大学物理竞赛专题辅导之机械波

理学院物理系张晚云理学院物理系张晚云波动主要内容小结1、描述波的物理量仅取决于媒质波源、相对运动液体和气体中的波速Bu体积模量特别：理想气体中的波速molMRTPu固体中的波速GuYu切变模量弹性模量横波纵波理学院物理系张晚云2、平面简谐波(1)波函数)cos(,0kxtAtxy波源初相位])(cos[0uxtA(2)物理意义(a)当x=x0时-----该处的振动方程)cos(,000kxtAtxy该处初相位(b)当t=t0时-----该时刻的波形方程)cos(,000kxtAtxy2k波源振动方程])(2cos[0φλνπxtA理学院物理系张晚云3、简谐波的能量与能流密度(1)平均能量密度2212wA(2)平均能流（波的功率）uSAuSwP2221(3)平均能流密度（波的强度）2212IwuAu理学院物理系张晚云4、波的相干叠加)cos(:1111tAyS)cos(:2222tAyScos2212221AAAAAp)(2)(1212rr21若m2/)12(m加强减弱21rrm2)12(m加强减弱21maxAAAA||21minAAAA(1)一般规律理学院物理系张晚云(2)特例——驻波【形成】两等幅、等速的反向波发生相干叠加的结果【特点】分段振动的稳定态，无相位、能量的传播注意：半波损失及其发生条件在固定端反射、从波疏媒质垂直（或掠）入射到小波密媒质界面反射时，产生半波损失理学院物理系张晚云振动的本征频率与简正模21l222l233l,3,2,1,2nnl41l432l453l,2,14)12(nnlnu反之，为负值相互接近，取为正值；、SR5、多普勒效应(1)机械波的多普勒效应：(S和R在同一直线上运动)理学院物理系张晚云注：S和R不在同一直线上运动，只需写出它们在连线方向上的速度分量，代入上式进行计算即可。(2)电磁波的多普勒效应相对速度SR(3)若υSu，则产生冲击波··SuυS··MVus1sin＝马赫数注：带电粒子在介质中运动中，也可辐射锥形电磁波。理学院物理系张晚云典型问题及示例波动考题大致可分为以下几种类型(2)由已知点的振动，求波动表达式；(3)已知波形曲线，求波动表达式；(5)波的叠加——波的干涉和驻波；(6)多普勒效应。(4)波的能量或能流；★★理学院物理系张晚云一、由已知点的振动，求波动表达式解题思路：(1)由题设条件写出波源或传播方向上某一点(x=x0)的振动表达式；(2)在波线上任取一点p(坐标为x)，计算由传播路径引起的Ｐ点振动相位比已知点超前或滞后量：(3)在原振动表达式中的加上（超前）或减去（滞后）上述相位差即得到波动表达式；)(20xx注意：若涉及反射，则讨论半波损失。2008.03理学院物理系张晚云例1如图，Ｏ处波源的振动方程为该振动以平面波形式沿x轴正向传播，波速为u。在距波源d处发生反射，反射点为一固定端。设反射时无能量损失，试求反射波的表达式。)(2cos0SItAyＯx入射波Ｐxd提示：(1)传播过程→相位延迟：)2(2xdλπφΔ(2)固定端反射→半波损失)(])2(22cos[),(SIxdtAtxyrπλππν反射波补充：半波反射和全波反射半波反射固定端入射波反射波全波反射反射波入射波自由端理学院物理系张晚云理学院物理系张晚云二、已知波形曲线，建立波动表达式；解题思路：(1)由某时刻的波形曲线写出振幅与波长等，特别要注意从曲线上确定某点（如原点）的振动相位，通常是用旋转矢量法。(2)写出上述某点的振动方程；(3)根据传播方向写出波动表达式。注意：若同时给出两个时刻的波形图，可得到波速等信息。1.一沿x轴负向传播的平面余弦波在t=1/3s时的波形如图所示，且周期T=2sPQ20x/cmoy/cm-5..u(1)写出O点的振动表式;(2)写出此波的波动表式;(3)写出Q点的振动表式(4)Q点离O点的距离多大?