魏正元-考研数学-反常积分专题解析-2017-11-15

考研数学专题广义积分魏正元讲授考研内部资料未经允许不得翻印1例1.设方程tanxx在区间(0,)内的根依次为12,,,,naaa,记为数列{}na,证明下列结论(1),2nann.(2)lim2nnan.(3)1limnnnaa.[解析](1)构造辅助函数()tanFxxx,容易知道,22lim()lim(tan)xnxnFxxx,由极限的保号性知存在42Ann,使得0FA.又()Fx在[)2nn内连续,0Fn.故根据闭区间上连续函数的介值性定理,存在,2nann,使得tannnaa成立.(2)由于tanx在2nn内单调增加,2limtanxnx,且有条件可知tan()tannnnanaa,两边取极限limtan()limtanlimnnnnnnanaa,则必有lim()2nnan.(3)由(2),11limlim((1)(nnnnnnaaanan1lim((1)]lim(nnnnanan.考研数学专题广义积分魏正元讲授考研内部资料未经允许不得翻印2例2.求幂级数11nnnxb的收敛域,其中1112nbn.[解析](1)111111211limlimlim11111111122nnnnnbnnbnn.故R=1.(2)当1x时,由limnnb及Leibitz判别法,可知11(1)nnnb收敛.(3)当1x时,考查正项级数11nnb.由于111ln(1)lnln11nnnnn,则11111(ln2ln1)(ln3ln2)(lnln(1))1ln123nbnnnnn,故111nbn,而111nn,据正项级数的比较判别法可知11nnb发散.(4)收敛域为[-1,1).考研数学专题广义积分魏正元讲授考研内部资料未经允许不得翻印3专题:广义积分的敛散性判定1.无穷限广义积分敛散性的判别1)绝对收敛和条件收敛[定理]积分加绝对值收敛,则积分本身收敛;加绝对值发散,本身收敛称为条件收敛.设()fx在[,)(0,)a上连续函数,且()afxdx,则()afxdx收敛.[注解](1),11,1papdxpx,0a(2),11,1lnpbpdxpxx,1b2)比较判别法设(),()fxgx都是[,)(0,)a上非负连续函数,且()()fxgx.如果()agxdx收敛,则()afxdx收敛;如果()afxdx发散,则()agxdx发散;特别地,取(),0pMgxMx如果(),1pMfxpx,则()afxdx收敛(0a);如果(),1pMfxpx,则()afxdx发散(0a).3)比较判别法的极限形式设()fx及()gx都是[,)a上的非负连续函数,若()lim()xfxlgx,则当0l时,()afxdx与()agxdx同敛同散;当0l时,若()agxdx收敛,则()afxdx收敛;当l时,若()agxdx发散,则()afxdx发散.考研数学专题广义积分魏正元讲授考研内部资料未经允许不得翻印4特别地,若lim(),pxxfxl当1,0pl时,()afxdx收敛(0a);当01,0pl时,()afxdx发散(0a).例1.判别广义积分2431sin1xdxx的收敛性.[解析](1)24/343sin11xxx;(2)广义积分2431sin1xdxx收敛.[练习1]判断下列无穷限广义积分的收敛或发散.(1)33111dxx(2)2111dxxx(3)32211xdxx[参考](1)3311,1,11xxx故发散.(2)收敛.(3)发散.2.无界函数的广义积分(瑕积分)1)绝对收敛和条件收敛[定理2]设()fx在(,]ab上连续函数,且()bafxdx(a为瑕点),则()bafxdx收敛.[注解](1),11,1()bpapdxpxa,ba;,11,1()bpapdxpbx,ba(2)0,11,1appdxpx,0a(3)1,11,1lnbppdxpxx,1b考研数学专题广义积分魏正元讲授考研内部资料未经允许不得翻印52)比较判别法设(),()fxgx都是(,]ab上非负连续函数,且lim()lim()xaxafxgx,()()fxgx,(axb),则如果()bagxdx收敛,则()bafxdx也收敛;如果()bafxdx发散,则()bagxdx也发散;特别地,取(),0()pMgxMxa如果(),01()pMfxpxa,则()bafxdx收敛;如果(),1()pMfxpxa,则()bafxdx发散.3)比较判别法的极限形式设()fx及()gx都是(,]ab上非负连续函数,且lim()lim()xaxafxgx,若()lim()xafxlgx,则当0l时,()bafxdx与()bagxdx同敛同散;当0l时,若()bagxdx收敛,则()bafxdx也收敛;当l时,若()bagxdx发散,则()bafxdx也发散.