北京交通大学研究生矩阵分析期末考试试卷(7份)

1北京交通大学2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一．（12分）3[]Rx表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。在3[]Rx中取两个基：21231,1,(1)xx；21232,2,(2)xx。（1）求123,,到123,,的过度矩阵，（2）求21xx在123,,下的坐标。二．（14分）设T是nR的线性映射，对任意12(,,,)TnnxxxxR满足11(0,,,)nTxxx。（1）证明0nT；（2）求T的核()NT及值域()RT的基和维数。三．（12分）设1023510224iAiii，120xi，1i。计算11,,,AxAxAA。四．（10分）求矩阵1123101032160113A的满秩分解。2五．（12分）求矩阵011110101A的正交三角分解AUR，其中U是酉矩阵，R是正线上三角矩阵。六．（16分，1、2小题各5分，3小题6分）证明题：1．设A是n阶正规矩阵，且满足2320AAE。证明A是Hermite矩阵，并写出A的Jordan标准形的形式。2．设A是正定Hermite矩阵，且A是酉矩阵，证明AE。3．证明：若A是Hermite矩阵，则iAe是酉矩阵。七．（24分）设100011101A。（1）求EA的Smith标准形；（2）写出A的最小多项式，A的初等因子和Jordan标准形；（3）求相似变换矩阵P使得1PAPJ；（4）求1P矩阵函数()fA，并计算tAe。北京交通大学2004-2005学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一．（12分）设3R两个：123(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1)TTT；123(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)TTT。（1）求123,,到123,,的过度矩阵，（2）求子空间V，其中V中的向量在两个基下的坐标相同。3二．（14分）设线性映射43:TRR满足：对任意41234(,,,)TxxxxR，123412341241234(,,,)(,2,3)TTTxxxxxxxxxxxxxxx求的核()NT及值域()RT的基和维数。三．（12分）设210023120A。计算12,,AAA。四．（10分）求矩阵1321426107393111A的满秩分解。五．（12分）求矩阵102110123A的正交三角分解AUR，其中U是酉矩阵，R是正线上三角矩阵。六．（16分，1、2小题各5分，3小题6分）证明题：1．设A是n阶正规矩阵，且满足220AE。证明A是反Hermite矩阵，并写出A的Jordan标准形的形式。2．证明正定与半正定矩阵之和是正定矩阵。3．证明：若A是反对称矩阵，则Ae是正交矩阵。七．（24分）设110010221A。（1）求EA的Smith标准形；（2）写出A的最小多项式，A的初等因子和Jordan标准形；（3）求相似变换矩阵P使得1PAPJ；（4）求1P矩阵函数4()fA，并计算tAe。北京交通大学2005-2006学年第二学期硕士研究生《矩阵分析》考试试卷(A)任课教师：老师专业学号姓名题号一二三四五六七总分得分一．（共24分，每小题8分）设5R空间中的向量110212，201221，312012，413233，512013，623445，SpanV11234,,,，SpanV256,，（1）求矩阵123456,,,,,A的满秩分解；（2）求21VV的维数及基;（3）求21VV的维数及基.二.（14分）求矩阵200002244002A的正交三角分解.三.（14分）设13021iiAii24C，计算12,,,FAAAA.四．证明题（共24分，每小题各8分）：1．证明：两矩阵22222和23232相似.52．设A是正定Hermite矩阵，B是反Hermite矩阵，证明AB是可逆矩阵.3.设nxC，证明向量的无穷范数公式为：1maxjjnxx.五．（24分）设200101512A，（1）求EA的Smith标准形（写出主要步骤）；（2）写出A的最小多项式，A的初等因子和Jordan标准J；（3）求相似变换矩阵P使得1PAPJ；（4）求1P及函数()fA，并计算tAe.北京交通大学2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一．（12分）设三维线性空间V的两个基为123:,,I和12:,,II，已知由I到II的过度矩阵为101010101A，V中的线性映射T满足123121232312313(23)(22)(34)TTT，（1）求T在基II下的矩阵表示；（2）求1T在基I下的坐标。6二．（14分）设4[]Rx是由次数小于等于3的所有实系数多项式组成的线性空间，4[]Rx中的线性映射T满足：对任意2301234()[]fxaaxaxaxRx，3032322110)()()()()(xaaxaaxaaaaxTf，求T的核()NT及值域()RT的基和维数。三．