数学培优竞赛新方法(九年级)-第28讲-圆与直角坐标系――由动点生成的相切问题

1第28讲圆与直角坐标系——由动点生成的相切问题知识纵横直线与圆相切是与圆有关的位置关系中特殊而重要的一类，在直角坐标系中，由动点生成的相切问题，把点的坐标、直线形、抛物线、圆等丰富的知识融合在一起，既引进于运动观念，又考查了数形结合、分析转化、分类讨论等思想方法及探究能力。例题求解【例1】如图，y关于x的二次函数)0)(3)((33mmxmxmy图象的顶点为M，图象交x轴于BA、两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．）（0m（1）写出DBA、、三点的坐标；（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．（2011年潍坊市中考题）思路点拨对于（2）连接CD，比较22CDED与2EC的大小；对于（3），当m变时，S关于m有不同的表达式【例2】抛物线cbxaxy2交x轴于BA,两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为3-0),0,3(,1，CBx（1）求二次方程cbxaxy2的解析式；（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到CB,两点距离之差最大？若存在，求出P2点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于NM、两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径.（潍坊市中考题）思路点拨对于（2），ACPCPA,当PCA、、共线时，ACPCPA最大；对于（3），把N点的横坐标与圆的半径联系起来【例3】经过x轴上)03()01(，，，BA两点的抛物线cbxaxy2交y轴于点C，设抛物线的顶点为D，若以DB为直径的⊙G经过点C，求解下列问题：（1）用含a的代数式表示出DC、的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）如图，当0a时，能否在抛物线上找到一点Q，使BDQ为直角三角形？你能写出Q点的坐标吗？（湖南中考题）思路点拨对于（3），因直角顶点为确定，故需分情况讨论.解题的关键是，以所探讨的直角为基础，构造像是三角形，建立方程.3【例4】如图,已知直线l的解析式为343xy，并且与x轴、y轴分别相交于点BA、．（1）求BA、两点的坐标；（2）一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以4.0个单位/s的速度向x轴正方向运动，问在什么时刻该圆与直线l相切？（3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以5.0个单位/秒的速度运动，问：在整个运动过程中，点P在动圆的圆面上（圆上和圆的内部）一共运动了多少时间？（盐城市中考题）分析对于（2），先求从开始到相切时，圆心走过的距离；对于（3），求出点在圆上运动的时间，而点P在沿BA方向在直线上运动，其运动过程与速度之比为54，恰好等于BAOA，届本例的关键是需就动圆，动点位置进行讨论.【例5】如图，在平面直角坐标系中，点B在直线xy2上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，5OA．若抛物线cbxaxy2过点AO、两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）若A点关于直线xy2的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，⊙1O是以BC为直径的圆．过原点O作1O的切线POP、为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与1O相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．（福州市中考题）4分析与解对于（3），坐出与圆相关的辅助线，Q点是直线PO1与抛物线的交点，故解题关键是求出PO、1的坐标学力训练1．已知抛物线cbxaxy2，经过点)50(，A和点)23(，B（1）求抛物线的解析式：（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，问⊙P在运动过程中，是否存在⊙P与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若⊙Q的半径为r，点Q在抛物线上，且⊙Q与两坐轴都相切时，求半径r的值．（南昌市中考题）52.如图，直线kxky3分别与y轴、x轴相交于点A，点B，且5AB，一个圆心在坐标原点，半径为1的圆，以8.0个单位/秒的速度向y轴正方向运动，设此动圆圆心离开坐标原点的时间为)0(tt（秒）．（1）求直线AB的解析式；（2）如图1，t为何值时，动圆与直线AB相切；（3）如图2，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿BA方向以1个单位/秒的速度运动，设t秒时点P到动圆圆心C的距离为s，求s与t的关系式；（4）在（3）中，动点P自刚接触圆面起，经多长时间后离开了圆面？(烟台市中考题)3.已知二次函数xxy23412的图象如图．（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为CBA、、三点，若oACB90，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．（2011年桂林市中考题）64.已知：函数12xaxy的图象与x轴只有一个公共点．（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数12xaxy图象的顶点为B，与y轴的交点为PA、为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线12xaxy上？若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由（盐城市中考题）