第二章-产品建模数学理论基础

逆向工程建模与产品创新设计•２.1曲线、曲面的数学描述•２.2插值、逼近、拟合•２.3光顺性与连续性•２.4B样条曲线、曲面•２.5B样条曲线曲面的拟合第二章产品建模数学理论基础２.１、曲线、曲面的数学描述1、显示描述曲线：y=f(x)曲面：z=f(x,y)2、隐式描述曲线：f(x，y)=0曲面：F(x,y,z)=0特点：xy每个x值只能对应一个y值，所以用显式方程不能表示封闭或多值曲线出现斜率为无穷大的情况不足：yx与坐标轴相关的，函数描述不具有唯一性不便于计算机处理(0,0)(1,1/2)(2,0)(0,0))2,2()423,42(xxy25.0xxy3112382原图三点绕原点逆转45度后过三点的二次多项式3、参数描述曲线：x=x(t)，y=y(t)曲面：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)1）可以与坐标无关的2）便于处理斜率为无穷大的情况3）规格化的参数变量[0,1]4）便于计算机处理（矩阵表示）2.2B样条曲线与曲面1、样条的来历2、样条的多项式插值表示110110112111121110200111nnnnnnnnxxxaaattttttttt形式简单，求解方便系数几何意义不明显，不便于控制操作当n很大时，解线性方程组费时，不可取２.3、插值、逼近、拟合1、插值给定一组有序的数据点Pi(i=0,1,…,n)，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值（Interpolation），所构造的曲线成为插值曲线。曲面依然。1）与测量点的误差为零2）测量点过多时，控制困难3）测量有误差时，光顺性差2、逼近1）可以用低阶函数2）测量点过多时，较少的控制点3）测量有误差时，保证光顺性给定一组有序的数据点Pi(i=0,1,…,n)，在允许误差范围内,构造一条曲线，接近这些数据点，称为对这些数据点进行逼近（Approximation），所构造的曲线成为逼近曲线。曲面依然。控制点：用来定义样条曲线和曲面的点。控制多边形：将控制点用直线依次连接起来形成的多边形。（见图2.3）对于贝赛尔曲线和B样条曲线，不会超过其控制多边形所形成的凸包（见图2.4）3、拟合插值和逼近统称拟和（Fitting）2.3曲线的生成原理•1、几何法曲线生成原理•1）平面曲线XyP1(x1,y1)P2(x2,y2)),(),()1(),(222111yxuPyxPuyxP)(),()(uyuxuPuPPPPyyyyxxxx121121121曲线在几何建模中主要用于建立实体截面的轮廓线，通过拉伸、旋转形成三维实体。平面直线由两个控制点来确定•2）二次曲线1010)1(uPPuP2111)1(uPPuP111020)1(uPPuP2210220)1(2)1(PuPuuPuPP1P11P2P0P01P02由3个控制点定义的二次bezier曲线同理可获得由4个控制点定义的三次曲线P0、P2、P02是二次曲线上3个顺序不同的点，分别做切线。可以利用作图法由三点生成二次曲线。•3）三次曲线11100)1(nnnuPPuP（见图2.7）•2、解析法曲线生成原理•1）三次Hermite（埃尔米特）样条曲线DCuBuAuuP23)(CBuAuuP23)(2BAuuP26)(TABCDuuuuP))(1()(23TABCDuuuP))(1023()(21010231230001010012331122)1()1()(PPPPuuuMuuuuP给定两端点的位矢和切矢可生成一曲线•2）三次Bezier曲线1010230001010012331122)1()(QQQQuuuuPQ0Q1（Q0e）Q2(Q1e）Q31100230001003303631331)1()(QQQQuuuuPee1111QpQQe0001QpQQe4个控制点建立控制多边形，特征多边形的形状改变，曲线的形状也就随着改变。•贝赛尔曲线，当改变控制点时，不仅改变当前的曲线段，而且影响临近的曲线段。3210230141030303631331)1()(QQQQuuuuP3210230141030303631331)1()(yyyyuuuuy3210230141030303631331)1()(xxxxuuuux•3）三次均匀B样条曲线２.4连续性与光顺性1、曲线的分类直线、二次曲线、贝赛尔曲线、样条曲线２.4连续性与光顺性2、连续性（C为几何连续、G为参数连续，上标代表次数）参数连续，Ck，方向一致，大小相等几何连续，Gk，方向一致。几何连续并不一定参数连续C0和G0连续：位置连续。