噶米自考高等数学(一)精讲第五章

第五章一元函数积分学5.1原函数和不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。例：，sinx是cosx的原函数。Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。原函数存在定理：如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。简言之：连续函数一定有原函数。问题：（1）原函数是否唯一？（2）若不唯一它们之间有什么联系？例：（sinx）＇=cosx（sinx+C）＇=cosx（C为任意常数）关于原函数的说明：（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）证∵[F（x）-G（x）]＇=F＇（x）-G＇（x）=f（x）=f（x）=0∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）不定积分的定义：函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。例：求。【答疑编号11050101】解：例：求。【答疑编号11050102】解：积分曲线例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。【答疑编号11050103】解：设曲线方程为y=f（x）,根据题意知即f（x）是2x的一个原函数。由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为y=x2+1。函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。显然，求不定积分得到一积分曲线族。不定积分的性质结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。5.2基本积分公式实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。基本积分表（1）；（2）；（3）；说明：简写为（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；例：求积分【答疑编号11050104】解：根据积分公式（2）不定积分的性质（1）；证。∴等式成立。（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（2）（k是常数，k≠0）例：求积分。【答疑编号11050201】解：例：求积分。【答疑编号11050202】解：。例：。【答疑编号11050203】解：。例：；【答疑编号11050204】例：已知f（x）之一原函数为sin3x，求∫f＇（x）dx。【答疑编号11050205】【答疑编号11050206】例：求。【答疑编号11050207】例：【答疑编号11050208】例：设，求f（x）。【答疑编号11050209】例：。【答疑编号11050210】例：；【答疑编号11050211】例：【答疑编号11050212】例：。【答疑编号11050213】解：例：设，且f（0）=1，求f（x）.【答疑编号11050214】解：因为，若设u=ex，则f＇（u）=1+u3所以f（x）是1+x3的一个原函数，而。故。又f（0）=1，从而C=1。因此例：；【答疑编号11050215】例：。【答疑编号11050216】例：。【答疑编号11050217】例：。【答疑编号11050218】例：求积分。【答疑编号11050219】解：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表。四、小结原函数的概念：F＇（x）=f（x）不定积分的概念：基本积分表（1）求微分与求积分的互逆关系不定积分的性质5.3换元积分法一、第一类换元法问题解决方法利用复合函数，设置中间变量。过程令在一般情况下：设F＇（u）=f（u），则如果（可微）由此可得换元法定理。定理设f（u）具有原函数，可导，则有换元公式第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将观察重点不同，所得结论不同。例：求【答疑编号11050301】解（一）解（二）解（三）例：求。【答疑编号11050302】解：。一般地例：求。【答疑编号11050303】例：求。【答疑编号11050304】例：求。【答疑编号11050305】例：求。【答疑编号11050306】例：求。【答疑编号11050307】例：求。【答疑编号11050308】例：求。【答疑编号11050309】例：求。【答疑编号11050310】解：。例：求。【答疑编号11050401】解：。例：求。【答疑编号11050402】例：求。【答疑编号11050403】例：【答疑编号11050404】例：【答疑编号11050405】例：【答疑编号11050406】【答疑编号11050407】例：【答疑编号11050408】例：；【答疑编号11050409】例：求【答疑编号11050410】解：。（使用了三角函数恒等变形）例：求。【答疑编号11050411】解：例：【答疑编号11050412】解：设u=x2，则，所以例：。【答疑编号11050413】解：设u=lnx，则，所以例：，求f（x）。【答疑编号11050414】二、第二类换元法问题解决方法改变中间变量的设置方法。过程令（应用“凑微分”即可求出结果）定理2设是单调的、可导的函数，并且，又设具有原函数，则有换元公式其中的反函数。第二类积分换元公式例：。【答疑编号11050415】解：令说明（5）当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中n为各根指数的最小公倍数）例：。【答疑编号11050416】解：令三角代换。三角代换的目的是化掉根式。一般规律如下：当被积函数中含有（1）可令x=asint；（2）可令x=atant；（3）可令x=asect。例：求。【答疑编号11050417】解：令。例：。【答疑编号11050418】总结：5.4分部积分法一、基本内容问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则。设函数u=u（x）和v=v（x）具有连续导数，【答疑编号11050501】分部积分公式例1：求积分【答疑编号11050502】解（一）显然，u，v选择不当，积分更难进行。解（二）指数函数例2：【答疑编号11050503】例3：求积分【答疑编号11050504】总结：若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u。