大学物理竞赛辅导之机械振动

理学院物理系张晚云机械振动知识小结一、简谐振动的定义（判据）1、弹性回复力2、动力学方程3、运动学方程)sin(tA)2cos(tA其速度、加速度也有简谐振动的特征)cos(2tAa)cos(tAT2理学院物理系张晚云二、简谐振动的三个特征量1、振幅2、角频率3、初相位mk弹ωlg单ωImglc复ω22020ωυxA00tanxωυφ同一振动中位相差ωφΔΔt与时间差的关系：或由旋转矢量法确定理学院物理系张晚云注意弹簧的串、并联及弹簧自身质量的影响三、简谐振动的三种表示方法1、解析表达法2、振动曲线法3、旋转矢量法tx图AAxT2Tto理学院物理系张晚云三、简谐振动的三种表示方法1、解析表达法2、振动曲线法3、旋转矢量法tx图AAxT2Tto理学院物理系张晚云理学院物理系张晚云注意：熟练掌握旋转矢量法！Atx0=0txxt0)cos(tAxa、确定初相位b、确定相位差或时间差同一振动：t同频率不同振动：12c、解决振动合成问题四、简谐振动的能量2222121AmkAEEEKP221kxEP221mEk理学院物理系张晚云1、由能量求振幅kEA022、由能量求角频率常数),(υxE两边求导022kxtxmddmk2ω理学院物理系张晚云五、简谐振动的合成;,)(max211221AAAAk则若πφφφΔ.,)(min2112122AAAAk则若πφφφΔ1、同方向同频率两个简谐振动的合成)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(21tAxxxcos2212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg理学院物理系张晚云2、同方向同频率N个等振幅、初相位依次相差定值的简谐振动的合成tAtxcos)(01)cos()(02tAtx)2cos()(03tAtxNxxxx21)cos(tA2sin2sin0NAA])1(cos[)(0NtAtxN21N理学院物理系张晚云３、同方向不同频率的简谐振动的合成)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx2-12+121xxx)2cos()2cos(22112ttA随ｔ缓变形成“拍”)2cos(212tAAωω合合振动的振幅：122拍T12拍理学院物理系张晚云4、相互垂直的同频率的简谐振动的合成)cos(11tAx)cos(22tAy221222212sincos2AAxyAyAx12特别地当振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。理学院物理系张晚云六、阻尼振动七、受迫振动1、稳态解x=Acos(t+)驱动力频率2、共振1）速度共振：若0则r0，称尖锐共振2）位移共振：理学院物理系张晚云机械振动典型问题及示例一、简谐振动三类问题1.简谐振动的运动学问题运动状况振动曲线三个特征量运动学方程2.简谐振动的动力学问题受力分析牛顿定律动力学方程初始条件3.简谐振动的合成（通常与波的相干叠加相结合）理学院物理系张晚云1.简谐振动的运动学问题举例gRt21例1.有一半球形光滑的碗，小球1在碗的球心处，小球2在碗壁离碗底部中心A很近的地方，如图所示，现同时释放两球，所有阻力均不计，则小球1与小球2到达碗底A所需时间之比为。A小球1作自由下落：42Tt小球2作简谐振动：gR22221tt例2.一摆钟在g=9.800(SI)处走时准确，如移至另一地点后，每天慢10s，求该地的重力加速度值。解：由单摆的周期公式glT2两边同时微分，得：ggTT2gTTg2标准钟的秒摆周期T=1s,移地后的周期：sT1108640086400863901011086400864001TTTTTTT2/0023.08639010800.922smgTTg2/7977.90023.0800.9smggg理学院物理系张晚云理学院物理系张晚云2.简谐振动的动力学问题举例（两种类型）类型Ⅰ证明或判断振动物体是否作简谐运动判断简谐运动的依据：动力学方法能量法动力学方法的步骤：①确定振动系统，以平衡位置处为原点建立坐标；②分析处于任意位置处系统各物体的受力情况；③列出各物体的动力学方程，与上述微分方程比较。能量法的步骤：①确定振动系统，分析振动系统的机械能是否守恒；②以平衡位置为原点建立坐标,写出任意位置机械能；③把上述结果对时间求一阶导数，并将所得结果与简谐振动的动力学判据进行比较。类型Ⅱ物体与振动系统相互作用而引起的简谐运动理学院物理系张晚云例1.某液体的密度随深度的增加而线性增大，且已知其表面处及深度为D处的密度分别为、。现有一密度为的小球于深度为D/2处由静止开始下落。若忽略液体阻力，试求该物体的运动方程。0ρ02ρ02ρ理学院物理系张晚云例2.