2000-2014年考研数学三历年真题

12000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题2二、选择题3456789102001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题11二、选择题12131415161718192002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题20二、选择题212223242526272003年考研数学（三）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos)(xxxxxf若若其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_____.（2）已知曲线bxaxy233与x轴相切，则2b可以通过a表示为2b________.（3）设a0，，xaxgxf其他若,10,0,)()(而D表示全平面，则DdxdyxygxfI)()(=_______.（4）设n维向量0,),0,,0,(aaaT；E为n阶单位矩阵，矩阵TEA，TaEB1，其中A的逆矩阵为B，则a=______.（5）设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若4.0XZ，则Y与Z的相关系数为________.（6）设总体X服从参数为2的指数分布，nXXX,,,21为来自总体X的简单随机样本，则当n时，niinXnY121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f存在，则函数xxfxg)()((A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.[]（2）设可微函数f(x,y)在点),(00yx取得极小值，则下列结论正确的是(A)),(0yxf在0yy处的导数等于零.（B）),(0yxf在0yy处的导数大于零.(C)),(0yxf在0yy处的导数小于零.(D)),(0yxf在0yy处的导数不存在.[]（3）设2nnnaap，2nnnaaq，,2,1n，则下列命题正确的是(A)若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq都收敛.28(B)若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq都收敛.(C)若1nna条件收敛，则1nnp与1nnq敛散性都不定.(D)若1nna绝对收敛，则1nnp与1nnq敛散性都不定.[]（4）设三阶矩阵abbbabbbaA，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b0.(C)ab且a+2b=0.(D)ab且a+2b0.[]（5）设s,,,21均为n维向量，下列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数skkk,,,21，都有02211sskkk，则s,,,21线性无关.(B)若s,,,21线性相关，则对于任意一组不全为零的数skkk,,,21，都有.02211sskkk(C)s,,,21线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)s,,,21线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.[]（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A={掷第一次出现正面}，2A={掷第二次出现正面}，3A={正、反面各出现一次}，4A={正面出现两次}，则事件(A)321,,AAA相互独立.(B)432,,AAA相互独立.(C)321,,AAA两两独立.(D)432,,AAA两两独立.[]三、（本题满分8分）设).1,21[,)1(1sin11)(xxxxxf试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.29四、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222vfuf，又)](21,[),(22yxxyfyxg,求.2222ygxg五、（本题满分8分）计算二重积分.)sin(22)(22dxdyyxeIDyx其中积分区域D=}.),{(22yxyx30六、（本题满分9分）求幂级数12)1(2)1(1nnnxnx的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在),(内满足以下条件：)()(xgxf，)()(xfxg，且f(0)=0,.2)()(xexgxf(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出F(x)的表达式.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在)3,0(，使.0)(f31九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nnnnnnnnxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxbaxaxaxaxaxba其中.01niia试讨论naaa,,,21和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、（本题满分13分）设二次型)0(222),,(31232221321bxbxxxaxAXXxxxfT，中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1)求a,b的值；(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.32十一、（本题满分13分）设随机变量X的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若xxxfF(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为7.03.021~X，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).332004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，满分24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(1)若0sinlimcos5xxxxbea，则a______，b______.(2)函数,fuv由关系式,fxgyyxgy确定，其中函数gy可微，且0gy，则2fuv______.(3)设211,,2211,,2xxexfxx则2121fxdx_____.(4)二次型222123122331,,fxxxxxxxxx的秩为______.(5)设随机变量X服从参数为的指数分布，则PXDX______.(6)设总体X服从正态分布21,N，总体Y服从正态分布22,N，112,,,nXXX和212,,,nYYY分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则122211122nnijijXXYYEnn______.二、选择题：本题共8小题，每小题4分，满分24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(7)函数2sin212xxfxxxx在下列哪个区间内有界.（A）1,0（B）0,1（C）1,2（D）2,3(8)设fx在,内有定义，且limxfxa，1,0,0,0,fxgxxx则34（A）0x必是gx的第一类间断点（B）0x必是gx的第二类间断点（C）0x必是gx的连续点（D）gx在点0x处的连续性与a的值有关.(9)设1fxxx，则（A）0x是fx的极值点，但0,0不是曲线yfx的拐点（B）0x不是fx的极值点，但0,0是曲线yfx的拐点（C）0x是fx的极值点，且0,0是曲线yfx的拐点（D）0x不是fx的极值点，0,0也不是曲线yfx的拐点(10)设有以下命题：①若2121nnnuu收敛，则1nnu收敛②若1nnu收敛，则10001nnu收敛③若1lim1nnnuu，则1nnu发散④若1nnnuv收敛，则1nna，1nnv都收敛则以上命题中正确的是（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④(11)设fx在,ab上连续，且0,0fafb，则下列结论中错误的是（A）至少存在一点0,xab，使得0fxfa（B）至少存在一点0,xab，使得0fxfb（C）至少存在一点0,xab，使得00fx（D）至少存在一点0,xab，使得00fx(12)设n阶矩阵A与B等价，则必有35（A）当0Aaa时，Ba（B）当0Aaa时，Ba（C）当0A时，0B（D）当0A时，0B(13)设n阶矩阵A的伴随矩阵*0A，若1234,,,是非齐次线性方程组Axb的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0Ax的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量(14)设随机变量X服从正态分布0,1N，对给定的0,1，数nu满足PXu，若PXx，则x等于（A）2u（B）12u（C）12u（D）1u三、解答题：本题共9小题，满分94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分8分）求22201coslimsinxxxx.（16）（本题满分8分）求22Dxyyd，其中D是由圆224xy和2211xy所围成的平面区域（如图）.（17）（本题满分8分）设,fxgx在,ab上连续，且满足36xxaaftdtgtdt，,xab，bbaaftdtgtdt证明：bbaaxfxdxxgxdx.（18）（本题满分9分）设某商品的需求函数为1005QP，其中价格0,20P，Q为需求量.（Ⅰ）求需求量对价格的弹性0ddEE；（Ⅱ）推导1ddRQEdP（其中R为收益），并用弹性dE说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加.（19）（本题满分9分）设级数468242462468xxxx的和函数为Sx.求：（Ⅰ）Sx所满足的一阶微分方程；（Ⅱ）Sx的表达式.37（20）（本题满分13分）设1231,2,0,1,2,3,1,2,2TTTaabab，1,3,3T.试讨论当,ab为何值时，（Ⅰ）不能由123,,线性表示；（Ⅱ）可由123,,唯一地线性表示，并求出表示式；（Ⅲ）可由123,,线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式.（21）（本题满分13分）设n阶矩阵111bbbbAbb.（Ⅰ）求A的特征值和特征向量；（Ⅱ）求可逆矩阵P，使得1PAP为对角矩阵.38（22）（本题满分13分）设,AB为两个随机事件，且111,,432PAPBAPAB，令1,0,.AXA发生，不发生1,0,.BYB发生，不发生求：（Ⅰ）二维随机变量,XY的概率分布；（Ⅱ）X与Y的相关系数XY；（Ⅲ）22ZXY的概率分布.（23）（本题满分13分）设随