第七讲_泰勒级数_罗朗级数

第七讲泰勒(Taylor)级数罗朗(Laurent)级数1.泰勒展开定理2.展开式的唯一性3.简单初等函数的泰勒展开式§4.3泰勒(Taylor)级数1.泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）由§4.2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。定理（泰勒展开定理）,2,1,0)(!1:)1()()(,,,)(0)(00000nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其中时当上各点的最短距离的边界到为内解析在区域设级数的处在Taylorzzf0)(Dk0zrzkdzfizfncknnn0100)(:)(21)(!1分析：代入(1)得Dk0z(*))()()()()2),10010nnnzzzfzf有，比较)2)(21)(kdzfizf又)1)()()(21)()()(21)(!)()(00100010000)(00knnnnnknnnnnnndzzzfizzdzfizznzfzzcz)2()()(11100200000nzzzzzzzzzzz,111)(1100000zzzzzzzz注意到,100qzzz0000)()()()(nnnzzzzfzf故---(*)得证！nnnzzzf)()()(0010证明(不讲)kdzfizfCauchykzDrzrzk)(21)(:,,}{,:00积分公式由内任一点为设,100qzzz00000111)(11zzzzzzzz)3(])()(1[100200000nzzzzzzzzzz级数处的在函数逐项积分得沿着两端乘以Talorzzfzznzfzfzfdzfizzdzfizzdzfidzfizfkifnnknnkkk000)(001002000)()4()(!)()(')()()(2)()()(2)(21)(21)(,,2)((不讲)!.)(,,,)4(0000证毕离的边界上各点的最短距到从级数收敛半径至少等于处的解析点在内即可及其内部包含在只要圆可以任意增大的半径圆的圆域为半径为中心，的收敛范围是以级数DzTaylorzzfDkrkrzrz证明(不讲)收敛圆周上.只能在收敛半径还可以扩不然的话,不可能在收敛圆外,奇点又不可能在收敛圆内.所以奇点圆内解析在收敛这是因为在收敛圆上,奇点因此,大,,)()2(zf000,)()()(zRzfzRTalorzzfzf即之间的距离,的最近的一个奇点到等于从展开式的收敛半径的在解析点那么有奇点,若(1)2.展开式的唯一性结论解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？1010021)(')()(2)('azfzznazzaazfnnnnzzazzazzaazf)()()()(0202010事实上，设f(z)用另外的方法展开为幂级数:导性质得，，再由幂级数的逐项求则00)(azf,2,1,0)(!1,0)(nzfnann依此类推得，由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。级数为：时当Taylorz,00nnznfzfzffzf!)0(!2)0('')0(')0()()(2---直接法---间接法•代公式•由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分析运算和已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：.!!3!21),2,1,0(1)(3200)(Renzzzzeneeznzzzznz该级数的收敛半径在复平面上解析3.简单初等函数的泰勒展开式.0cos,sin,)(展开式的在求Talorzzzezfz例1解00!)(!)(212sinnnnnzizinzinziiieez)!2()1(!4!21)'(sincos242nzzzzznn又Rzz它们的半径在全平面上解析，cos,sin112111212!)!12()1(!)!12(221kkkkkkkzkzii1121753!)!12()1(!7!5!3sinkkkkzzzzzz上述求sinz,cosz展开式的方法即为间接法.例2把下列函数展开成z的幂级数:)1ln()()3()1(1)()2(11)()1(2zzfzzfzzf解1111)1(2zzzzzn1)1(1)(1111zzzzznn(2)由幂级数逐项求导性质得：1)1(321)1(111)1(1112122znzzzzzzdzdzdzdznnnn:)1(,)1(01)3(逐项积分得的展开式两边沿将的路径内任意取一条从在收敛圆cczzz11)1(312)1ln(132znzzzzznnznnzzzdzzzdzdzzdz0000)1(1(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析，ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z1.1,11,1)1(111)2(22422RizzRxxxxnn有两个奇点在复数域中容易看出看清楚,在实数域中的不容易为什么它的收敛半径在实数域中定理.)()()2(.)()()()1(0000幂级数内可展成在内解析在区域函数数某一邻域内可展成幂级的在解析在点函数DzfDzfzzczzfzzfnnn解析在点小结：0)(zzf级数。的某一邻域内可展成幂在点。正向封闭路线的积分为邻域内的任一条的某一邻域内连续且沿在点方程。且满足导数的某一邻域内有连续偏的实部和虚部在点的某一邻域内可导。在点0000)()4(0)()3()()2()()1(zzfzzfRCzzfzzf1.预备知识2.双边幂级数3.函数展开成双边幂级数4.展开式的唯一性§4.4罗朗(Laurent)级数由§4.3知,f(z)在z0解析，则f(z)总可以在z0的某一个圆域z-z0R内展开成z-z0的幂级数。若f(z)在z0点不解析，在z0的邻域中就不可能展开成z-z0的幂级数，但如果在圆环域R1z-z0R2内解析，那么，f(z)能否用级数表示呢？例如，.11010:,1,0)1(1)(内处处解析及圆环域但在都不解析在zzzzzzzfnzzzzz2111zzzzzfz111)1(1)(,10时当)1(1111)1(1)(,110zzzzzfz时当nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若f(z)在R1z-z0R2内解析,f(z)可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz本节将讨论在以z0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础。1.预备知识Cauchy积分公式的推广到复连通域---见第三章第18题，：、且作圆周：解析内在设RzzrDDkkRrRzzkrzzkRzzRDzf01210201201,,,:,:.:)(Dz0R1R2rRk1k2D1z有，对1Dzdzfidzfizfkk12)(21)(21)(2.双边幂级数---含有正负幂项的级数定义形如)1()()()()()(001010100nnnnnnnzzczzcczzczzczzc　　　　　　---双边幂级数正幂项(包括常数项)部分：)2()()()(001000nnnnnzzczzcczzc都是常数及其中),2,1,0(0nczn负幂项部分：)3()()()(010110nnnnnzzczzczzc级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在z-z0=R2内收敛，且和为s(z)+;在z-z0=R2外发散。则若令对于级数,1),3(0zz级数发散。级数收敛则当设其收敛半径为为幂级数级数对变数RRR,,,)4()4()(221110nnnnnnnncccczzc)4(,11,1100则级数代回得将令RRzzzz.;)(,1010发散当且和为收敛当－RzzzsRzzz0R1R2有公共收敛域21RRz0R2R1无公共收敛域21RR。且和收敛称，此时，区域即圆环域：有公共收敛及时，级数当且仅当)()()(,)()3()2(020121zszszszzcRzzRRRnnn.)()4(2010以逐项求积和逐项求导和函数是解析的而且可内的在级数RzzRzzcnnn02100)3(zzRR：，，收敛域为此时可以可以。，发散处处称时当nnnzzcRR)()1(021(2)在圆环域的边界z-z0=R1,z-z0=R2上,nnnzzc。点收敛，有些点发散可能有些)(03.函数展开成双边幂级数定理.)'5(),2,1,0()()(21:)5()()(,:)(0100201的任何一条简单闭曲线内绕是其中则内解析在设zDcndzzzzficzzczfRzzRDzfcnnnnn级数内的在称为LaurentRzzRDzf201:)(展开式内的在称为LaurentRzzRDzf201:)(证明由复连通域上的Cauchy积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z(*))(21)(21)(12dzfidzfizfkk记为I1记为I2，时，当1002zzzk，时，当记为1001qzzzk)1(*)())()()(21(00010012nnnnknnzzczzdzfiI的推导得：重复3§nnzzzzzzzz)()()(1010200000000111)(11zzzzzzzzz)2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfiI