自考笔记.自考串讲.0020高等数学一小抄2013年版扈志明主编教材讲义

开展“爱在七夕.中华经典诵读”活动。分局组织开展爱情诗词征集或诵读活动，倡导忠贞的爱情观;各科室组织开展吟诵经典爱情诗篇、传诵美丽爱情故事等中华经典诵读活动，引导人们感受传统文化魅力，努力把积极的人生追求、高尚的情感境界、健康的生活情趣传递给干部群众。前言《高等数学一》共6章第一章函数1.主要是对高中知识的复习；2.为今后知识打下良好的基础；3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是5分左右.第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础；本章内容在历年考题中所占分值为20左右.第三章导数与微分主要是学习函数的导数和微分，这是高数的核心概念.本章内容在历年考题中所占分值为15分左右.第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题；本章在历年考题中所占分值为20分左右.第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念；本章内容在历年考题中所占分值为25分左右.第六章多元函数微积分主要是学习多元函数的微积分的计算；本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右.第一章函数1.1预备知识1.1.1初等代数的几个问题1.一元二次方程关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），称为一元二次方程，称为此方程的判别式.（1）求根公式：当△＞0时，方程有两个不同的实根：开展“爱在七夕.中华经典诵读”活动。分局组织开展爱情诗词征集或诵读活动，倡导忠贞的爱情观;各科室组织开展吟诵经典爱情诗篇、传诵美丽爱情故事等中华经典诵读活动，引导人们感受传统文化魅力，努力把积极的人生追求、高尚的情感境界、健康的生活情趣传递给干部群众。2当△＝0时，方程有一个二重实根：当△＜0时，方程有一对共轭复根：（2）根与系数的关系（韦达定理）：（3）一元二次函数（抛物线）：y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下.对称轴顶点坐标例1.若x3＋x2＋ax＋b能被x2－3x＋2整除，则a、b是多少？结论：多项式f（x），g（x）.若f（x）能被g（x）整除，则g（x）＝0的根均为f（x）＝0的根.解：令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组.当时，方程组有唯一解；更多内容请与QQ：索取当时，方程组无解；当时，方程组有无穷多解.例2.已知方程组开展“爱在七夕.中华经典诵读”活动。分局组织开展爱情诗词征集或诵读活动，倡导忠贞的爱情观;各科室组织开展吟诵经典爱情诗篇、传诵美丽爱情故事等中华经典诵读活动，引导人们感受传统文化魅力，努力把积极的人生追求、高尚的情感境界、健康的生活情趣传递给干部群众。3（1）若方程组有无穷多解，求a的值；（2）当a＝6时，求方程组的解.解：（1）因为方程组有无穷多组解，所以,解得a＝4.（2）当a＝6是，原方程组变为,解得3.不等式（1）一元二次不等式考虑不等式ax2＋bx＋c＞0，如果记一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个不同实根分别为x1，x2，且x1＜x2，根据一元二次函数的图形可知：当a＞0时，这个不等式的解集是{x│x＜x1或x＞x2}；当a＜0时，它的解集是{x│x1＜x＜x2}.用类似的方法可以求解不等式ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c＜0和ax2＋bx＋c≤0.例3.解不等式x2－5x＋6≥0.解：令x2－5x＋6＝0,（x－2）（x－3）＝0,得x＝2或x=3,∴解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）.例4.解不等式x2＋（1－a）x－a＜0.解：令x2＋（1－a）x－a＝0,（x－a）（x＋1）＝0,得x＝a或x＝－1,①若a＜－1，解集为（a，－1）,②如a＝－1，解集为Φ,③若a＞－1，解集为（－1，a）.