关于复变函数积分求解总结

关于求积分的各种方法的总结摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍.关键词：积分，解析，函数，曲线1.利用定义求积分例1、计算积分dzixyxc2，积分路径C是连接由0到i1的直线段.解：10xxy为从点0到点i1的直线方程，于是dzixyxc2iyxdixyxi102ixxdixxx102dxxii102131i.2.利用柯西积分定理求积分柯西积分定理：设zf在单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，则0dzzfc.柯西积分定理的等价形式：设C是一条周线，D为C之内部，zf在闭域CDD上解析，则0dzzfc.例2、求dzizzccos，其中C为圆周13iz，解：圆周C为13zz，被积函数的奇点为i，在C的外部，于是，izzcos在以C为边界的闭圆13iz上解析，故由柯西积分定理的等价形式得dzizzccos0.如果D为多连通区域，有如下定理：设D是由复周线nCCCCC210所构成的有界多连通区域，zf在D内解析，在CDD上连续，则0dzzfc.例3.计算积分6113zzzdz.分析：被积函数131zzzF在C上共有两个奇点0z和31z，在1z内作两个充分小圆周，将两个奇点挖掉，新区域的新边界就构成一个复周线，可应用上定理.解：显然，1331131zzzz任作以0z与以31z为心，充分小半径61r的圆周rz:1及rz31:2，将二奇点挖去，新边界构成复周线21C1:zC.2113131zzdzzzdzz211313zzdzzzdz2211133133zdzzdzzdzzdz22113131zdzzdzzdzzdz0.3.利用柯西积分公式求积分设区域D的边界是周线或复周线C，函数zf在D内解析，在CDD上连续，则有dzfizfc21Dz，即zifdzfc2.例4.计算积分dzzzzc1122的值，其中2:zC解：因为zf122zz在2z上解析，21zz，由柯西积分公式得122112222zzidzzzzz.设区域D的边界是周线或复周线C，函数zf在D内解析，在CDD上连续，则函数zf在区域D内有各阶导数，并且有dzfinzfcnn12!Dz2,1n即zfnidzfncn!21.例5.计算积分dzizzc3cos，其中C是绕i一周的周线.解：因为zcos在z平面上解析，所以izczidzizz|cos!22cos3iicosiee21.例6.求积分dc192，其中C为圆周2.解：dc192dic295另外,若a为周线C内部一点，则cazdzi20cnazdz（1n，且n为整数）.4.应用留数定理求复积分zf在复周线或周线C所围的区域D内，除naaa,,21外解析，在闭域CDD上除naaa,,21外连续，则zfsidzzfnkazck1Re2.设a为zf的n阶极点，zfnazz，其中z在点a解析，0a，则!1Re1nazfsnaz.例7.计算积分dzzzzz22125解：被积函数zf2125zzz在圆周2z的内部只有一阶极点0z及1z，2|225Re020zzzzzfs2|2|25Re1211zzzzzzzfs因此，由留数定理可得dzzzzz221250222i.例8.计算积分dzzzz13cos.解：zf3coszz只以0z为三阶极点，21cos!21Re00zzzzfs由留数定理得dzzzz13cosii212.5.用留数定理计算实积分某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积分.5.1计算dR20sin,cos型积分令iez，则2cos1zz，izz2sin1，izdzd，此时有dR20sin,cosizdzizzzzRz1112,2.例9.20cosad1a解：令iez，则121coszz，izdzd，12zzzdziI，其中12aa，12aa，1,1,1，应用留数定理得122aI.若sin,cosR为的偶函数，则dR0sin,cos之值亦可用上述方法求之，因为此时dR0sin,cosdRsin,cos21，仍然令iez.例10.计算dia0tan（a为实数且0a）分析：因为111tan22aiiaiieeiia，直接令zeaii2，则idedzaii22，于是111tanzziia.解：dzzzzdzizzziIcc112121111应用留数定理，当0a时，iI当0a时，iI.5.2计算dxxQxP型积分例11.计算42432xdxx.解：函数42432zzzf在上半平面内只有iz32一个四阶极点，令ai32，taz则43224zzzf44443azazz444423attat43223433223444824321646431tattaaatattataat224432816131atatt343231Reazfsaz即6576323231Re3432iizfsiz故42432xdxxi26576i6288.