理学院物理系张晚云解：0.5Hz=20cm/s==40×0.5A=10cm=40cmπω2T==π=u=2sT(1)由旋转矢量法可知O点在t=1/3s时的相位为-2π/313t×+=ωπ+=23π=π()ππ10tcos=y0O点的振动规律：+=πx20π3π2π)(+π10tcos=yQ6π=23.3cmx13t×+==ωπ+2π=6π(2)波动方程为(3)对于Q点由(1)式：+()ππ10tcos=yx20(1)理学院物理系张晚云()ππ10tcos=y0PQ20x/cmoy/cm-5..u例6.已知一列沿x正向传播的简谐波在t1=0和t2=0.25s时的波形如图所示。求：(1)P点的振动表式;(2)此波的波动表式;x/moy/m0.20.45ut1=0t2=0.25sP.解：A=0.2m=0.6mT=1s=4×0.251Hz=πω2T==2π=u=0.6m/s+π0.2tcos=2yπx20.6t=0x=0y=0v0π2=+π2310πxπ0.2tcos=2y理学院物理系张晚云+π2310πxπ0.2tcos=2yπ2+π0.2tcos=2yOπ2+×0.3310π0.2tcos=2yπPπ2π0.2tcos=2理学院物理系张晚云x/moy/m0.20.45ut1=0t2=0.25sP.2例3如图所示为一平面简谐波在t=2s时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时质点P的运动方向向下，求(1)该波的波函数；(2)在距原点O为100m处质点的振动方程与振动速度表达式。提示：先根据P点的振动方向可判断波向左传播。uA/2x(m)y(m)o100mP理学院物理系张晚云t=2sy(m)2uA/2x(m)o100mP2A/2t=2syo理学院物理系张晚云4)(20πφωstt再求O点振动的初相：写出波函数：)cos(,0φωkxtAtxy代入考察点点坐标，得该点振动方程理学院物理系张晚云三、波的能量要求：熟记相关公式，注意波动能量与谐振动能量的区别。1.一扬声器的膜片，半径为0.1m，使它产生lkHz、40W的声辐射，则膜片的振幅应多大?已知该温度下空气的密度为ρ=1.29kg/m3，声速为344m/s。提示：uρω12AI2=2πPr2=2、一扬声器各向同性地发出频率为2kHz的球面波，在6m远处的强度为1.0×10-3W/m2，设没有反射，则。(1)在30m处的声强为多大?(2)6.0m处的位移振幅为多大?解：2530==62=I6125×1.0×10-32=I6I30r30r62(1)1I3025=4.0×10-5(W/m2)uρω12AI2=2uρω12AI==1.72×10-7(m)(2)理学院物理系张晚云理学院物理系张晚云四、波的叠加——干涉与驻波波的干涉问题主要是计算相干波在相遇处是增强还是减弱，这可通过二者相位差或波程差来确。驻波问题中，重点是计算波腹和波节的位置，关键是写出入射波与反射波在相遇点的相位差或波程差。1．海边有一发射天线发射波长为λ的电磁波，海轮上有一接收天线，两天线都高出海面H，海轮自远处接近发射天线。若将平静海面视为水平反射面，当海轮第一次接收到时讯号极大值时，两天线的距离为。发射天线24222xxHxH反射波与直射波的波程差：k1442Hx变化：两天线高度不等；船→飞机(波源)，结果如何？变1.地面上波源S与高频率波探测器D之间的距离为d，从S直接发出的波与从S发出经高度为H的水平层反射后的波，在D处加强，反射线及入射线与水平层所成的角度相同。当水平层逐渐升高h距离时，在D处测不到讯号。不考虑大气的吸收。