鲁棒控制理论第四章

鲁棒控制理论第四章不确定性和鲁棒性前言†没有任何一个物理系统是可以用准确的数学模型来代表的。由于这一原因，我们必须知道建模误差对控制系统的性能可能会产生怎样的不利影响。†本章开始论述各种不确定对象的模型，进而用小增益定理研究鲁棒稳定性，即在对象存在不确定性的情况下的稳定性问题。最后一个专题是鲁棒性能问题，在对象不确定的情形下确保跟踪目标的实现。4.1对象的不确定性模型†建模基本方法：集合模型（模型族）„用一个集合P来代表对象的模型。这个集合可以是结构化的或者是非结构化的。†结构化不确定性模型(StructuredUncertainty)„描述不确定性的来源和位置明确的情况。„参数化不确定性：以有限个参数的不确定性来表示集合模型。„离散化不确定性：以离散的对象模型的集合来表示集合模型。[]minmax21,1aaasas=∈++P2322111,,111sebssasTssasasτ−+=++++++P非结构化不确定性模型UnstructuredUncertainty†描述“未建模动态”造成的不确定性†乘积摄动模型设标称对象的传递函数为，实际对象的传递函数为当，或变形为构造乘积摄动模型()ˆPs()Ps()()()2ˆ11ˆPssWsPε∆=+=+∆()()2ˆ1ˆPsWsP−=∆()()2ˆ1PsWsP=+∆()()()(){}2ˆ11PssWsPs∞==+∆∆≤P通常假定和是稳定的传递函数，而且的摄动不构成中不稳定极点的消除（和具有相同的不稳定极点），此时称是可容许的（allowable)。为尺度因子。()s∆()2ˆWs()s∆()ˆPs()ˆPs()Ps()s∆()s∆例1：乘积摄动模型建模实例†根据试验，获得稳定对象的频率响应特性其中i为频率点的编号，k为试验次数的编号选取标称对象传递函数，获得频率响应特性†选取，满足(){}11,,kkmniiikiMωφ==()ˆPs(){}11,,kkmniiikiMωφ==()2ˆWs()21,1,,1,ikkiiiiMeWjimknMeφφω≥−==()2ˆ1PWP⇒=+∆iωMω()ˆPjω()PjωMω0()2ˆWjωPuyiω,kkiiMφ†乘积摄动不确定性模型又称圆状不确定性模型（Disk-likeUncertainty）对每个,上式表示一个以（1，j0)为圆心，为半径的圆。†简单，规范，但较保守。()()()()22ˆ11ˆPjPWPWjPjωωω=+∆⇒−≤ω()2ˆWjω1例2：模型嵌入方法†结构化不确定性模型与非结构化不确定性模型之间的转换（结构化不确定性模型嵌入非结构化不确定性模型）†设标称模型为（如理想的直流电机，无阻尼）设实际对象含有时间滞后，即†现将上述不确定性模型嵌入乘积摄动模型。†由画出选择()21ˆPss=()[]2,0,1sePssττ−=∈其中()()()[]2ˆ11,,0,1ˆsPjeWjPjτωωωτω−−=−≤∀∀∈()2ˆ1jeWjωτω−−和()()0,2121cos2,21jkekωττωπτωτωπ−=−=−==+()2ˆWjω1τ=ω()20.21ˆ0.11sWss=+例3：模型嵌入方法†设实际对象传递函数，其中现将它嵌入乘积摄动模型。†令标称对象选择，满足为取得最小上界，取则()2kPss=−[]0.1,10k∈()0ˆ2kPss=−()2ˆWjω()()()()2ˆˆˆPjPjWjPjωωωω−≤011ˆPkkP−=−00.1100105.050.15.054.95minmax15.055.055.05kkkk≤≤−−−===()24.95ˆ5.05Ws=()5.05ˆ2Pss=−()()()()2ˆ1PssWsPs=+∆其他不确定性模型†一些常用的不确定性模型†在用每一种模型时都要对和作适当的假设。