Poisson过程

第三章Poisson过程教学目的：（1）了解计数过程的概念；（2）掌握泊松过程两种定义的等价性；（3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布；（4）了解泊松过程的三种推广。教学重点：（1）泊松过程两种定义的等价性；（2）泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布；（3）泊松过程的三种推广。教学难点：（1）泊松过程两种定义的等价性的证明；（2）泊松过程来到时刻的条件分布；（3）泊松过程的推广。3.1Poisson过程教学目的：掌握Poisson过程的定义及等价定义；会进行Poisson过程相关的概率的计算。教学重点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明；Poisson过程相关的概率的计算。教学难点：Poisson过程的定义与其等价定义等价性的证明。Poisson过程是一类重要的计数过程，先给出计数过程的定义定义3.1：{(),0}Ntt随机过程称为计数过程，如果()0Ntt表示从到时刻某一A特定事件发生的次数，它具备以下两个特点：(1)()Nt取值为整数；(2)()()()-()(,]stNsNtNtNsst时，且表示时间A内事件发生的次数。计数过程有着广泛的应用，如：某商店一段时间内购物的顾客数；某段时间内电话转换台呼叫的次数；加油站一段时间内等候加油的人数等。如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称该计数过程有独立增量。即当123,ttt2132()-()()-()XtXtXtXt有与是独立的。若在任一时间区间中的事件个数的分布只依赖于,时间区间的长度则计数过程有平稳增量。即对一切12120(,]ttststs及，在中事件个数21()()NtsNts12(,]tt与区间中事件的个数21()()NtNt有相同的分布。Poission过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission引入。.独立增量和平稳增量是某些级数过程的主要性质Poisson过程是具有独立增量.和平稳增量的计数过程定义3.2：{(),0}(0)Ntt计数过程称为参数为Poisson过程，如果(1)(0)0N；(2)过程具有独立增量；(3),0,st对任意的(()-())PNtsNsn!ntten（）例3.1：3/h设顾客到达商店依次人的平均速度到达，Poisson且服从分布，9:00,已知商店上午开门试求(1)9:0010:005从到这一小时内最多有名顾客的概率？(2)9:3011:30到时仅到一位顾客，而到时总计已达到5位顾客的概率？(解：见板书。)注：（1）Poisson过程具有平稳增量。（2）随机变量()Nt服从参数为t的Poisson分布，故[()]ENtt（显然，可以认为是单位时间内事件发生的平均次数，称是Poisson过程的强度或速率或发生率。）（3）0lim(()-()0)tPNtsNs0lim1()ttetot0lim(()-()1)tPNtsNs0lim()tttetot0lim(()-()2)()tPNtsNsot（让同学们通过讨论来解释这几个极限结果的实际意义，适当引导学生结合实际并应用二项分布与Poisson分布之间的关系来解释这3个极限。）,根据稀有事件原理在概率论中我们已经学到：,Bernoulli试验中，每次试验成功的概率很小而,实验的次数很多时二项.Poisson分布会逼近分布.这一现象也体现在随机过程中(0,]t首先，将划分为n个相等的时间小区间，则由(4)'n条件可知，当时，在每个小区间内事件220.发生次或次以上的概率事件发生一次的概(),,tphpn率显然很小1这恰好是次.Bernoulli试验1,,其中发生次为成功不发生的为失败再由(2)'给出,()Ntn的平稳增量就相当于次独立Bernoulli试验中试验成功的总次数。由()PoissonNt分布的二项逼近可知，将服从tPoisson参数为的分布。（让学生讨论如何判断一个计数过程是不是Poisson过程，则必须验证是否满足（1）——（3），条件（1）说明计数过程从0开始，条件（2）通常可以从我么对过程的实际情况去直接验证，然而条件（3）一般完全不清楚，如何去判断？是否可以从我们所得到的Poisson过程的这三条性质来判断定义中的条件（3）是否成立？接下来就证明计数过程满足Poisson过程定义中的条件（1）和（2）及这里的性质的时候，该计数过程是一个Poisson过程。于是得到Poisson过程的等价定义）定义3.2’:一计数过程{(),0}Ntt称为参数为Poisson的过程，若满足：(1)'(0)0N；(2)'是独立增量及平稳增量过程，即任取120,ntttnN,1211()(0),()(),,()()nnNtNNtNtNtNt相互独立；,0,0,{()()}{()}stnPNstNtnPNtn且(3)'0,0,th对任意和充分小的有{()()1}()PNthNthh(4)'0,0,th对任意和充分小的有{()()2}()PNthNth定理3.1:3.23.2'定义与定义是等价的。