概率论与数理统计复习资料——含习题讲解

《概率论与数理统计》课程复习资料1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。古典概型例子摸球模型例1：袋中有a个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m(m≤a+ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率;例2：袋中有a个白球，ｂ个黑球，c个红球，从中任意取出ｍ(m≤a+ｂ)个球，求取出的m个球中有k1(≤a)个白球、k2(≤b)个黑球、k3(≤c)个红球(k1＋k2＋k3=m)的概率.占位模型例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(N≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1)A={指定n个格子中各有一个质点}；(2)B={任意n个格子中各有一个质点}；(3)C={指定的一个格子中恰有m(m≤n)个质点}.抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？2．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。如对于事件A，B，A或B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以及换为A或B之中的几个，求另外几个。例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB)例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求：P(A－B)，P(AB)，)|(BAP，)|(BAP，)|(BAP3．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件Bi，i=1,2,…,n,…的概率P(Bi)，以及Bi发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|Bi)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件Bi发生的条件概率P(Bi|A)。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。4．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。(1)已知一维离散型随机变量X的分布律P(X=xi)=pi，i=1,2,…,n,…确定参数求概率P(aXb)求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数Y=g(X)的分布律及期望E[g(X)]例：随机变量X的分布律为.X1234pk2k3k4k确定参数k求概率P(0X3)，}31{XP求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数2)3(XY的分布律及期望2)3(XE(2)已知一维连续型随机变量X的密度函数f(x)确定参数求概率P(aXb)求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数Y=g(X)的密度函数及期望E[g(X)]例：已知随机变量X的概率密度为其他0202xkxxf，确定参数k求概率}31{XP求分布函数F(x)求期望E(X)，方差D(X)求函数XY的密度及期望)(XE(3)已知二维离散型随机变量(X，Y)的联合分布律P(X=xi，Y=yj)=pij，i=1,2,…,m,…；j=1,2,…,n,…确定参数求概率P{(X,Y)G}求边缘分布律P(X=xi)=pi.，i=1,2,…,m,…；P(Y=yj)=p.j，j=1,2,…,n,…求条件分布律P(X=xi|Y=yj)，i=1,2,…,m,…和P(Y=yj|X=xi)，j=1,2,…,n,…求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数XY，判断是否不相关求函数Z=g(X,Y)的分布律及期望E[g(X,Y)]例：已知随机变量(X,Y)的联合分布律为YX012300.050.10.150.210.030.050.050.0720.020.050.10.13求概率P(XY)，P(X=Y)求边缘分布律P(X=k)k=0,1,2和P(Y=k)k=0,1,2,3求条件分布律P(X=k|Y=2)k=0,1,2和P(Y=k|X=1)k=0,1,2,3求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数XY，判断是否不相关求Z=X+Y，W=max{X，Y}，V=min{X，Y}的分布律(4)已知二维连续型随机变量X的联合密度函数f(x,y)确定参数求概率P{(X,Y)G}求边缘密度)(xfX，)(yfY，判断YX,是否相互独立求条件密度)|(|yxfYX，)|(|xyfXY求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数XY，判断是否不相关求函数Z=g(X,Y)的密度函数及期望E[g(X,Y)]例：已知二维随机变量(X，Y)的概率密度为其它,01,),(22yxycxyxf，确定常数c的值；求概率P(XY)求边缘密度)(xfX，)(yfY，判断YX,是否相互独立求条件密度)|(|yxfYX，)|(|xyfXY求期望E(X)，E(Y)，方差D(X)，D(Y)求协方差cov(X,Y)，相关系数XY，判断是否不相关5．会用中心极限定理解题。例1：每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为25.1，求在100次射击中有180到220发炮弹命中目标的概率．例2：设从大批发芽率为0.9的种子中随意抽取1000粒，试求这1000粒种子中至少有880粒发芽的概率。