反证法课件

2.2.2直接证明与间接证明-反证法直接证明综合法(顺推法)分析法(逆推法)将9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？引例1：间接证明：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法。证明：如果ab0，那么ab证：假设ab不成立，则a≤b若a=b，则a=b,与已知ab矛盾,若ab，则ab,与已知ab矛盾,故假设不成立，结论ab成立。引例2经过正确的推理，一般地，假设原命题不成立，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。其步骤：反设——假设命题的结论不成立；存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；反证法是一种常用的间接证明的方法。归缪矛盾：（1）与已知条件矛盾；（2）与假设矛盾（3）与已有公理、定理、定义矛盾；（4）与客观事实矛盾。P89思考题.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.求证：弦AB、CD不被P平分.POBADC例1由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有所以，弦AB、CD不被P平分。证明：假设弦AB、CD被P平分，即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立OP⊥AB，OP⊥CD，证明：假设结论不成立,则∠B是_____或______.当∠B是_____时，则_____________这与____________________________矛盾；当∠B是_____时，则______________这与____________________________矛盾；综上所述,假设不成立.∴∠B一定是锐角.直角钝角直角∠B+∠C=180°三角形的三个内角和等于180°钝角∠B+∠C＞180°三角形的三个内角和等于180°1、证明：在中，若是直角，则一定是锐角。ABCBC说明：常用的正面叙述词语及其否定：正面词语等于大于（）小于()是都是只有一个否定没有或至少有两个正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个否定不等于小于或等于（≤）大于或等于（≥）不是不都是至少有两个一个也没有某个某些至少有n＋1个某两个应用反证法的情形：(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论．（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”---类命题；（4）结论为“唯一”类命题；例2求证：是无理数。2证：假设2是有理数，m则存在互质的整数m，n使得2=，n∴m=2n22∴m=2n2∴m是偶数，从而m必是偶数，故设m=2k（k∈N）2222从而有4k=2n，即n=2k2∴n也是偶数，这与m，n互质矛盾！假设不成立，故是无理数。2练习、已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只有一个根。证：假设方程ax+b=0(a≠0)至少存在两个根，1212不妨设其中的两根分别为x，x且x≠x12则ax=b，ax=b12∴ax=ax12∴ax-ax=012∴a（x-x）=01212∵x≠x，x-x≠0∴a=0与已知a≠0矛盾,故假设不成立，结论成立。[证明]假设a，b，c三个数均不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，又a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－30.与假设矛盾，所以假设不成立．故原命题成立．即a，b，c至少有一个大于0.例3.若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c至少有一个大于0.提升训练一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论相反判断，即假设②原命题的结论③公理、定理、定义等④原命题的条件A．①④B．①②③C．①③④D．②③[答案]C[解析]由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C.2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A．两个内角是直角B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角[答案]C[解析]“最多只有一个”即为“至多一个”，反设应为“至少有两个”，故应选C.3．如果两个实数之和为正数，则这两个数()A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数[答案]C[解析]假设两个数都是负数，则两个数之和为负数，与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.证明：假设两个数都不小于2，则4.xy02.1x12.yxyyx已知，，且试证：，中至少有一个小于112,20,012,xyyxxyxy12yx22()2xyxyxy所以两式相加得整理得因为与已知矛盾2xy1x12.yyx所以，中至少有一个小于1．反证法假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型在反证法中，经过正确的推理后“得出矛盾”，所得矛盾主要是指与矛盾，与、、、或矛盾，与矛盾．不成立假设错误原命题成立已知条件数学公理定理公式定义已被证明了的结论公认的简单事实方法小结：反证法证明命题的一般步骤如下:1.假设结论的反面成立;2.由这个假设．．出发,经过正确的推理,导出矛盾;3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确.推理过程中一定要用到才行显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).反设归谬结论运用好反证法的另一个关键是正确对结论进行否定原结论词大于（）小于（）都是都不是至少n个至多n个反设词不大于（≤）不小于（≥）不都是至少有一个是至多n-1个至少n+1个原结论词有无穷多个存在唯一的对任意p，使…恒成立反设词只有有限多个不存在或至少存在两个至少有一个p，使…不成立推理合情推理演绎推理（归纳、类比）（三段论）证明直接证明间接证明（分析法、综合法）（反证法）数学—公理化思想练习求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明]假设结论不成立，即有两种可能：无交点；不只有一个交点．(1)若直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾；(2)若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．故假设不成立，原命题正确．