09高考文科数学解析几何压轴题(含解析)

第二节圆锥曲线第一部分五年高考文科荟萃2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1（2009浙江文）已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P．若2APPB，则椭圆的离心率是（）A．32B．22C．13D．12【解析】对于椭圆，因为2APPB，则12,2,2OAOFace【答案】D2.(2009山东卷文)设斜率为2的直线l过抛物线2(0)yaxa的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().A.24yxB.28yxC.24yxD.28yx【解析】抛物线2(0)yaxa的焦点F坐标为(,0)4a,则直线l的方程为2()4ayx,它与y轴的交点为A(0,)2a,所以△OAF的面积为1||||4242aa,解得8a.所以抛物线方程为28yx,故选B.【答案】B【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.3.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线13622yx的渐近线与圆)0()3(222rryx相切，则r=()A.3B.2C.3D.6【解析】本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=3.【答案】A4（2009全国卷Ⅱ文）已知直线)0)(2(kxky与抛物线C:xy82相交A、B两点，F为C的焦点。若FBFA2,则k=()Ａ.31Ｂ.32Ｃ.32Ｄ.322【解析】本题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点（2，0），由2FAFB及第二定义知)2(22BAxx联立方程用根与系数关系可求k=223.【答案】D5.（2009福建卷文）若双曲线222213xyaoa的离心率为2，则a等于()A.2B.3C.32D.1【解析】由22223123xyaaac可知虚轴b=3，而离心率e=a，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.【答案】D6（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的是(.()A.B.C.D.【解析】依据双曲线22221xyab的离心率cea可判断得.62cea.选B。【答案】B7（2009江西卷文）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点,若12FF，，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为A．32B．2C．52D．3【解析】由3tan623cb有2222344()cbca,则2cea,故选B.【答案】B8（2009天津卷文）设双曲线)0,0(12222babyax的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（）A.xy2B.xy2C.xy22D.xy21【解析】由已知得到2,3,122bcacb，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为xxaby22【答案】C【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。9（2009四川卷文、理）已知双曲线)0(12222bbyx的左、右焦点分别是1F、2F，其一条渐近线方程为xy，点),3(0yP在双曲线上.则1PF·2PF＝()A.－12B.－2C.0D.4【解析】由渐近线方程为xy知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是222yx，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且)1,3(P或)1,3(P.不妨去)1,3(P，则)1,32(1PF，)1,32(2PF.∴1PF·2PF＝01)32)(32()1,32)(1,32(【答案】C10.（2009湖南卷文）抛物线28yx的焦点坐标是（）A．（2，0）B．（-2，0）C．（4，0）D．（-4，0）【解析】由28yx,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p，故选B.【答案】B11.（2009陕西卷文）“0mn”是“方程221mxny”表示焦点在y轴上的椭圆”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】将方程221mxny转化为22111xymn,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足110,0,mn所以11nm.【答案】C12.（2009全国卷Ⅰ文）设双曲线222200xyabab－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y＝x＋相切，则该双曲线的离心率等于（）A.3B.2C.5D.6【解析】由题双曲线222200xyabab－＝1＞，＞的一条渐近线方程为abxy，代入抛物线方程整理得02abxax，因渐近线与抛物线相切，所以0422ab，即5522eac，故选择C.【答案】C13.（2009湖北卷文）已知双曲线1412222222byxyx的准线经过椭圆（b＞0）的焦点，则b=()A.3B.5C.3D.2【解析】可得双曲线的准线为21axc,又因为椭圆焦点为2(4,0)b所以有241b.即b2=3故b=3.故C.【答案】C二、填空题1.（2009重庆卷文、理）已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcFc，若椭圆上存在一点P使1221sinsinacPFFPFF，则该椭圆的离心率的取值范围为．