6．熟记(0-1)分布、二项分布、泊松分布的分布律、期望和方差，指数分布(参数)、均匀分布、正态分布的密度函数、期望和方差。数理统计部分必须要掌握的内容以及题型1．统计量的判断。对于来自总体X的样本nXXX,,,21，由样本构成的各种函数是否是统计量。2．计算样本均值与样本方差及样本矩。3．熟记正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理。4．会求未知参数的矩估计、极大似然估计。例：设总体X的概率密度为其它,010,1xxxf，nXX,,1是来自总体X的一个样本，求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.5．掌握无偏性与有效性的判断方法。对于来自总体X的样本nXXX,,,21，判断估计量是否无偏，比较哪个更有效。例：设321,,XXX是来自总体X的一个样本，下列统计量是不是总体均值的无偏估计3212110351XXX；)(31321XXX；321XXX；)(2121XX；3211214331XXX求出方差，比较哪个更有效。6．会求正态总体均值与方差的置信区间。对于正态总体，由样本结合给出条件，导出参数的置信区间。7．理解假设检验的基本思想和原理，明确正态总体均值与方差的假设检验的基本步骤。对于单、双正态总体根据给定条件，确定使用什么检验方法，明确基本步骤。例：设),(~2uNX，u和2未知，(X1，…，Xn)为样本，(x1,…,xn)为样本观察值。(1)试写出检验u与给定常数u0有无显著差异的步骤；(2)试写出检验2与给定常数20比较是否显著偏大的步骤。1．古典概型中计算概率用到的基本的计数方法。古典概型例子摸球模型例1：袋中有a个白球，ｂ个黑球，从中接连任意取出m(m≤a+ｂ)个球，且每次取出的球不再放回去，求第m次取出的球是白球的概率;分析：本例的样本点就是从a+ｂ中有次序地取出m个球的不同取法；第m次取出的球是白球意味着：第ｍ次是从a个白球中取出一球，再在a+ｂ-1个球中取出m-1个球。解：设B＝｛第m次取出的球是白球｝样本空间的样本点总数：mbaAn事件B包含的样本点：111mbaaACr，则baaAaAnrBPmbamba11)(注：本例实质上也是抽签问题，结论说明按上述规则抽签，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关。例2：袋中有4个白球，5个黑球，6个红球，从中任意取出9个球，求取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球的概率.解：设B＝｛取出的9个球中有1个白球、3个黑球、5个红球｝样本空间的样本点总数：915Cn=5005事件B包含的样本点：563514CCCr=240，则P(B)=120/1001=0.048占位模型例：n个质点在N个格子中的分布问题.设有n个不同质点，每个质点都以概率1/N落入N个格子(N≥n)的任一个之中，求下列事件的概率：(1)A={指定n个格子中各有一个质点}；(2)B={任意n个格子中各有一个质点}；(3)C={指定的一个格子中恰有m(m≤n)个质点}.解：样本点为n个质点在N个格子中的任一种分布，每个质点都有N种不同分布，即n个质点共有Nn种分布。故样本点总数为：Nn(1)在n个格子中放有n个质点，且每格有一个质点，共有n!种不同放法；因此，事件A包含的样本点数：n!，则nNnAP!)((2)先在N个格子中任意指定n个格子，共有nNC种不同的方法；在n个格子中放n个质点，且每格一个质点，共有n!种不同方法；因此，事件B包含的样本点数：nNnNACn!，则nnNNABP)((3)在指定的一个格子中放m(m≤n)个质点共有mnC种不同方法；余下n-m个质点任意放在余下的N-1个格子中,共有mnN)1(种不同方法.因此，事件C包含的样本点数：mnCmnN)1(,则mnmmnnmnmnNNNCNNCCP)1()1()1()(抽数模型例：在0～9十个整数中任取四个，能排成一个四位偶数的概率是多少？解：考虑次序.基本事件总数为：410A=5040，设B={能排成一个四位偶数}。若允许千位数为0，此时千位数可在0、2、4、6、8这五个数字中任选其一，共有5种选法；其余三位数则在余下的九个数字中任选，有39A种选法；从而共有539A=2520个。其中，千位数为0的“四位偶数”有多少个？此时个位数只能在2、4、6、8这四个数字中任选其一，有4种选法；十位数与百位数在余下的八个数字中任选两个，有28A种选法；从而共有428A=224个。因此410283945)(AAABP=2296/5040=0.4562．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。例1：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB)解：P(AB)=P(A)P(B)=0.3，P(A－B)=P(A)－P(AB)=0.2，P(AB)=P(A)＋P(B)－P(AB)=0.8例2：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求：P(A－B)，P(AB)，)|(BAP，)|(BAP，)|(BAP解：P(A－B)=0.1，P(AB)=0.8，)|(BAP=)()(BPABP=3/7，)|(BAP=)()()()()(BPABPBPBPBAP=4/7，)|(BAP=)(1)()()(BPBAPBPBAP=2/33．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。解：设事件A表示“顾客买下该箱”，iB表示“箱中恰好有i件次品”，2,1,0i。则8.0)(0BP，1.0)(1BP，1.0)(2BP，1)|(0BAP，54)|(4204191CCBAP，1912)|(4204182CCBAP。由全概率公式得2094.019121.0541.018.0)|()()(iiiBAPBPAP；由贝叶斯公式85.094.018.0