（2）绝对值不等式更多内容请与QQ：索取不等式│f（x）│＞a＞0等价于f（x）＞a或f（x）＜－a；不等式│f（x）│＜a等价于－a＜f（x）＜a.开展“爱在七夕.中华经典诵读”活动。分局组织开展爱情诗词征集或诵读活动，倡导忠贞的爱情观;各科室组织开展吟诵经典爱情诗篇、传诵美丽爱情故事等中华经典诵读活动，引导人们感受传统文化魅力，努力把积极的人生追求、高尚的情感境界、健康的生活情趣传递给干部群众。4例5.解下列含有绝对值符号的不等式：（1）│2x－3│≤5（2）│3x－1│≥7解：（1）原不等式等价于－5≤2x－3≤5解得：－1≤x≤4.所以解集为[－1，4].（2）原不等式等价于3x－1≤－7或3x－1≥7，3x－1≤－7的解集为x≤－2，3x－1≥7的解集为x≥,所以解集为（－∞，－2]∪[，＋∞）.例6.解不等式│x2－2x－5│＜3.解：原不等式等价于x2－2x－5＞－3的解集为（－∞，]∪[，＋∞），x2－2x－5＜3的解集为（－2，4），所以原不等式的解集为（－2，]∪[，＋4）.4.数列（1）等差数列：相邻两项的差为定值，即an＋1－an＝d，d称为公差.通项公式：an＝a1＋（n－1）d更多内容请与QQ：索取前n项和公式：当m＋n＝k＋l时，am＋an＝ak＋al特别地有例7.设{an}是一个等差数列，且a2＋a3＋a10＋a11＝64，求a6＋a7和S12.解：因为2＋11＝3＋10＝13所以a2＋a11＝a3＋a10＝32,又因为6＋7＝13，所以a6＋a7＝32,S12＝（a1＋a12）×12÷2＝6（a1＋a12）＝6×32＝192.开展“爱在七夕.中华经典诵读”活动。分局组织开展爱情诗词征集或诵读活动，倡导忠贞的爱情观;各科室组织开展吟诵经典爱情诗篇、传诵美丽爱情故事等中华经典诵读活动，引导人们感受传统文化魅力，努力把积极的人生追求、高尚的情感境界、健康的生活情趣传递给干部群众。5（2）等比数列：相邻两项的商为定值，即，q称为公比.通项公式：an＝a1qn-1前n项和公式：当m＋n＝k＋l时，aman＝akal特别地有例8.设{an}是一个等比数列，且a3＝12，a5＝48，求a1，a10和a2a6的值.解：所以q＝±2a10＝a5·q5＝48×（±2）5＝±1536因为2＋6＝3＋5＝8所以a2·a6＝a3·a5＝12×48＝576.1.1.2集合与逻辑符号1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素.数集分类：N——自然数集Z——整数集Q——有理数集R——实数集C——复数集合2.元素与集合的关系元素a在集合A中，就说a属于A，记为a∈A；否则就说a不属于A，记为aA.3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A.更多内容请与QQ：索取若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A＝B.例9.A＝{1，2}，C＝{x│x2－3x＋2＝0}，则A和C是什么关系？解：解方程x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2.开展“爱在七夕.中华经典诵读”活动。分局组织开展爱情诗词征集或诵读活动，倡导忠贞的爱情观;各科室组织开展吟诵经典爱情诗篇、传诵美丽爱情故事等中华经典诵读活动，引导人们感受传统文化魅力，努力把积极的人生追求、高尚的情感境界、健康的生活情趣传递给干部群众。6所以C＝{1，2}，从而A＝C.4.空集不含任何元素的集合称为空集（记作Φ）.规定空集为任何集合的子集.例10.{x│x∈R，x2＋1＝0}＝Φ5.集合的表示方法：列举法，描述法一般的，有限集用列举法，无限集用描述法闭区间：[a，b]＝{x│a≤x≤b，x∈R}；开区间：（a，b）＝{x│a＜x＜b，x∈R}；半开半闭区间：左开右闭区间：（a，b]＝{x│a＜x≤b，x∈R}，左闭右开区间：[a，b）＝{x│a≤x＜b，x∈R}；（－∞，b]＝{x│x≤b，x∈R}，[a，＋∞]＝{x│x≥a，x∈R}；点a的邻域：U（a，ε）＝（a－ε，a＋ε），ε＞0，即U（a，ε）是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用Ua表示；点a的去心邻域：N（a，ε）＝（a－ε，a）∪（a，a＋ε），ε＞0.点a的去心邻域也可以表示为Na.6.