结构动力学问题的有限元法

第6章工程振动中的数值方法结构动力学问题的有限元法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY1概述2结构动态特性分析3有限元方法简介第6章工程振动中的数值方法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY1概述数值分析技术为结构的动态分析提供了有力的保障，为工程结构在各种复杂的动力学环境下的模拟和仿真提供了有效工具。工程结构的动态分析主要包括两个方面：结构的动态特性分析和结构动态响应分析。第6章工程振动中的数值方法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY2结构动态特性分析2.1特征值问题的性质结构无阻尼自由振动方程0xxKM将简谐运动)sin(tx代入上式可得MK0)(2MK或写成其中，；K，M分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵。2（1）（2）（3）（4）第6章工程振动中的数值方法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY特征系统的一些基本特性。（1）如果K和M都对称，且至少有一个矩阵正定，则特征值一定是实数，而特征向量也可以是实向量。如果M正定，并且K为正定或半正定，则所有特征值都是正的实数。第6章工程振动中的数值方法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY（2）特征向量（或模态向量）关于质量矩阵M和刚度矩阵K正交，即：)(0)(}{}{TjijimiijiM)(0)(}{}{TjijikiijiK在式中将特征向量归一化，即：MK（5）（6）第6章工程振动中的数值方法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY上式称为归一化特征向量。)(0)(1}{}{TjijijiM)(0)(}{}{TjijiijiK}{1}{iiiim则式（5），（6）有（7）（8）（9）第6章工程振动中的数值方法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY(3)Rayleigh商和特征值的极大极小性质定义：xxxxxRMKTT)(对于任意{x}有maxmin)(xR得到第i阶特征值xxxxTTiMKminmax由式（8）和（9）可以看出，当｛x｝为系统的某阶特征向量时，则有}{}{}{}{})({iiiTiiiMKR（10）（11）（12）第6章工程振动中的数值方法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY(4)特征值的移轴性质式（4）两边分别减去M，则有另一等价形式：或写为MMK)(}){(MK式中MKK式（4）和式（15）有相同的特征向量，但特征值相差μ，即：（14）（15）（16）第6章工程振动中的数值方法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY(5)特征值的分隔性质1iiMKKKDLLT作移轴，并将作三角分解。则对角矩阵D中有i个负元素。如果有第6章工程振动中的数值方法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY(6)位移展开定理以上讨论的是广义特征值问题的一些基本特性，深入理解这些性质，对于求解特征值问题很有帮助。对于n维空间中的任意向量｛x｝都可以按模态矩阵Φ展开：nqqqqΦxn2211系数q可按下式确定：),,1(nixqMTii（17）（18）第6章工程振动中的数值方法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY2.2迭代法任意选取适当的初始向量{x1}，按迭代格式)1,2,(}{}{1kxxkkMK则向量序列{x1}{x2}将收敛于相应的特征向量。向量迭代法又称幂法，它既可用于标准特征值问题，也可用于广义特征值问题。它不仅适合于对称矩阵，也适合于非对称矩阵。（19）第6章工程振动中的数值方法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY对任意向量}{}{11iniix则：}{)1(}{}{111iiniiiniiKMMx按迭代格式式（19）有}){1(}{}{1112iiniiMKxx则：}{)()1(}{)1(}{11111ikiniikikiniikx由于当k增大时，｛xk+1｝可能会变得很大或很小，因此，在迭代过程中，需要将迭代向量规一化211111}){}({}{}{kTkkkxMxxx（20）（21）（22）（23）（24）第6章工程振动中的数值方法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY迭代法的迭代过程是自校正的。迭代向量中的误差只能延迟收敛，而不会破坏收敛性。根据特征值的移轴性质可以构造带移轴的向量迭代方法。只要选取合适的移轴量，就可以既使迭代收敛到所需要的特征对，又可以加快收敛速度。第6章工程振动中的数值方法北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY在广义特征值问题中，质量矩阵M是对称正定，则一定存在非奇异矩阵2.3变换法1.广义特征值问题化为标准特征值问题可得到标准特征值问题K所以TSSKTS在上式中，前乘S-1，并令则有TKSS1TKSSK1式中（25）（26）（27）（28）第6章工程振动中的数值方法2.标准特征值问题的变换法标准特征值问题常用的变换法有雅可比方法（Jacobi）、Givens方法、Householder方法，在一般的矩阵代数教材中均有详细叙述，在此我们只对雅可比方法简要介绍。