大学物理第五版下-课后答案(9~15)

大学物理下册解析第九章振动9-1一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为2A−，且向x轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（）题９-１图分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在x轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b）．9-2已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（）()()()()()()()()cmπ32π34cos2Dcmπ32π34cos2Bcmπ32π32cos2Ccmπ32π32cos2A+=−=+=−=txtxtxtx题９-２图分析与解由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为–A/2，且向x轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为3/π2．振动曲线上给出质点从–A/2处运动到+A处所需时间为1s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差34πϕ=∆，则角频率()1s3/4/−=∆∆=πϕωt，故选（D）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程大学物理下册解析来找出正确答案．9-3两个同周期简谐运动曲线如图（a）所示，x1的相位比x2的相位（）（A）落后2π（B）超前2π（C）落后π（D）超前π分析与解由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b）即可得到答案为（b）．题９-３图9-4当质点以频率ν作简谐运动时，它的动能的变化频率为（）（A）2v（B）v（C）v2（D）v4分析与解质点作简谐运动的动能表式为()ϕωω+=tAmEk222sin21，可见其周期为简谐运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C）．9-5图（a）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（）（A）π23（B）π21（C）π（D）0分析与解由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差是π（即反相位）．运动方程分别为tAxωcos1=和()πcos22+=tωAx．它们的振幅不同．对于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b）很方便求得合运动方程为tAxωcos21=．因而正确答案为（D）．大学物理下册解析题９-５图9-6有一个弹簧振子，振幅m10022−×=.A，周期s01.=T，初相4/3π=ϕ．试写出它的运动方程，并作出tx−图、t−v图和ta−图．题９-6图分析弹簧振子的振动是简谐运动．振幅A、初相ϕ、角频率ω是简谐运动方程大学物理下册解析()ϕω+=tAxcos的三个特征量．求运动方程就要设法确定这三个物理量．题中除A、ϕ已知外，ω可通过关系式Tω/π2=确定．振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同．解因Tω/π2=，则运动方程()+=+=ϕϕωTAtAxt2coscosπ根据题中给出的数据得()()m75.02cos100.22π+×=−txπ振子的速度和加速度分别为()()-12sm75.02sin104d/d⋅+×−==−πππtyxv()()-1222sm75.02cos108d/d⋅+×−==−πππtyxatx−、t−v及ta−图如图所示．9-7若简谐运动方程为()()mπ25.0π20cos10.0+=tx，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）s2=t时的位移、速度和加速度．分析可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式()ϕω+=tAxcos作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果．解（1）将()()mπ25.0π20cos10.0+=tx与()ϕω+=tAxcos比较后可得：振幅A＝0.10m，角频率1sπ20−=ω，初相ϕ＝0.25π，则周期s1.0/π2==ωT，频率Hz/1T=v．（２）s2=t时的位移、速度、加速度分别为()m1007.7π25.0π40cos10.02−×=+=tx()-1sm44.4π25.0π40sinπ2d/d⋅−=+−==txv()-22222sm1079.2π25.0π40cosπ40d/d⋅×−=+−==txa9-8一远洋货轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积为S．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期．分析要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F与位移x间的关系，如果满足kxF−=，则货轮作简谐运动．通过kxF−=即可求得振动周期kmωT/π2/π2==．证货轮处于平衡状态时［图（a）］，浮力大小为F＝mg．当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x轴正向，如图（b）所示．则当货轮向下偏移x位移时，受合外力为∑′+=FPF其中F′为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为gSxmggSxFFρρ+=+=′大学物理下册解析题９-８图则货轮所受合外力为kxgSxFPF−=−=′−=∑ρ式中gSkρ=是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动．由∑=txmF22dd/可得货轮运动的微分方程为0dd22=+mgSxtx//ρ令mgS/ρω=2，可得其振动周期为gSρmπωT/2/π2==9-9设地球是一个半径为R的均匀球体，密度33mkg1055−⋅×=.ρ．现假定沿直径凿通一条隧道，若有一质量为m的质点在此隧道内作无摩擦运动．（1）证明此质点的运动是简谐运动；（2）计算其周期．题９-９图分析证明方法与上题相似．分析质点在隧道内运动时的受力特征即可．证（1）取图所示坐标．当质量为m的质点位于x处时，它受地球的引力为大学物理下册解析2xmmGFx−=式中G为引力常量，xm是以x为半径的球体质量，即3/π43xρmx=．