()()()2222ˆ1ˆˆ1ˆ1WPPWPWPPW+∆+∆+∆+∆∆2ˆW4.2鲁棒稳定性(RobustStability)†定义：鲁棒性„给定不确定性系统的模型（模型族）P„给定控制器C„给定系统的性能指标J„若,闭环系统性能满足J，则称C对于P在J的意义下是鲁棒控制器，或闭环系统在J的意义下具有鲁棒性†定义：鲁棒稳定性（乘积摄动）„设为系统的不确定性模型，则当控制器C对于P中的每一个对象保持闭环系统内稳定时，则称系统是鲁棒稳定的。三大要素P∀∈P(){}2ˆ11PWP∞==+∆∆≤PPNyquist图ˆCˆPyr−ˆˆLPC=开环传递函数闭环传递函数ry→ˆˆˆ1LTL=+闭环特征方程ˆ10FL=+=0ImRe(-1,j0)()ˆFs极点零点×σjω[]s()ˆFs的零点sjσω=+鲁棒稳定性判据†考察如图的不确定性系统†定理1：设对象不确定性满足乘积摄动模型，即设控制器使标称对象内稳定则控制器使内稳定其中为标称系统的补敏感函数ˆCPyr−(){}2ˆ11PWP∞℘==+∆∆≤ˆCˆPˆCP2ˆ1WT∞⇔ˆTˆˆˆˆˆ1PCTPC=+定理1的证明†充分性已知，摄动系统的开环传递函数根据Nyquist稳定性判据，由于标称系统内稳定(1)不通过点，而可容许的(2)()()22ˆ11LPCWPCWL∆==+∆=+∆()ωjLˆ()0,1j−∆()()点也不通过0,1~jjL−⇒ω()()()()()()1ˆˆˆˆsupˆˆsupˆˆ2222=≤∆=∆∞∞TWjTjWjjTjWjTWωωωωωωωω1ˆˆ2∞TW令(摄动系统的闭环特征多项式)()()()()()()FTWLTWLLLLWLLWLLWLFˆˆˆ1ˆ1ˆˆˆ1ˆ1ˆ1ˆˆˆ1ˆˆˆ1ˆˆ11~1~22222∆+=+∆++=++∆++=∆++=∆++=+=221WTWT∞∞∆≤0ImRe1()2ˆ1WTjω+∆位于以1为圆心，半径小于1的闭圆内，相位角变化360°()Ljω围绕(-1,j0)的圈数=围绕(-1,j0)的圈数()ˆLjω则摄动系统内稳定†必要性：用反证法设假定处，有则若取（满足），则在处，有由于，则在处，即通过(-1,j0)点则摄动系统不稳定。证毕。2ˆ1WTk∞=≥*0ω=()()**2WjTjkωω=1k∆=−1∞∆≤*ω()()21110WjTjkkωω+∆=−=i()21FWTF=+∆*ω()*0Fjω=()ˆLjω说明†设系统不确定性满足以下模型给定控制器，设使标称对象内稳定，则若则称为乘积摄动模型下的稳定裕度。()(){}2ˆ1PWPββ∞℘==+∆∆≤ˆCˆCˆP()supsupsupˆˆ,PCPβββ∆=∀∈℘使得内稳定supβ†定理1可用于寻找乘积摄动模型下的稳定裕度由其中则由定理1，即则可取{}{}sup222ˆˆˆˆsup1sup11ˆˆWTWTWTβββββββ∞∞∞===i(){}(){}''22ˆˆˆˆ11'PWPPWPββ∞∞=+∆∆≤==+∆∆≤''221ˆˆ,WWββ∆=∆=()'22ˆˆˆˆ1WTWTββ∞∞℘⇔=摄动系统的内稳定21ˆˆWTβ∞supβ图示鲁棒稳定性条件也可以用图形来解释。注意到-1L2ˆˆWL最后一个不等式表明，在每一个频率下，临界点-1都位于以为圆心，以为半径的圆外，如图2ˆˆ1WT∞()()()()()()222ˆˆˆˆ11,ˆ1ˆˆˆ1,WjLjWTLjWjLjLjωωωωωωωω∞⇔∀+⇔+∀()ˆLjω()()2ˆˆWjLjωω小增益定理M∆()()()()()0,121MRHsRHMsMsγγγγγ∞∞∞∞∞∞∈∆∈∆≤∆≤设，且令，则对所有的如图所示的互连系统是适定而且是内稳定的，且1当且仅当当且仅当鲁棒稳定性检验小结条件摄动()2ˆˆ1WP+∆2ˆˆ1WT∞2ˆˆPW+∆2ˆˆˆ1WCS∞2ˆˆˆ1WPS∞2ˆˆ1WS∞()2ˆˆˆ1PWP+∆()2ˆˆ1PW+∆4.3鲁棒性能（鲁棒跟踪性）†假定对象传递函数属于集合。