如图所示，在倾角为的斜面上有一倔强系数为k的弹簧，其一端固定，另一端与一质量为m的实心圆柱体的轴连接，圆柱体在斜面上作纯滚动。若忽略轴承的摩擦，试证明该圆柱体的运动为简谐振动。θkθ平衡位置自然位置0x理学院物理系张晚云例2.如图所示，在倾角为的斜面上有一倔强系数为k的弹簧，其一端固定，另一端与一质量为m的实心圆柱体的轴连接，圆柱体在斜面上作纯滚动。若忽略轴承的摩擦，试证明该圆柱体的运动为简谐振动。θθRmgθsinmgrfkfk平衡位置自然位置0xx理学院物理系张晚云例3.弹簧振子中的小球质量为M，弹簧的一倔强系数为k，弹簧的质量为m，且该质量是均匀分布的。试求无阻尼振动的周期。例4.一半径为R的光滑圆环以恒定的角速度ω绕其竖直的直径旋转，圆环上套有一小珠。试求在Rω2g的情形下：(1)小珠相对圆环的平衡位置(以小珠与圆心的连线同竖直直径之间的夹角q0表示);(2)小珠在平衡位置附近作小振动的角频率。理学院物理系张晚云0q解：(1)在平衡位置时mgNmg=Ncosq0Nsinq0=ωmRsinq02g=cosq0Rω21cosg=q0Rω2(2)当小球偏离平衡位置时小球除了受正压力N，重力作用mg外，qNmgFI还受到一惯性力:切向:qqmamgFIsincos22dtdmRqqqqsincossin2Rg22dtdq)sin()cos()sin()(000222qqqqqqqRgdtdqqqqq)(cossin)sin(000qqqqq)(sincos)cos(00022)(dtdqqqq]cos)cos21([0022Rg理学院物理系张晚云22)(dtdqqqq]cos)cos21([0022Rg理学院物理系张晚云g=cosq0Rω20)(2224222qqRgRdtdωR2ω4g2R2ω2=理学院物理系张晚云例5.一不可伸长的细绳穿过光滑桌面的小孔，一端系一质量为m的小球，另一端系一质量为M的重物。小球在桌面上以作匀速率圆周运动，此时重物静止不动。试证明：当重物受到竖直向下或向上的微扰后，它将在竖直方向作简谐振动，并求其振动周期。0ω例6.如图,一弹簧振子由劲度系数为k的弹簧和质量为M的物块组成，将弹簧一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为m、速度为v01的子弹由下而上射入物块，并留在物块中。试求：(1)振子以后的振动振幅与周期；(2)物块从初始位置到最高点所需的时间。M01ox0x自然位置x解：建立如图所示坐标，在平衡位置)()(0xxkgMmxkMgkmgx0(1)由动量守恒得：001)(Mmm010)(Mmm理学院物理系张晚云M01ox0x自然位置xkmgx0010)(MmmMmk22020xA2201)(1gMmkkmg00tanx(2)最高点的相位：Mmkg012t)(tan011Mmkg2t)(tan011MmkgkMmt理学院物理系张晚云理学院物理系张晚云三、阻尼振动与受迫振动问题举例A1.固有频率为的弹簧振子，在忽略阻尼的情况下，受到频率为的余弦策动力作用，作受迫振动并达到稳定状态，振幅为A。若振子在经过平衡位置时撤去策动力，此后作振幅A′的自由振动，则A′与A的关系为。002提示：撤去策动力前、后振子在平衡位置的速率不变。振子受稳态受迫振动时，在平衡位置处的速率为：A振子自由振动时，在平衡位置处的速率为：AA2理学院物理系张晚云2.一摆在空中振动，某时刻振幅为A0=0.03m，经过t1=10s后，振幅变为A1=0.01m，问:由振幅为A0时起经多长时间，其振幅减为A2=0.003m？=20.9(s)=0.110βAe0=At0=lnAlnAβt1=ln100.030.01110=lnβtAA1120=lnβtAA2=10.11ln0.030.003解：理学院物理系张晚云五、补充练习题1.设想沿地球直径凿一隧道，并设地球为密度ρ=5.5×l03kg/m3的均匀球体。试证:(1)当无阻力时，一物体落入此隧道后将作简谐振动；(2)物体由地球表面落至地心的时间为(提示:物体在地球内部所受引力的计算，与电荷在均匀带电球体内受力的计算类似)式中G是引力常量。2.一质量为m，半径为r的均匀实心小球在半径为R的球形碗底作纯滚动。求微小振动的周期。理学院物理系张晚云Rθr3.质量为可在光滑水平直导轨上滑动，滑块经长为l的刚性轻杆与一质量为的重锤相连。重锤与滑块可绕滑块无摩擦地自由转动。在t=0时刻，细杆与铅垂线夹角由静止释放。试求：重锤的运动轨迹及小角度下滑块的运动方程。理学院物理系张晚云l0θ1m2m1m2m4.质量为的小球在光滑水平桌面以角速度作匀速圆周运动，所需的向心力由与其相连的弹簧提供。弹簧的倔强系数为k，另一端固定。现沿径向轻击小球。试求：小球的径向振动周期。理学院物理系张晚云mω理学院物理系张晚云END