令3/π4Gmρk=，则质点受力kxGmxρF−==3/π4因此，质点作简谐运动．（2）质点振动的周期为s1007.5/π3/π23×===ρGkmT9-10如图（a）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为1k、2k．当物体在光滑斜面上振动时．（1）证明其运动仍是简谐运动；（2）求系统的振动频率．题9-10图分析从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）．为此，建立如图（b）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率υ．证设物体平衡时两弹簧伸长分别为1x、2x，则由物体受力平衡，有2211sinxkxkmg==θ（1）按图（b）所取坐标，物体沿x轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸1x′和2x′，即21xxx′+′=．则物体受力为大学物理下册解析()()111222sinsinxxkmgxxkmgF′+−=′+−=θθ（２）将式（1）代入式（2）得1122xkxkF′−=′−=（３）由式（3）得11kFx/−=′、22kFx/−=′，而21xxx′+′=，则得到()[]kxxkkkkF−=+−=2121/式中()2121kkkkk+=/为常数，则物体作简谐运动，振动频率()mkkkkπmkωv2121/21/π21π2/+===讨论（1）由本题的求证可知，斜面倾角θ对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2）如果振动系统如图（c）（弹簧并联）或如图（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为()mkkv/π2121+=，读者可以一试．通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是相同的．*9－11在如图（a）所示装置中，一劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为1m的物体A，置于光滑水平桌面上．现通过一质量m、半径为R的定滑轮B（可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为2m的物体C．设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率．题9-11图分析这是一个由弹簧、物体A、C和滑轮B组成的简谐运动系统．求解系统的振动频率可采用两种方法．（1）从受力分析着手．如图（b）所示，设系统处于平衡状态时，与物体大学物理下册解析A相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O，此时弹簧已伸长0x，且gmkx20=．当弹簧沿xO轴正向从原点O伸长x时，分析物体A、C及滑轮B的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程．（2）从系统机械能守恒着手．列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程．解1在图（b）的状态下，各物体受力如图（c）所示．其中()iF0xxk+−=．考虑到绳子不可伸长，对物体A、B、C分别列方程，有()22101ddtxmxxkFT=+−=（1）22222ddtxmFgmT=−（2）()2212dd21txmRJRFFTT==−α（3）gmkx20=（4）方程（3）中用到了22TTFF′=、11TTFF′=、22/mRJ=及Ra/=α．联立式（1）～式（4）可得02dd2122=+++xmmmktx/（5）则系统振动的角频率为()221//mmmk++=ω解2取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒．设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离x（此时速度为v、加速度为a）为末状态，则由机械能守恒定律，有()20222212021212121xxkωJmmgxmE+++++−=vv在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取．为运算方便，选初始状态下物体C所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点．将上述方程对时间求导得()txxxktωωJtmtmgmdddddddd00212+++++−=vvvvv将22/mRJ=，v=Rω，22d/dd/dtxt=v和02kxgm=代入上式，可得02dd2122=+++xmmmktx/（6）式（6）与式（5）相同，表明两种解法结果一致．9-12一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A＝2.0×10-2m，周期T＝0.50ｓ．当t＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置、向负方向运动；（3）物体在x＝-1.0×10-2m处，向负方向运动；（4）物体在x＝-1.0×10-2m处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程．分析在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相大学物理下册解析的确定通常有两种方法．（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t＝0时，x＝x0和v＝v0来确定φ值．（2）旋转矢量法：如图（a）所示，将质点P在Ox轴上振动的初始位置x0和速度v0的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．题9-12图解由题给条件知A＝2.0×10-2m，1sπ4/2−==Tω，而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求．解析法：根据简谐运动方程()ϕω+=tAxcos，当0t=时有()ϕω+=tAxcos0，sin0ωA−=v．当（1）Ax=0时，1cos1=ϕ，则01=ϕ；（2）00=x时，0cos2=ϕ，2π2±=ϕ，因00v，取2π2=ϕ；（3）m100120−×=.x时，50cos3.=ϕ，3π3±=ϕ，由00v，取3π3=ϕ；（4）m100120−×−=.x时，50cos4.−=ϕ，3ππ4±=ϕ，由00v，取3π44=ϕ．旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b）所示，它们所对应的初相分别为01=ϕ，2π2=ϕ，3π3=ϕ，3π44=ϕ．振幅A、角频率ω、初相φ均确定后，则各相应状态下的运动方程为（