鲁棒性能的一般含义是指集合中的所有元素都满足内稳定和一种特定的性能。†定义：鲁棒跟踪性„设对象不确定性满足乘积摄动模型，即„对于给定的参考输入信号，当鲁棒稳定的控制器对于，有，称系统是鲁棒跟踪的，其中为摄动系统的敏感函数。℘(){}2ˆ11PWP∞℘==+∆∆≤ˆCP∀∈℘1ˆ1WS∞1ˆ1SPC=+分析†为鲁棒稳定控制器的条件为其中为标称系统的补敏感函数†对于摄动系统，为鲁棒跟踪控制器的条件为†其中†则鲁棒跟踪性的条件归结为„（鲁棒稳定性）„(跟踪性）ˆC2ˆˆ1WT∞ˆˆˆˆˆ1PCTPC=+ˆC1ˆ1WS∞()()()222ˆ1111ˆˆˆˆˆˆˆˆ1111111SSLWTPCWLLWT=====++∆+++∆++∆2ˆˆ1WT∞2ˆˆ1,:1ˆˆ1WSWT∞∞∀∆∆≤+∆鲁棒跟踪性判据†定理2：设对象不确定性满足乘积摄动模型，即则系统具有鲁棒跟踪性(){}2ˆ11PWP∞℘==+∆∆≤12ˆˆˆˆ1WSWT∞⇔+定理2的证明†充分性1212122121221122ˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ1,111ˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆ11ˆˆˆˆ1,1ˆˆˆˆ11WSWTWSWTWSWTWTWSWTWSWTWTWSWSWTWTωω∞∞∞++∀⇒+⇒−=−⇒∀⇒−−设，该式等价于且，（鲁棒稳定性成立）从22222222112212ˆˆˆˆ11ˆˆˆˆˆˆˆˆ11ˆˆˆˆ11ˆˆˆˆ,ˆˆˆˆ11ˆˆ12ˆˆ1WTWTWTWTWTWTWTWTWSWSWTWTWSWTω∞∆=+∆−∆≤+∆+∆≤+∆+∴+∆≥−∴≤∀+∆−∴+∆对于给定的，有（条件满足）则系统满足鲁棒跟踪性。†必要性()()()()()()1212211*22222ˆˆˆˆˆ1,1,,11ˆˆ1ˆˆ1,ˆˆˆˆsupˆˆˆˆ11ˆˆˆˆ11ˆˆ0WSWTWSWTWTWSWjSjWTWjTjWTWTWTωωωωωωω∞∞∞∞∀∆∆+∆∀=−−∆−=+∆∆设系统满足鲁棒跟踪性，即则设在处有寻找，满足即一个负实数()()()()()()()()()**11**22**11***22112212ˆˆˆˆˆˆˆˆ11ˆˆˆˆ1ˆˆˆˆ11ˆˆˆˆˆˆ1,1,ˆˆ1ˆˆˆˆ1WjSjWSWTWjTjWjSjWSWTjWjTjWSWSWTWTWSWTωωωωωωωωωωω∞∞∞=−−=≤+∆+∆∀+∀−∴+则则有，即：证毕。4.4更一般的鲁棒性能复杂复杂复杂复杂标称性能条件摄动()2ˆˆ1WP+∆2ˆˆPW+∆()2ˆˆˆ1PWP+∆()2ˆˆ1PW+∆1ˆˆ1WS∞12ˆˆˆˆ1WSWT∞+12ˆˆˆˆˆ1WSWCS∞+12ˆˆˆˆˆ1WTWPS∞+12ˆˆˆˆ1WTWS∞+1ˆˆ1WT∞4.5结论假设标称反馈系统是内稳定的，那么†标称性能条件†鲁棒稳定条件（相对于乘积摄动）†同时达到标称性能和鲁棒稳定的条件†鲁棒性能条件和†鲁棒性能条件的检验条件1ˆˆ1WS∞2ˆˆ1WT∞()12ˆˆˆˆmax,1WSWT∞2ˆˆ1WT∞2ˆˆ1,:1ˆˆ1WSWT∞∞∀∆∆≤+∆12ˆˆˆˆ1WSWT∞+