特别地,若1()()pgxxa,lim()(),pxaxafxl当1,0pl时,()bafxdx收敛;当1,0pl时,()afxdx发散.例2.判断瑕积分311lndxx的敛散性.考研数学专题广义积分魏正元讲授考研内部资料未经允许不得翻印6[解析]由于1lnlim1(1)xxx,而3111dxx发散,故原积分发散.例3.判断瑕积分10lnxdxx的敛散性.[解析](1)这是瑕积分,0为瑕点.(2)340|ln|lim0xxxx,故原积分绝对收敛.例4.使得积分2210arctanln(1)ppxpxdxxx收敛的实数p的取值范围为(B)(A)(,0)(B)(,2)(C)(0,1)(D)(2,)[解析](1)当1p时,0不是瑕点.220limarctan()2pxxpx,且当0x时,1111~ln(1)pppxxxx,从而220arctanlim0ln(1)ppxxpxxx故0是可去间断点,积分2210arctanln(1)ppxpxdxxx收敛.(2)当10p时,0是瑕点.220limarctan()2pxxpx,当0x时,221arctan1ln(1)2pppxpxxxx,而1101pdxx,故由比较审敛法可知原积分收敛.(3)当0p时,0不是瑕点.22200arctanlimlim0ln(1)ppxxxpxxxxx,0为可去间断点,原积分收敛.(4)当01p时,0是瑕点考研数学专题广义积分魏正元讲授考研内部资料未经允许不得翻印72222111000arctanlimlimlimln(1)ppppppxxxxpxxpxpxxxxx,积分110pxdx是常规积分收敛;而011p,瑕积分1101pdxx收敛,故原积分收敛.(4)当1p时,0不是瑕点2222200arctanlimlim2ln(1)ppxxxpxxxxxx,0是可去间断点.故常规意义的积分2210arctanln(1)ppxxdxxx收敛.(5)当12p时,0是瑕点2222111000arctan1limlimlimln(1)ppppppxxxxpxxpxpxxxxx,110pxdx收敛;而011p,故瑕积分1101pdxx收敛,从而2210arctanln(1)ppxxdxxx收敛.(6)综合以上,收敛的区间为(,2).[练习2](1)201sindxx(2)120ln1xdxx(3)0(0)pqdxpqxx(4)30sinxdxx(5)101lndxx(6)20ln(sin)xdxx[解析](1)0lim1sinxxx,故收敛.(2)可疑的瑕点为0,1.211ln1(1)ln1limlim1(1)(1)2xxxxxxx,1是可去间断点,1122ln1xdxx是普通意义下的定积分,显然收敛.20lnlim1xxx,故瑕点为0.又20lnlim01xxxx,故瑕积分1220ln1xdxx收敛;考研数学专题广义积分魏正元讲授考研内部资料未经允许不得翻印8综上,原积分120ln1xdxx=1220ln1xdxx+1122ln1xdxx收敛.(3)1001(0)pqpqpqdxdxdxpqxxxxxx011lim/1pqqxxxx,故当1q时第一个积分收敛;11lim/1pqpxxxx,故当1p第二个积分收敛.因此01qp时,积分收敛.(4)1333001sinsinsinxxxdxdxdxxxx当0x时,3sin1~xxx;当1x时,33sin1xxx,故右边2个积分都收敛.原积分收敛.(5)101lndxx易知1为积分的瑕点,不妨考虑101lndxx.由于11lim(1)1lnxxx,从而101lndxx发散.(6)20ln(sin)xdxx易知0为积分的瑕点.不妨考虑20ln(sin)xdxx.由于314400ln(sin)limlimln(sin)0xxxxxxx,而23041dxx收敛.故原积分收敛.[练习3](1)[2010,一,4分]设,mn是正整数,则反常积分210ln1mnxdxx的收敛性(D)考研数学专题广义积分魏正元讲授考研内部资料未经允许不得翻印9(A)仅与m的取值有关.(B)仅与n的取值有关.(C)与,mn取值都有关.(D)与,mn取值都无关.[解析][命题]对任意0,ab,有00lim(ln)limln0babaxxxxxx.如21lim1ln(1)0mxxx.(1)显然0,1xx是两个可疑的瑕点，有22211121002ln(1)ln(1)ln(1)mmmnnnxxxdxdxdxxxx(2)对于2120ln(1)mnxdxx,因为121221000210,ln(1)[(-)]21limlimlim121mmmnnxxxnmnxxxmnxxmn,故当21mn时,0x为瑕点.其余情况,积分是常规意义的积分.且当0x时,20ln(1)lim0mnnxxxx，而1201ndxx收敛，故2120ln(1)mnxdxx收敛,且收敛性与,mn无关；(3)对于2112ln(1)mnxdxx.因为21ln