（12分）设2310iAi。计算12,,,FAAAA。四．（10分）求矩阵011110222601123A的满秩分解。五．（12分）求矩阵002341122A的三角正交分解ARU，其中U是酉矩阵，R是正线下三角矩阵。六．（20分）证明题：1．设A是n阶正规矩阵，证明A是反Hermite矩阵的充要条件是A的特征值为纯虚数。2．设A是Hermite矩阵，证明：（1）iAe是酉矩阵；（2）tr||AAee。3．证明：n维欧氏空间V的线性变换T是反对称变换，即对任何,xyV，(,)(,)TxyxTy的充要条件是T在标准正交基下的矩阵表示是反对称拒阵。七．（20分）设126103114A。（1）求EA的Smith标准形；7（2）写出A的最小多项式，A的初等因子和Jordan标准形；（3）求矩阵函数()fA，并计算tAe。北京交通大学2005-2006学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一．（12分）设3R的两个基为TTTI)1,0,1(,)1,0,1(,)1,1,1(:321和TTTII)5,4,3(,)4,3,2(,)1,2,1(:321，（2）求基I到基II的过度矩阵；（2）求T)1,1,1(在基I下的坐标。二．（14分）设线性影射34:RRT满足，对任意44321),,,(RxxxxT，TTxxxxxxxxxxxxxxxT)3,2,(),,,(432142143214321，求T的核()NT及值域()RT的基和维数。三．（12分）设120520iiiA，（1）计算1A和A；（2）如果Tx)1,1,1(，计算1Ax和Ax。四．（10分）求矩阵131321111001011A的满秩分解。8五．（12分）求矩阵230111140A的正交三角分解URA，其中U是酉矩阵，R是正线上三角矩阵。六．（20分）证明题：1．设A是反Hermite矩阵，证明AE是可逆的。2．设A是正规矩阵，如果A满足0432EAA，证明：A是Hermite矩阵。3．证明：n维欧氏空间V的线性变换T是对称变换，即对任何,xyV，),(),(TyxyTx的充要条件是T在标准正交基下的矩阵表示是对称拒阵。七．（20分）设100100011A。（1）求EA的Smith标准形；（2）写出A的最小多项式，A的初等因子和Jordan标准形；（3）求矩阵函数()fA，并计算tAe。北京交通大学2009-2010学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一．（12分）3][xR表示由次数小于3的多项式组成的线性空间。在3][xR中取两个基：2123:1,1,1Ixxx；9222123:1,,1IIxxxxx。（1）求基I到基II的过度矩阵；（2）求2123xx在基I下的坐标。二．（16分）设3[]Rx是由次数小于3的所有实系数多项式组成的线性空间，3[]Rx中的线性映射T满足：对任意20123()[]fxaaxaxRx，21202012()()()(2)Tfxaaaaxaaax，（1）求T的核()NT基和维数；（2）求值域()RT的基和维数；（3）求3[]Rx的一个基使得T在该基下的矩阵表示为对角矩阵。三．（12分）设11121121Aiiii，111x，1i。计算11,,,AxAxAA。四．（8分）求矩阵112221120112A的满秩分解。五．（12分）求矩阵122330006A的三角正交分解ARU，其中U是酉矩阵，R是正线下三角矩阵。六．（20分）证明题：1．设A是n阶正规矩阵，证明A是酉矩阵的充要条件是A的特征值的绝对值等于1。2．设A半正定Hermite矩阵且AO，证明：||1EA。103．设A是正规矩阵，证明：2(||)maxjjA，其中j是A的第j个特征值。七．（20分）设126103112A。（1）求EA的Smith标准形；（2）写出A的最小多项式，A的初等因子和Jordan标准形；（3）求矩阵函数()fA，并计算tAe，||tAe。北京交通大学2009-2010学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)专业班级学号姓名题号一二三四五六七总分得分一．（12分）3R在3R中取两个基：123:(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)I；123:(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)II。（1）求基I到基II的过度矩阵；（2）求(1,2,3)在基I下的坐标。二．（14分）设线性映射33:TRR满足：对任意3123(,,)TxxxR，12312323123(,,)(6,42,26)TTTxxxxxxxxxxx求的核()NT及值域()RT的基和维数。三．（12分）设111121iAii，111x，1i。11计算11,,,AxAxAA。四．（8分）求矩阵111112340123A的满秩分解。五．（12分）求矩阵031042212A的三角正交分解ARU，其中U是酉矩阵，R是正线下三角矩阵。六．（20分）证明题：1．设A是n阶正规矩阵，证明A是Hermite矩阵的充要条件是A的特征值是实数。2．设