例4：求积分【答疑编号11050505】总结：若被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为u,使其降幂一次（假定幂指数是正整数）例5：【答疑编号11050506】例6：【答疑编号11050507】例7：【答疑编号11050508】例8：求积分【答疑编号11050509】例9：；【答疑编号11050510】例10：已知f（x）的一个原函数是【答疑编号11050511】两边同时对x求导，得例11：。【答疑编号11050512】例12：【答疑编号11050513】例13：【答疑编号11050514】例14：【答疑编号11050515】例15：【答疑编号11050516】例16：。【答疑编号11050517】例17：。【答疑编号11050518】5.5微分方程初步5.5.1微分方程的定义1.微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。例：实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式。2.常微分方程:未知函数都是一元函数的微分方程微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之微分方程的阶例：（yy＇）3+3y4-xy=0；一阶微分方程高阶（n）微分方程3.主要问题-----求方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之。设在区间I上有n阶导数，例1：一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M（x,y）处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程。【答疑编号11050601】解：设所求曲线为y=y（x）其中x=1时，y=2。即y=x2+C，求得C=1，所求曲线方程为y=x2+1。4.微分方程的解的分类：（1）通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。例y′=y，通解y=cex；y″+y=0，通解y=c1sinx+c2cosx；（2）特解：确定了通解中任意常数以后的解。解的图象：微分方程的积分曲线。通解的图象：积分曲线族。初始条件：用来确定任意常数的条件。初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。一阶：过定点的积分曲线；5.5.2可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程。例如解设函数g（y）和f（x）是连续的，分离变量法设函数G（y）和F（x）是依次为g（y）和f（x）的原函数，G（y）=F（x）+C为微分方程的解。典型例题例2：求解微分方程的通解。【答疑编号11050602】解：分离变量两端积分lny=x2+C1∴y=cex2为所求通解。例3：求下列微分方程的通解：【答疑编号11050603】解：作分离变量，得两边积分，得（把积分常数写成是为便于以后化简）。因此，即（C＞0，是任意常数）。这就是方程的隐式通解。例4：ylnxdx-xlnydy=0【答疑编号11050604】5.5.3线性方程一阶线性微分方程的标准形式：当，上方程称为齐次的；否则称为非齐次的。一阶线性微分方程的解法。1.线性齐次方程。（使用分离变量法）齐次方程的通解为。2.线性非齐次方程。即。非齐方程通解形式与齐方程通解相比：。常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法。实质：未知函数的变量代换。新未知函数原未知函数y（x）,作变换。将y和y＇代入原方程得积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为：非齐次线性微分方程例5：。【答疑编号11050605】例6：。【答疑编号11050606】5.6定积分概念及其基本性质一、问题的提出实例1（求曲边梯形的面积）曲边梯形由连续曲线y=f（x）（f（x）≥0）、x轴与两条直线x=a、x=b所围成。用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。曲边梯形如图所示，在区间[a,b]内插入若干个分点，a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b，把区间[a,b]分成n个小区间[xi-1，xi]，长度为△xi=xi-xi-1；在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点（ξi）为高的小矩形面积为Ai=f（ξi）△xi曲边梯形面积的近似值为当分割无限加细，即小区间的最大长度趋近于零时，曲边梯形面积为。二、定积分的定义定义设函数f（x）在[a,b]上定义，在[a,b]中任意插入若干个分点a=ⅹ0＜ⅹ1＜ⅹ2＜…＜ⅹn-1＜ⅹn=b把区间[a,b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为，在各小区间上任取一点，作乘积，并作和，记，如果不论对[a,b]怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当λ→0时，和S总趋于确定的极限I，我们称这个极限I为函数f（x）在区间[a,b]上的定积分，记为。注意：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关。（2）定义中区间的分法和的取法是任意的。（3）当函数f（x）在区间[a,b]上的定积分存在时，称f（x）在区间[a,b]上可积。定理1函数f（x）在区间[a,b]上可积的必要条件是f（x）在[a,b]上有界。定理2如果f（x）是区间[a,b]上的连续函数，则f（x）在区间[a,b]上可积。定理3设函数f（x）在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间[a,b]上可积。四、定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值。基本内容对定积分的补充规定：（1）当a=b时，；（2）当a＞b时，。说明在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小。定积分的性质性质1（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质2（k为常数）。性质3假设a＜c＜b补充：不论a,b,c的相对位置如何，上式总成立。例：若a＜b＜c，（定积分对于积分区间具有可加性）性质4性质5如果在区间[a,b]上f（x）≥0，则。（a＜b）例1.；【答疑编号11050701】性质6设M及