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萬有引力定律§6-1克卜勒行星運動定律§6-2萬有引力定律§6-3萬有引力定律的應用§6-3重力場§6-1克卜勒行星運動定律1.科學家對太陽系的了解:•西元二世紀時,托勒密認為地球是宇宙的中心,提出「地心說」。•西元十六世紀哥白尼提出「日心說」,認為太陽才是宇宙的中心,建構了我們現在所認識的太陽系。•克卜勒利用第谷所遺留給他的大量有關行星運動的精確數據,發現了行星運動的規律,稱為克卜勒定律。•牛頓發現了萬有引力定律,從理論上直接的導出了克卜勒定律。牛頓證明了天體運動和地面物體的運動都遵守同樣的力學定律。2003年11月,美國天文學家邁克爾·布朗和他的同事在柯伊伯帶中發現了一顆被稱作「塞德娜」的行星,它的體積也和冥王星接近,新行星距離太陽大約145億公里,公轉週期為560年。在英語中,關於行星的稱法只有planet(大行星)和asteroid(小行星)兩種。這顆新行星是否為planet.科學家的看法仍存有歧見。行星軌道數據距離太陽(AU)半徑(地球)質量(地球)軌道傾角(度)軌道離心率水星0.390.380.0570.2056金星0.720.950.893.3940.0068地球1.01.001.000.0000.0167火星1.50.530.111.8500.0934木星5.211.03181.3080.0483土星9.59.5952.4880.0560天王星19.24.0170.7740.0461海王星30.13.9171.7740.0097冥王星39.50.180.00217.150.24822.克卜勒行星運動定律:1)克卜勒行星第一運動定律:太陽系的行星,各在以太陽為焦點的一橢圓軌道上運行。•橢圓方程式:22221xyaba為半長軸;b為半短軸。•橢圓面積:πab•焦點位置:(c,0)及(-c,0)22cab•離心率:01ceca,離心率用於代表橢圓的扁平程度。行星太陽近日點遠日點bacxyminrmaxr2)克卜勒行星第二運動定律:由太陽至一行星的連線,於相等時間中掃過相等面積。推論一:行星與太陽之間距離r的平方與其公轉角速度ω的乘積為一定值。即2r定值221()22Arr20021limlim212ttArttr面積證明掃描速率:定值定值。推論二:行星與太陽之間距離r與其公轉速度v滿足sinrv定值rv為與之間的夾角。1(sin)2Avtr001sinlimlim21sin2ttAvtrttrv面積掃描速率定值證明:定值。vtrθsinrrvθsminmaxrvrv近遠0minmax90vvrr近遠在近日點與遠日點時,因此如在近日點與遠日點時行星的速率分別為與,與太陽的距離分別為與,則3)克卜勒行星第三運動定律:行星與太陽的平均距離R的立方,與行星繞太陽週期T的平方之比值對各個行星皆相同。32RT定值(對不同的行星)軌道如為圓形,則R=圓的半徑。minmax2rrRa軌道如為橢圓形,則。例題:一衛星環繞一行星做橢圓形軌道之運動,設此衛星至行星最遠距離與最近距離之比為2:1,則相對應的角速度之比為________。[84日大]答案:1:4例題:已知土星繞太陽運轉之平均距離約為地球繞太陽運轉平均距離的10倍,則土星繞太陽一周需時__________年。[83.日大]1010答案:年。例題:海爾—波普慧星的週期約為2500年,則其與太陽的平均距離,為地球與太陽平均距離的多少倍?(A)2500(B)1665(C)615(D)185(E)50。[86.日大]註:這顆彗星是在一九九五年七月廿三日由兩位天文學家Hale和Bopp同時發現的。答案:D例題:繞太陽運轉的某彗星,其週期為64年,且近日點距太陽為2A.U.,則該彗星在近日點的速率與在遠日點的速率的比值為若干?答案:15例題:設一行星繞太陽在橢圓形軌道運行,其橢圓的長軸與短軸各為10R與8R,而太陽S至橢圓形軌道對稱中心O點之距離為3R,且行星在遠日點B之速率為v,則行星在C點之速率為何?