kR考察标准特征值问题A在经过k次变换后，有1,2,3,1kkkkTkRARA6.2结构动态特性分析（29）北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY第6章工程振动中的数值方法kR行行列列1cossinsincos1jiRjik雅可比方法的思想是经过多次旋转正交变换使矩阵对角化，对应的正交矩阵为6.2结构动态特性分析（30）北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY第6章工程振动中的数值方法kR当)()(kjjkiiaa则)()()(22tankjjkiikijaaa4当)()(kjjkiiaa则4，符号取决于)(kija的符号。当k时，矩阵A趋向于对角阵。6.2结构动态特性分析（31）北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY第6章工程振动中的数值方法如果对广义特征值问题中的刚度矩阵K和质量矩阵M同时用雅可比方法作变换，得到矩阵M、矩阵K共同的主轴，则这种方法称为广义雅可比方法。Givens方法与雅可比方法类似，也是进行坐标旋转变换，但它不是把实对称矩阵A对角化，而只是三对角化。Householdes方法也是一种将实对称矩阵化为三对角阵的方法。6.2结构动态特性分析北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY第6章工程振动中的数值方法2.4Sturm序列二分法对于给定的对称三对角矩阵nnncbbcbbcbbc113222111K把矩阵三对角化后，还需要求解三对角矩阵的特征值问题。三对角矩阵求特征值比一般矩阵要容易得多，常用的方法有QR方法和Sturm序列二分法。对于标准特征值问题的三对角矩阵，则常采用Sturm序列的二分法。通常，用Householder法和Lanczos法将标准特征值问题转化为三对角矩阵。6.2结构动态特性分析（32）北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY第6章工程振动中的数值方法其特征值的行列式为λcbbλcbbλcbbλcn1n1n3222111)det(IK定义其零阶主子式10p6.2结构动态特性分析（33）（34）北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY第6章工程振动中的数值方法以后的各阶主子式为),,4,3,2()())((221121122111211nrpbpcpbcccbbcpcprrrrrp0,p1,p2,…，pn构成一个多项式序列，它是Sturm序列。6.2结构动态特性分析（35）北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY第6章工程振动中的数值方法2.5大、中型特征值问题的求解方法1.Rayleigh-Ritz分析在实际问题中，人们最关心的不是全部特征对，而只是其中的一小部分，例如，最低的前q阶（qn）特征对。在这种情况下，可以用一种近似的有效方法，将n阶广义特征值问题化为q阶广义特征值问题，这就是Rayleigh-RitZ分析法，或称为Ritz变换法。6.2结构动态特性分析北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY第6章工程振动中的数值方法}{}{}{}{min})({minmin1xxxxxRTTMK若要求系统的前p阶特征对，则先选取q≥p个线性无关的向量｛yi｝，i＝1，2，…，q，令｛x｝为这些向量的线性组合，有}{}{}{}{}{}{12211qiiiqqYyyyyx由式（10）得}{}{}{}{}{}{}{}{})({MYYKYYMKTTTTTTxxxxxR由Rayleigh商性质，从式（13），有6.2结构动态特性分析（36）（37）（38）北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY第6章工程振动中的数值方法}{}{}{}{})({MKRTTx在极小化过程中，R(｛x｝)取极小的必要条件是}0{}{})({xR利用二次型对向量求偏导的法则，得：}0{}{}){}({2}{}){}({2MKKMTT即}{}{}{}{}{}{MMKKTT若记K*=YTKY，M*=YTMY，则6.2结构动态特性分析（39）（40）（41）北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY第6章工程振动中的数值方法}{}{MK同时，还可得到q个子空间的特征向量),1,2,(}{}{1qiyxqjjiji在这个分析中，计算出的特征值近似值是取上界，即：qq,,,2211由式（39），则上式变为式中K*和M*都是q×p阶矩阵，｛α｝是Ritz坐标向量，式（42）就是｛α｝应满足的方程。6.2结构动态特性分析（42）（43）（44）北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY第6章工程振动中的数值方法2.子空间迭代法子空间迭代法是求解大型特征值问题低阶特征对的有效方法。它实质上是Rayleigh-Ritz方法和同时逆迭代方法的组合。用同时逆迭代中的初始向量组作为Ritz基向量，利用Rayleigh-Ritz法在子空间中求解低阶广义特征值问题，再用子空间中的特征向量作为Ritz基的坐标，得到一组新的Ritz基向量，即迭代向量。6.2结构动态特性分析北京林业大学BEIJINGFORESTRYUNIVERSITY第6章工程振动中的数值方法为了避免丢根，如果计算p个特征对，则选取q个初始迭代向量，这里q大于p，它们构成n×q阶矩阵Xi，第k步的迭代式为下面简要介绍子空间迭代的基本步骤。k1k__MXXK,2,1k形成子空间投影矩阵1__1__1kTkkXKXK求解子空间特征系统11111