PQ1Q2Q3Q42、连续性（续）G1连续：一阶参数连续，切向连续。G2连续：二阶参数连续，曲率连续。G2连续G1连续几何连续比较3、光顺性（Smoothness或Fairness）二阶几何连续（位置、切线方向、曲率矢量连续）不存在奇异点和多余拐点曲率变化较小应变能较小•4、曲线的控制点、局部控制及全局控制•控制点——设计者用来控制曲线形状的点，如果曲线通过，也称为型值点。•局部控制——某一控制点发生改变，其曲线的变化仅发生在以该点为中心的邻近区域。•全局控制——某一控制点变化，导致整条曲线跟着变化。•5、曲线的阶、次和段数•阶——多项式中最大的指数，•次——控制点的个数，次=阶+1•段数——指组成一组样条曲线内所包含的的曲线数量。•注：在实际应用中，一般选用低阶的样条曲线，因为很多CAD只接受三次曲线。•6、曲线的斜率和曲率•斜率（见图2.17）——表示某点出切线的倾斜角的正切•曲率（见图2.18）——反应单位长度曲线的切线转角，当单位长度趋于零时，则反应了一点的曲率2.5曲面数学基础•一、曲面的生成原理•1、Coons曲面——用4个角点处的位矢、切矢和扭矢等信息来控制曲面形状。uvuvuuuvuvuuvvvvC11101110010001001110111001000100位矢V向切向量U向切向量扭矢•2、三次Bezier曲面•——通过16个控制点来控制•33323130232221201312111003020100PPPPPPPPPPPPPPPPB3、三次B样条曲面基于B样条曲线的数学描述，可以得到B样条曲面的数学描述以及性质。给定个空间点列，则次B样条曲面方程为：其中，，是k次和l次的B样条基函数，由组成的空间网格称为B样条曲面的特征网格。•二、曲面的分类•基本曲面、Bezier曲面、B样条曲面等•三、曲面的光顺性•1、光顺处理•将曲面的光顺性转换成网格线的光顺性问题进行处理•根据曲面所具有的的一些量对曲面进行光顺处理。其中以能量法应用最为广泛。•2）光顺性检查•基于曲率的方法：包括曲率的颜色映射、绘制等曲率线、绘制反映截面线曲率变化的直线段等。•基于光照模型的方法：用平行光照射模型，通过反射线、高亮线等来进行检查。２.6、B样条曲线与曲面的拟合一般过程型值点与控制点完全不同由型值点反算出控制点由控制点计算B样条曲线、曲面连续性光顺性评价2.7曲面工程基础•一、工程曲面的分类•A——一般用于汽车车身等光顺度、美学要求比较高的曲面•B——在满足性能及工艺要求后就可以认为达到要求的曲面通常称为B级曲面•C——用于雕塑、快速成形和影视动画中。•二、工程曲面的要求•1、工程中的光顺•对于曲线的，光顺的要求体现在：•二阶参数连续；没有多余的拐点；曲率变化较均匀；不存在多余变挠点；挠率变化比较均匀•对于曲面，体现在•关键曲线光顺；网格线无多余拐点及变挠点；主曲率在节点处的曲率跳跃小；高斯曲率变化均匀。２.8曲面的应用一、工业设计1、概述就批量生产的工业产品而言，凭借训练、技术知识、经验及视觉感受，而赋予材料、结构、构造、形态、色彩、表面加工、装饰以新的品质和规格，叫做工业设计。2、曲面的作用及意义三维CAD，特别是曲面造型技术的发展，很好的解决了自由曲面的问题，缩短了工业设计的周期。高端CAD软件，如UG为工业制造提供了无缝、强大的支持。•3、工业设计知识•1）设计原则——实用、美观、经济•2）工业设计研究内容——使外观设计充分体现产品功能的先进性和科学性，使工业产品既有突出的物质功能、人机高度协调关系，又有宜人的精神功能。•3）工业设计的主要步骤•调查——绘制形象草图——绘制概念草图——制作真实感渲染图——评审——确定方案——提交最终的设计模型•二、逆向工程（逆向设计过程可以看做曲面设计的过程）•1、曲面设计要点•要注意：•1）对象是否有缺陷，•2）确定设计的整体思路，将模型划分为几个特征区•3）确定模型的主体曲面•4）对于不同形状的曲面类型，选择相应的曲面模块•5）为了避免软件问题，采用多个软件共同作用，通常采用Imageware与UG和Pro-e结合。•2、曲面在逆向工程中的应用•1）新产品的设计•2）产品的改型设计•3）已有零件的复制、再现原产品的设计意图•4）损坏或磨损零件的还原•5）数字化模型的检测•6）代替难用基本几何来表达的产品。3、曲面在模具中的应用（注塑模）4、曲面在汽车工业中的应用（冲压模）小结本章主要对逆向建模过程中所涉及的曲线、曲面数学理论知识进行论述，在此基础上着重介绍非均匀有理B样条曲线、曲面的连续性与光顺性的相关概念及检查评定方法。并对CAD设计中涉及的常用术语进行解释。最后就自由曲面的应用领域作了全面的综述。在学习中，注意概念的理解与UGCAD软件相结合来掌握非均匀有理B样条的数学定义。