证明：3.2'3.2定义定义由增量平稳性，记：(){()}{()()}nPtPNtnPNstNsn（I）0n情形：因为{()0}{()0,()()0},0NthNtNthNth我们有：0(){()0,()()0}PthPNtNthNt00={()0}{()()0}()()PNtPNthNtPtPh另一方面0(){()()0}1(())PhPNthNthh代入上式，我们有：000()()()()PthPthPthh令0h我们有：0000()()()(0){(0)0}1tPtPtPtePPN（II）0n情形：因为：{()}{(),()()0}NthnNtnNthNt{()1,()()1}NtnNthNt2{(),()()}nlNtnlNthNtl故有：1()()(1())()(())()nnnPthPthhPthhh化简并令0h得：1()()()nnnPtPtPt两边同乘以te，移项后有：1()()(0){(0)}0ttnnndePtePtdtPPNn当1n时，有：111(),(0)0()()ttdePtPPttedt由归纳法可得：0()(),!ntntPtenNn注意：{()}{()}ENtENttt,因此代表单位时间内事件A出现的平均次数。3.23.2'定义定义{()()1}PNthNt{()(0)1}PNhN1()1!hhe0()!nnhhn(1())hhoh()hoh--------(3)'——成立。{()()2}PNthNt{()(0)2}PNhN2()!nhnhen2()!nhnhen0()[1]!nhnhehn[1]hheeh1hhehe()h---------------------------(4)'——成立。例3.2：{()0},NttPoisson设，服从强度为的过程求(1{(5)4};PN）(2{(5)4,(7.5)6,(12)9};PNNN）(3{(2)9|(5)4}.PNN）例3.3：APoisson事件的发生形成强度为的过程{(),0},Ntt如果每次事件P发生时以概率能够被记()Mtt录下来，并以表示时刻记录下来的事件总数，则{(),0}MttPPoisson是一个强度为的过程。例3.4：,某商场为调查顾客到来的客源情况考察了男女.顾客来商场的人数假设男女顾客到达商场的人数分12Poisson别是独立服从每分钟人与每分钟人的过程。(1)到达商场顾客的总人数应该服从什么分布？(2)50,30t已知时刻已有人到达的条件下问其中有位是女性顾客的概率有多大？平均有多少女性顾客？作业1：Poisson设通过某十字路口的车流可以看做过程，1如果分钟内没有车0.2.辆通过的概率为121（）求分钟内有多于辆车通过的概率。(2)5在分钟内平均通过的车辆数。35（）在分钟内平均通过的车辆数方差。45（）在分钟内至少有一辆车通过的概率。3.2Poisson过程相联系的若干分布教学目的：掌握nX和nT的分布；理解事件发生时刻的条件分布。教学重点：nX，nT的分布；事件发生时刻的条件分布。教学难点：事件发生时刻的条件分布。{(),0}PoissonNtt过程的一条样本路径一般是1跳跃度为的阶梯型函数。:1,2,nTnn是次事件发生的时刻，也称为第n次事件的等待时间，规00.T定：:1,2,1nXnnn是次与次事件发生的时间{,1}nXn间隔，序列也称.为时间间隔序列显然nT1niiX，nX1nnTT。接下来讨论:1,2,nXn及:1,2,nTn分布，先讨论1X的分布，让学生根据Poisson过程的两个等价定义中的条件来分析猜想1X的分布，引导学生用Poisson过程的平稳独立增量性和无记忆性之间的联系。复习：1.指数分布0()00xxefxx()()FxPXx()xftdt0100xxex2.无记忆性若随机变量满足(|){}PXstXtPXsX则称随机变量是无记忆性的。.（指数分布无记忆性）,XX如果将看做某仪器的寿命则的无记忆性表示为：,tst在仪器已工作了小时的条件下它至少工作小时的概率与它原来至少工作s小时的概率是相同的。结论：~(),XE若0,0,st则对任意的恒有：(|)PXstXt{}PXsnnXT一、和的分布定理3.2：,1,2,,.nXn服从参数为的指数分布且相互独立3.2,Poisson注：定理的结果应该是在预料之中的因,过程有平稳独立增量因此过程在任何时刻都重新,开始即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切(),(由独立增量且有与过程完全一样的分布由平稳).,增量换言之过程无记忆,性与指数分布的无记.忆性相对应3.2Poisson定理给出了过程的又一种定义方法：定义3.3：12,,XX如果每次事件发生的时间间隔相互独立且服从同一参数的指数分布，这该计{(),0}.NttPoisson数过程是一个强度为的过程注：如果任意相继出现的两个质点的点间间距是相互独立，且服从同一参数为的指数分布，则质.Poisson点流构成强度为的过程3.2,Poisson定理告诉我们要确定一个计数过程是不是,过程只要用统计方法,检验点间间距是否独立且服从同一指数分布。例3.5:800,设从早上：开始有无穷多个人排队等候服务只,有一名服务员且每个人接受服务的时间是独立的20min并服从均值为的指数分布，则到中午12:009为止平均有多少人已经离去，已有个人接受服务的概率是多少？例3.6:,甲、乙两路公共汽车都通过某一站两路汽车的达到10分别服从分钟1()15()Poisson辆甲，分钟一辆乙的分.布假定车总不会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需要等待时间的概率分布及其期望。定理3.3：,1,2,.nTnn服从参数为和的的分布证明：见板书。二、事件发生时刻的条件分布12(),,,nNtnTTT讨论在给定的条件下，的条件分布相关性质及其应用。引理：{(),0},NttPoisson假设是过程0,st则有1(|()1)PTsNtst[