初三数学压轴题

1.如图，直线3yx与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过BC，两点的抛物线2yaxbxc与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线2x．（1）求A点的坐标；（2）求该抛物线的函数表达式；（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点PBQ，，为顶点的三角形与ABC△相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．[解]直线3yx与x轴相交于点B，当0y时，3x，点B的坐标为(30)，．又抛物线过x轴上的AB，两点，且对称轴为2x，根据抛物线的对称性，点A的坐标为(10)，．（2）3yx过点C，易知(03)C，，3c．又抛物线2yaxbxc过点(10)(30)AB，，，，309330abab，．解得14ab，．243yxx．（3）连结PB，由2243(2)1yxxx，得(21)P，，设抛物线的对称轴交x轴于点M，在RtPBM△中，1PMMB，452PBMPB，∠．由点(30)(03)BC，，，易得3OBOC，在等腰直角三角形OBC中，45ABC∠，由勾股定理，得32BC．假设在x轴上存在点Q，使得以点PBQ，，为顶点的三角形与ABC△相似．①当BQPBBCAB，45PBQABC∠∠时，PBQABC△∽△．即2232BQ，3BQ，又3BO，点Q与点O重合，1Q的坐标是(00)，．②当QBPBABBC，45QBPABC∠∠时，QBPABC△∽△．ABCPOxy2xABCPOxy2x即2232QB，23QB．273333OBOQOBQB，，2Q的坐标是703，．18045135135PBxBACPBxBAC，，∠∠∠∠．点Q不可能在B点右侧的x轴上综上所述，在x轴上存在两点127(00)03QQ，，，，能使得以点PBQ，，为顶点的三角形与ABC△相似。2.（河南卷）二次函数218yx的图象如图所示，过y轴上一点02M，的直线与抛物线交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D．（1）当点A的横坐标为2时，求点B的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点A，B作AEx⊥轴于E，BFx⊥轴于F，在EF上是否存在点P，使APB∠为直角．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求ACBD的值．[解]（1）根据题意，设点B的坐标为218xx，，其中0x．点A的横坐标为2，122A，．ACy⊥轴，BDy⊥轴，02M，，ACBD∥，32MC，2128MDx．RtRtBDMACM△∽△．BDMDACMC．即2128322xx．解得12x（舍去），28x．88B，．（2）存在．连结AP，BP．由（1），12AE，8BF，10EF．设EPa，则10PFa．AEx⊥轴，BFx⊥轴，90APB∠，AEPPFB△∽△．AEEPPFBF．12108aa．解得521a．经检验521a均为原方程的解．点P的坐标为3210，或3210，．（3）根据题意，设218Amm，，218Bnn，，不妨设0m，0n．由（1）知BDMDACMC，则22128128nnmm或22128128nnmm．化简，得160mnmn．0mn≠，16mn．16ACBD．3.(湖北湛江课改卷）已知抛物线22yaxbx与x轴相交于点1(0)Ax，，2(0)Bx，12()xx，且12xx，是方程2230xx的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点．（1）求ab，的值（2）分别求出直线AC和BC的解析式；（3）若动直线(02)ymm与线段ACBC，分别相交于DE，两点，则在x轴上是否存在点P，使得DEP△为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；[解]（1）由2230xx，得1213xx，．211234321xy(10)(30)AB，，，，把AB，两点的坐标分别代入22yaxbx联立求解，得2433ab，．（2）由（1）可得224233yxx，当0x时，2y，(02)C，．设ACykxb:，把AC，两点坐标分别代入ykxb，联立求得22kb，．直线AC的解析式为22yx．同理可求得直线BC的解析式是223yx．（3）假设存在满足条件的点P，并设直线ym与y轴的交点为(0)Fm，．①当DE为腰时，分别过点DE，作1DPx轴于1P，作2EPx轴于2P，如图，则1PDE△和2PED△都是等腰直角三角形，12DEDPFOEPm，214ABxx．DEAB∥，CDECAB△∽△，DECFABOC，即242mm．解得43m．点D的纵坐标是43，点D在直线AC上，4223x，解得13x，1433D，．1103P，，同理可求2(10)P，．②当DE为底边时，过DE的中点G作3GPx轴于点3P，如图，则3DGEGGPm，由CDECAB△∽△，OxyD(02)C，EF1P2P(30)B，(10)A，ymOxyD(02)C，EF2P(30)B，(10)A，ymG得DECFABOC，即2242mm，解得1m．同1方法．求得131122DE，，，，31DGEGGP312OPFGFEEG，3102P，．结合图形可知，2223324PDPEED，，22233EDPDPE，3DEP△是Rt△，3102P，也满足条件．综上所述，满足条件的点P共有3个，即123110(10)022PPP，，，，，4.在矩形ABCD中，4AB，2BC，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系．然后将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，使点B落在y轴的E点上，则C和D点依次落在第二象限的F点上和x轴的G点上（如图）．（1）求经过BEG，，三点的二次函数解析式；（2）设直线EF与（1）的二次函数图象相交于另一点H，试求四边形EGBH的周长．（3）设P为（1）的二次函数图象上的一点，BPEG∥，求P点的坐标．（1）解：由题意可知，4AEAB，2AGADBC．(40)B，∴，(04)E，，(20)G，．设经过BEG，，三点的二次函数解析式是(2)(4)yaxx．把(04)E，代入之，求得12a．3分∴所求的二次函数解析式是：211(2)(4)422yxxxx．（2）解：由题意可知，四边形AEFG为矩形．FHGB∴∥，且6GB．∵直线4y与二次函数图象的交点H的坐标为(24)H，，2EH∴．G∵与BE，与H关于抛物线的对称轴对称，224225BHEG∴．∴四边形EGBH的周长26225845．（3）设BP交y轴于M．BPEG∵∥，::ABAGAMAE∴，即4:2:4AM8AM∴，于是(08)M，．设直线BM的解析式为ykxb．把(40)B，，(08)M，代入之，得408.kbb，解得28.kb，28yx∴．组成方程组22814.2yxyxx，解得620xy，或40.xy，（此组数为B点坐标）∴所求的P点坐标为(620)P，．ＣＢＤＥＦＧＡyxＭＨ