集合之间的运算（1）并：由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A∪B.A∪B＝{x│x∈A或x∈B}，A∪B＝B∪A.例11.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A∪B.解：A∪B＝{1，2，3，4，6，8，10，12}.例12.已知：A＝{x│1＜x＜5}，B＝{x│－3＜x≤2}，求：A∪B.解：A∪B＝{x│－3＜x＜5}.（2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A∩B.A∩B＝{x│x∈A且x∈B}，A∩B＝B∩A更多内容请与QQ：索取例13.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2、4、6、8、10、12}，求：A∩B.解：A∩B＝{2，4}.例14.已知：A＝{x│1＜x＜4}，B＝{x│－3＜x≤3}，求：A∩B.解：A∩B＝{x│1＜x≤3}.开展“爱在七夕.中华经典诵读”活动。分局组织开展爱情诗词征集或诵读活动，倡导忠贞的爱情观;各科室组织开展吟诵经典爱情诗篇、传诵美丽爱情故事等中华经典诵读活动，引导人们感受传统文化魅力，努力把积极的人生追求、高尚的情感境界、健康的生活情趣传递给干部群众。7（3）余集（差集）：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A－B.A－B＝{x│x∈A但xB}.例15.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A－B.解：A－B＝{1，3}.7.一些逻辑符号p能推出q，记为pq，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件.如果pq，qp同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件（充要条件），记作pq.1.2函数的概念与图形1.2.1函数的概念1.定义设D是一个非空数集，f是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x∈D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y＝f（x），x∈D.也称y是x的函数，其中x称为自变量，y称为因变量.当x0∈D时，称f（x0）为函数在点x0处的函数值.数集D叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数W＝{y│y＝f（x），x∈D}称为函数的值域.更多内容请与QQ：索取例1.已知：，求：y的定义域、值域.解：令1－x2≥0，解得：－1≤x≤1,所以定义域为[－1，1].因为0≤1－x2≤1，所以0≤≤1，所以值域为[0，1].例2.已知：，求：y的定义域、值域.解：根据题意，得，开展“爱在七夕.中华经典诵读”活动。分局组织开展爱情诗词征集或诵读活动，倡导忠贞的爱情观;各科室组织开展吟诵经典爱情诗篇、传诵美丽爱情故事等中华经典诵读活动，引导人们感受传统文化魅力，努力把积极的人生追求、高尚的情感境界、健康的生活情趣传递给干部群众。8解得－1＜x＜1，所以定义域为（－1，1），因为0＜≤1，从而，所以值域为[1，＋∞）.2.函数的三要素：定义域、对应法则、值域.约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化.例3.判断下列两个函数是否相等，（1）y＝x＋3；（2）.例4.求函数的定义域.解：根据题意，得解得:2≤x＜3或3＜x＜5，所以定义域为[2，3）∪（3，5）.3.函数的表示法：表达式法（解析法）、图形法、数表法.1.2.2函数的图形1.函数图形的概念函数y＝f（x），x∈D的图形是指在xOy平面上的点集{（x,y）│y＝f（x），x∈D}.常见的几个幂函数的图形：更多内容请与QQ：索取2.函数的性质开展“爱在七夕.中华经典诵读”活动。分局组织开展爱情诗词征集或诵读活动，倡导忠贞的爱情观;各科室组织开展吟诵经典爱情诗篇、传诵美丽爱情故事等中华经典诵读活动，引导人们感受传统文化魅力，努力把积极的人生追求、高尚的情感境界、健康的生活情趣传递给干部群众。9（1）有界性函数f（x），x∈D，存在两个实数m、M，满足条件：对于D中所有