试求此波源S发出波的波长。dhHSD32112BA提示：SBBD+=d1SAAD+=d22d1+=kd1、3两波在D处干涉加强2、3两波在D处干涉相消1()+2d2+=kd22d2=2d1得理学院物理系张晚云变2.图为演示声波干涉的声音干涉仪。S为扬声器，D为声音探测器。路径SAD固定，但路径SBD的长度可变。干涉仪内有空气，声强在B的第一位置时为极小值100单位，而渐增至B距第一位置为1.65cm的第二位置时，有极大值900单位，求：(1)声源发出的声波频率;(2)抵达探测器的两波的相对振幅ABDS理学院物理系张晚云(1)由题意解：4=1.65×10-2(m)=6.6×10-2(m)=u=331=5015(Hz)6.6×10-2(2)A1=A2I1I21001900=3=例2.有一平面波的波动方程为：此波传到隔板上的两个小孔A、B上，A、B相距1m,PA⊥PB,如图所示。若从A、B传出的子波到达P时恰好第一次相消，求P点到A点的距离。π2tycos=x330600(SI)ABP理学院物理系张晚云u=330m/s=300Hz=u=330300=1.1(m)π2tycos=x330600解：ABPx1mΦΔ()π2PBPA=π1()+=k2=2()PBPA1()+k20=k令得1x2+=x2x=0.634m解得：理学院物理系张晚云1x=421变题1：如图所示，从远处声源发出的波长为的声波垂直入射到墙上，墙上有两相距为的小孔A和B。若将一探测器沿与墙垂直的AP直线移动，则只能探测到两次极大，它们的位置Q1、Q2已定性地在图中示出，则Q1、Q2到A点的距离分别为d1=，d2=。声波BAQ2Q1P33理学院物理系张晚云提示：222AQBQ设111AQBQ设AB12则3;212例3.标准声源能发出频率为ν0=250Hz的声波，一音叉与该标准声源同时发声，产生频率为1.5Hz的拍音，若在音叉的臂上粘上一小块橡皮泥，则拍频增加，由此可知，音叉的固有频率ν=。将上述音叉置于盛水的玻璃管口调节管中水面的高度，当管中空气柱高度L从零连续增加时，发现在L=0.34m和1.03m时产生相继的两共鸣，由以上数据可得声波在空气中的传播速度为。理学院物理系张晚云提示：0拍0拍0拍音叉粘橡皮泥此时拍频↑(×)拍0mHz5.248共鸣时气柱内形成驻波4/)12(λkLn连续两次共鸣时气柱的高度差2/nLnL2理学院物理系张晚云五、多普勒效应典例求解1.(1)一波源(ν=2040Hz)以速度υs向一反射面接近，观察者在A点听得拍音的频率为Δν=3Hz，求波源移动的速度υs，设声速为340m/s；(2)若(1)中波源没有运动，而反射面以速度υ=0.20m/s向观察者接近,所听得的拍音频率Δν=4Hz求波源的频率。Avs波源观测者解(1)：观察者直接听到的频率为uSvu+=1由反射面反射后的波的频率为uSvu-=2Δ=21=SvuSvu222+=0ΔSv2Svu2Δu2+=0ΔSv2Svu2Δu2=Sv+ΔuΔ211≈Δu2=0.25(m/s)(2)波源不动，反射面以υB向波源接近，则反射面接收到的频率为uuBv+´=反射面相当于新波源，它相对观察者A接近，故A接收到的频率为uBvu=´´´=uuBv+uBvu´=Δ´=uBv+1Bvu=2BvBvu=2BvBvuΔ23400.20.2×4×==3398(Hz)理学院物理系张晚云变1一固定的超声波探测器在海水中发出一束频率为30000Hz的超声波，被向着探测器驶来的潜艇反射回来，反射波与原来的波合成后得到频率为241Hz的拍。求潜挺的速率。设超声波在海水中的波速为1500m/s。=6(m/s)´=Δ´=´´uBv+Bvu=uBv+1Bvu=2BvBvu+=2uBvΔΔ=1500×2412×30000+2