定积分在物理中的应用

课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习1.7.2定积分在物理中的应用课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【课标要求】1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用．2．会求变速直线运动的路程、位移和变力作功问题．【核心扫描】利用定积分求变速直线运动的路程、位移和变力所作的功．(重点)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习自学导引定积分在物理中的应用变速直线运动作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即变力作功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)，那么变力F(x)所作的功为课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习想一想：利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子吗？提示路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念，(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用求解；(2)当v(t)0时，求某一时间段内的位移用求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习名师点睛1．在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b所经过的路程S和位移S′分别为：(1)若V(t)≥0，则S＝V(t)dt，S′＝V(t)dt.(2)若V(t)≤0，则S＝－V(t)dt，S′＝V(t)dt.(3)若在区间[a，c]上，V(t)≥0，在区间[c，b]上V(t)0，则s＝V(t)dt－V(t)dt；S′＝V(t)dt.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习2．定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为W＝Fs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝F(x)dx.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习说明：做变速直线运动的物体所经过的路程s在数值上其实就是时间一速度坐标系中对应曲边梯形的面积，而变力做功实际上也是位移—力坐标系中对应曲边梯形的面积．在变力做功时，不限定F(x)为非负数，这样求出来的定积分可能为负数．当定积分为负数时，说明变力做负功，即克服变力做了功．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型一求变速直线运动的路程、位移【例1】有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．[思路探索]课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习解(1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P离开原点的路程当t＝6时，点P的位移为课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式1】变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．解当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)0.所以前2秒钟内所走的路程课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习2秒末所在的位置它在前2秒内所走的路程为2,2秒末所在的位置为x1＝13.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型二求变力所作的功【例2】在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．力F对物体所做的功为W＝F·S，求出变力F的表达式是本题中求功的关键．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习[规范解答]由物理学知识易得，压强p与体积V的乘积是常数k，即pV＝k.(4分)∵V＝xS(x指活塞与底的距离)，∴p＝kV＝kxS.∴作用在活塞上的力F＝p·S＝kxS·S＝kx.(8分)∴所做的功W＝kxdx＝k·lnxba＝klnba.(12分)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【题后反思】解决变力作功注意以下两个方面：(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．(2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式2】设有一长为25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧伸长到40cm所做的功．解设以x表示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示加在弹簧上的力，则F(x)＝kx.依题意，使弹簧伸长5cm，需力100N，即100＝5k，所以k＝20，于是F(x)＝20x.所以弹簧伸长到40cm所做的功即计算由x＝0到x＝15所做的功：W＝20xdx＝10x2150＝2250(N·cm)．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习误区警示忽视位移有正、负而出错【示例】一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：(1)在t＝4s时的位置；(2)在t＝4s时运动的路程．[错解](1)t＝4s时该点的位移为(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40＝43(m)．即t＝4s时该点距离出发点43m.(2)由(1)知，t＝4s时运动的路程为43m.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上，哪个时间段的位移为负．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习[正解](1)在t＝4s时该点的位移为(t2－4t＋3)dt＝13t3－2t2＋3t40＝43(m)．即在t＝4s时该点距出发点43m.(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，∴在区间[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0，∴在t＝4s时的路程为课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习根据速度函数v(t)确定v(t)的符号才能转化为用定积分求路程．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习单击此处进入活页规范训练