答案:2v例題:行星繞日運行之橢圓軌道的離心率為e=0.5,則近日點與遠日點之軌道速率比為何?例題:上題,若近日點速率為v1,短軸端點速率為v2,則v1:v2=?3:1答案:2vs1vbcao60答案:3:1例題:設地球半徑為R,一太空船以軌道半徑3R的圓軌道環繞地球運轉,其週期為T。現太空船欲返回地球,可在其軌道上某點A將速率降低至某適當數值,然後使太空船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運行,此橢圓軌道與地表相切於B點,如圖。太空船由A至B需時________T。6T9答案:例題:已知某行星繞太陽之面積速率為A,當時與太陽的距離為r,則其繞太陽公轉的瞬時角速度為何?22答案:Ar例題:某行星在近日點時與太陽之連線距離為r,在單位時間內掃過之面積為A,則其軌道之瞬時速度大小為何?2答案:Ar例題:設行星繞日之軌道均為圓,由地球觀察某行星與太陽之最大夾角為30o,則(A)地球軌道半徑為R,該行星之軌道半徑為何?(B)該行星繞日之週期約為幾天?地日行30o答案:(A)0.5R。(B)約為129天例題:如右圖所示,甲、乙兩人造衛星以圓形軌道繞地球運轉,假設運行的軌道在同一平面上,且運行的方向相反。甲衛星發現每隔1∕9週期會與乙衛星相遇(即甲、乙兩衛星與地球恰在一直線上且在地球同側),若忽略甲、乙兩衛星間的作用力,則甲、乙兩衛星軌道半徑之比為何?(A)1:4(B)1:2(C)1:1(D)2:1(E)4:1。[95.指定科考]地球答案:E§6-2萬有引力定律122mmFGr1.萬有引力定律:任何兩質點之間存在一互相吸引之力,稱為萬有引力或重力。此力的大小與兩質點的質量成正比,與兩質點之間的距離平方成反比FFrm1m221126.6710()NmGkg萬有引力常數1798年,英國科學家卡文迪西利用兩對大小鉛球之間的萬有引力對連桿產生的力矩,在實驗室中準確的測出萬有引力常數G值。(a)卡文迪西的扭擺實驗裝置。(b)現今教學實驗室所使用的實驗裝置。利用所測出的G值,卡文迪西是第一位推算出地球質量與密度的科學家。推算過程如下:2262624112433636.378109.86.378105.97106.67105.97105.49(/)443.14(6.37810)33RMmGMmGMmggRRRgRMkgGMgcmR如地球的半徑為,質量為,則質量為的物體在地球表面所受到的重力為因此如知道地球的半徑(公尺),即可推算出地球的質量與密度例題:太空人乘坐火箭離開地球,當其體重減半時,火箭離地高度為地球半徑之幾倍?(2)1答案:R例題:某星球其平均質量密度與地球相同,半徑為地球之兩倍,在地球上重量為64公斤的人到該星球上時,其重量為:(A)16公斤(B)32公斤(C)128公斤(D)256公斤。[69.日大]答案:C1212122221112222121212121212221244:::::1:1rrmmAAArrArmmAArrFFGmmGmmFFrr如右圖,取過質點之一對稱角錐,兩錐面與質點的距離各為與,錐面的質量各為與,對應之面積為與。如角錐的立體角為,則;因此兩錐面對質點的吸引力與,即兩錐面對質點的吸引力證明:彼此相抵消。因此整個球殼對質點所產生的引力為零。牛頓的球殼定理:均勻薄球殼對球殼內的質點所產生的萬有引力為零r1r2m1m2例題:密度均勻,質量為M,半徑為R的球體對距離其球心為r,質量為m的質點,所產生的萬有引力為何?mrR3323rrrMMRGmMGmMrFrR距離球心大於部分的球殼對質點的吸引力為零。而半徑為的球體部分質量,此部份對質點的吸引力解:FrR質點受到均勻球體的吸引力F隨其與球心距離r的關係圖如右圖所示。例題:獨立系統中,密度均勻,質量M、半徑R之實心球,挖掉切過球面且半徑為R∕2的球體,如右圖所示,則在下列條件下,質量m之質點所受之引力若干?