，它由哈密顿量的结构决定，比较具体和特殊。对同一种运动学代数，由于系统不同因而相应的哈密顿量结构不同，动力学也就不同。53．时间有关的动力学对称性为了理解非自治系统的时间有关的动力学对称性，需要介绍一些预备知识。运动学群：群G称为运动学群，如果它的生成元组成一个运动学代数。考虑李群G，其阶为n，秩为l，相应的李代数为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=====±22,1,2,1ˆ,ˆ,2,1,ˆlnlEHnixgiLLLαναν(10-6)考虑群G的一个群链（如正则群链）及其相应的Casimir算子LL⊃⊃⊃21ssGGG（10-7）（10-8）vssrHCCCˆˆˆˆ21LL从一个群链，可以构造一组第二类完备算子集（CSCOII），{}νHCCCSCOIIsrˆ,ˆ,ˆ=