【解析1】因为在12PFF中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPFF则由已知，得1211acPFPF，即12aPFcPF设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,PFaexPFaex则00()()aaexcaex记得0()(1)()(1)acaaexecaee由椭圆的几何性质知0(1)(1)aexaaee则，整理得2210,ee解得2121(0,1)eee或，又，故椭圆的离心率(21,1)e【解析2】由解析1知12cPFPFa由椭圆的定义知212222222caPFPFaPFPFaPFaca则即，由椭圆的几何性质知22222,,20,aPFacacccaca则既所以2210,ee以下同解析1.【答案】21,12（2009北京文、理）椭圆22192xy的焦点为12,FF，点P在椭圆上，若1||4PF，则2||PF；12FPF的大小为.【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考查.∵229,3ab，∴22927cab，∴1227FF，又1124,26PFPFPFa，∴22PF，又由余弦定理，得2221224271cos2242FPF，∴12120FPF，故应填2,120.3.（2009四川卷文）抛物线24yx的焦点到准线的距离是.【解析】焦点F（1，0），准线方程1x，∴焦点到准线的距离是2.【答案】24.（2009湖南卷文）过双曲线C：22221xyab(0,0)ab的一个焦点作圆222xya的两条切线，切点分别为A，B，若120AOB（O是坐标原点），则双曲线线C的离心率为.【解析】12060302AOBAOFAFOca,2.cea【答案】25.（2009宁夏海南卷文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若2,2P为AB的中点，则抛物线C的方程为。【解析】设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，21xx＝k＝2×2，故24yx.【答案】24yx三、解答题1.(2009年广东卷文)（本小题满分14分）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F和2F,椭圆G上一点到1F和2F的距离之和为12.圆kC:0214222ykxyx)(Rk的圆心为点kA.(1)求椭圆G的方程(2)求21FFAk的面积(3)问是否存在圆kC包围椭圆G?请说明理由.解（1）设椭圆G的方程为：22221xyab（0ab）半焦距为c;则21232aca,解得633ac,22236279bac所求椭圆G的方程为：221369xy.(2)点KA的坐标为,2K12121126326322KAFFSFFV（3）若0k，由01215210120622可知点（6，0）在圆kC外，若0k，由01215210120)6(22可知点（-6，0）在圆kC外；不论K为何值圆kC都不能包围椭圆G.2.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线C：22(0)xpyp上一点(,4)Am到其焦点的距离为174．（I）求p与m的值；（II）设抛物线C上一点P的横坐标为(0)tt，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．解（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：2py，根据抛物线定义点)4,(mA到焦点的距离等于它到准线的距离，即41724p，解得21p抛物线方程为：yx2，将)4,(mA代入抛物线方程，解得2m（Ⅱ）由题意知，过点),(2ttP的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k。则)(:2txktylPQ，当,,02kkttxy则)0,(2kkttM。联立方程yxtxkty22)(，整理得：0)(2tktkxx即：0)]()[(tkxtx，解得,tx或tkx))(,(2tktkQ，而QPQN，直线NQ斜率为k1)]([1)(:2tkxktkylNQ，联立方程yxtkxktky22)]([1)(整理得：0)()(1122tktkkxkx，即：0]1)()[(2tkktkxkx0)](][1)([tkxtkkkx，解得：ktkkx1)(，或tkx)]1)([,1)((22ktkkktkkN，)1()1(1)(]1)([2222222ktkktkkkttktkkktkkKNM而抛物线在点N处切线斜率：ktkkykktkkx2)(21)(切MN是抛物线的切线，ktkkktkktk2)(2)1()1(2222，整理得02122ttkk0)21(422tt，解得32t（舍去），或32t，32mint3.（2009北京文）（本小题共14分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x。（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线0xym与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆225xy上，求m的值.【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．解（Ⅰ）由题意，得2333acca，解得1,3ac，∴2222bca，∴所求双曲线C的方程为2212yx.（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为1122,,,xyxy，线段AB的中点为00,Mxy，由22120yxxym得22220xmxm（判别式0）,∴12000,22xxxmyxmm,∵点00,Mxy在圆225xy上，∴2