質點在(A)離球表面垂直距離R處之A點(B)球表面上之B點(C)球心O點(D)空球心C點。2RRRABOC223A)1(00解:GMmR217(B)18GMmR2(C)2GMmR2(D)2GMmR例題:從半徑為2R的均質球體,挖取半徑為R的小球後,再將小球置於大球的左側且與它相切(如圖),設挖出的小球質量為m,則兩者之萬有引力大小為22119Gm14R4答案:例題:假如我們可以由地球一端沿徑向挖地道,通過地球中心而到達另一端。忽略摩擦力並假設地球為均勻球體。則將物體由地道的一端釋放,試求物體到達另一端的時間。R3825g所需時間為答案:秒2.萬有引力的性質:•兩個具有體積的物體,其間的萬有引力須以積分的方法來計算,不一定可以看成是所有質量都集中在質心來計算。•一個均勻球體對外界物體所產生的吸引力,相當於球體的質量全部集中於球心處的質點所產生的吸引力。•均勻球殼對球殼內的質點所產生的萬有引力為零;對球殼外的質點所產生的吸引力,相當於球殼的質量全部集中於球心處的質點所產生的吸引力。3.牛頓對克卜勒定律的解釋:•第一定律的解釋:若行星受到太陽的引力遵守距離平方反比定律,且行星的力學能小於零,利用微積分可以證明行星的公轉軌道將會是以太陽為焦點的橢圓形軌道。•第二定律的解釋:牛頓指出,行星與太陽之間的引力為聯心力,由角動量守恆定律可證明行星與太陽的連線於相同的時間內將掃過相等的面積。•第三定律的解釋:行星的公轉如為圓形軌道,則第三定律的証明是容易的。太陽對行星的引力提供行星作圓周運動所需的向心力,因此22232244GMmRFmamRTRGMT定值mMR例題:如果重力定律中兩質點間引力的大小與其距離的n次方(n≠2)成反比,考慮一群以圓形軌道繞行恆星的行星,設各行星的週期與其軌道半徑的平方成正比,則n的值應為:(A)1(B)3/2(C)5/2(D)3。[74日大]mMr答案:D例題:假如兩顆行星以圓形軌道環繞太陽運行,軌道半徑比為1:4求(a)週期比;(b)軌道速率比;(c)角速率比;(d)向心加速度比。答案:(a)1:8;(b)2:1;(c)8:1;(d)16:1§6-3萬有引力定律的應用1.人造衛星:牛頓在其著作中曾討論人造衛星環繞地球的可能性。將物體在地球表面的高處以足夠大的水平初速發射,則其軌道可從通常落至地面的拋物線,轉變成環繞地球的圓形軌道,甚至橢圓形的軌道。人造衛星依其用途可分為軍事用途或作為全球衛星定位系統的地表衛星與通訊用途的同步衛星。牛頓在其原著中的插圖。22224GMmvrmammrrT2322GMgRvrrrrTGMRg解出人造衛星的軌道速率v與週期T人造衛星在圓形軌道上運轉所需的向心力,來自於地球對其萬有引力。因此令地球質量為M,半徑為R,則質量為m,在半徑為r的軌道上運轉的人造衛星滿足mMrR例題:若地表之g=10公尺∕秒2,地球半徑r=6.4×106公尺,則在地表上運行之人造衛星之週期為何?答案:5025秒例題:週期與地球自轉周期相等的衛星稱為同步衛星。同步衛星的軌道面如與地球的斥道面一致,則從地球上的人看來,衛星好像靜止在空中同一位置。試求同步衛星的軌道半徑。74.210約為答案:m例題:一顆人造衛星在地球表面上高度為R的圓週軌道上運行(R為地球半徑)。如果在此高度上的重力加速度為a,則此人造衛星的速率為________。(以R和a表示)[82.日大]2答案:vaR例題:地球半徑為R,距地心r處有一同步衛星。密度和地球相同之A星球半徑為2R,距其球心2r處亦有一同步衛星。則A星球之自轉週期應為幾日?mrRM2r2R8Mm答案:1日例題:在相距甚遠之A、B兩行星之表面各有一顆衛星a、b,測得衛星a、b分別繞行星A、B運轉的週期為Ta、Tb,則兩行星A、B的密度比ρa:ρb為何?答案:Tb2:Ta2例題:地球自轉週期大約變為若干秒
本文标题:万有引力定律
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