5.4阻抗与导纳及其等效变换

5．4阻抗与导纳及其等效变换一、阻抗1．阻抗的定义及表示形式如下图(a)所示的单口无源线性两端网络N0，设端口电压为2sin()uuUt，对应的相量.uUU=∠，端口电流为2sin()iiIt，对应的相量.iII。则其端口电压相量与电流相量之比定义为该网络的阻抗Z，即..()uiUUZZII由上式可得uiUZI说明：（1）Z是一个复数，所以又称为复阻抗，Z是阻抗的模，为阻抗角，它是电压与电流的相位差。复阻抗的图形符号与电阻的图形符号相似，如上图(b)所示。复阻抗的单位为Ω。（2）阻抗Z用代数形式表示时，可写为：jZRXR：Z的实部，称为阻抗的电阻分量，单位：Ω，R一般为正值；X：Z的虚部，称为阻抗的电抗分量，单位：Ω，X的值可能为正，亦可能为负。阻抗的代数形式与极坐标形式之间的互换公式：22arctanZRXXRcossinRZXZ由阻抗Z的代数形式可知，由于R一般为正值，所以有π2，且R、X和Z三者之间的关系可用一个直角三角形表示，如上图（c）所示。2．阻抗的性质由于阻抗ZZ而arctanXR，电路结构、参数或频率不同时，阻抗角可能会出现三种情况：（1）0（即0X）时，称阻抗的性质为感性，电路为感性电路；（2）0（即0X）时，称阻抗性质为电阻性，电路为阻性电路；（3）0（即0X）时，称阻抗性质为容性，电路为容性电路。3．单口无源网络的串联等效电路由.......RX(j)jUZIRXIRIXIUU，可知.RU与.I同相位，.XU与.I相差π2。这样单口无源网络就可以用R与jX的串联电路模型表示，如下图（a）所示。图（b）和（c）分别是0X和0X时，以.I为参考相量时的电路的相量图。由相量图可知，.RU、.XU和.U构成一个直角三角形，该三角形称为电压相量三角形，它与阻抗三角形是相似形。当单口无源网络用串联电路模型等效时，对应于不同性质的阻抗，其等效电路分别如下图（a）、（b）、（c）所示。例5-11有一个电感线圈，其电阻15RΩ，电感25mHL，将此线圈与5μFC的电容串联后，接到端电压1002sin5000utV的电源上，求电路中电流i和各元件上的电压Ru、Lu和Cu，并判断电路的性质，画出相量图。解由题意画出电路的相量模型，标出电压、电流参考方向，如上图（a）所示。由于........jj[j()]RLCLCLCUUUURIXIXIRXXI所以RLC串联电路阻抗为..j()jLCUZRXXRXI其中LCXXX500025125LXL-3××10Ω114050005CXC-6××10Ω15j125j4015j85=86.3180Z∠˚Ω..10001.168086.3180UIZ∠˚∠-˚∠˚A各元件上的电压相量..151.168017.480VRURI˚˚..jj1251.16800VLLUXI×∠-˚=145∠1˚..jj401.168046.4170VCCUXI×∠-˚=-˚瞬时值表达式分别为1.162sin(500080)Ait˚17.42sin(500080)VRut˚1452sin(500010)VLut˚46.42sin(5000170)VCut˚由80˚可知电压u超前i80˚，电路呈感性。由....RLCUUUU可画出相量图，如上图（b）所示。二、导纳阻抗Z的倒数定义为导纳Y。对于无源线性单口网络，有..1iuIIYYZUU其中：Y的模Y称为导纳模，它的辐角′称为导纳角，它是电流与电压的相位差。Y单位为西门子，用“S”表示。iuIYU导纳Y的代数形式为jYGB其中：Y的实部G称为电导，虚部B称为电纳，它们的单位都是西门子，G一般为正值，而B的值可能为正亦可能为负。导纳的直角坐标形式和极坐标形式互换公式为22arctanYGBBGcossinGYBY由定义式可知，因此，当0时，表示电流i超前u电压，电路为容性电路；若0，则表示电流i滞后电压u，电路为感性电路；若0，表示电流i与电压u同相量位，电路为阻性电路。由导纳定义式可知，单一元件R、L、C的导纳分别为1RYGR11jjjLLLYBXL1jjjCCCYCBX其中，1GR称为电阻的电导，11LLBXL叫做感纳，1CCBCX叫做容纳，三者单位均为西门子（S）。例5-12在RLC并联电路中，40RΩ，15LXΩ，30CXΩ，接到电压为1202sin(100π30)Vut˚的电源上，求电路的总电流、总阻抗和总导纳。解由题意可画出其电路图，并标出参考方向，如右图所示。..12030330A40RUIR˚˚..12030860Ajj15LLUIX˚˚..120304120Ajj30CCUIX˚˚....RLCIIII3308604120523.1A˚-˚˚-˚..12030243.153.1UZI∠˚∠5˚∠-2˚Ω10.041753.1YZ∠-˚S24ZΩ，0.0417SY三、阻抗与导纳的等效变换1．将阻抗等效为导纳如下图（a）所示为电阻R与电抗X串联组成的阻抗Z，即jZRX。图（b）所示为电导G与电纳B组成的导纳Y，即jYGB，根据等效的含义：两个二端网络如端口处具有完全相同的电压和电流关系时，二者便是互为等效的。则22222211jjjjRXRXYGBZRXRXRXRX可得由阻抗等效为导纳的参数条件为：22222RGRXXBRX2．将复导纳等效为复阻抗与上类似，同样如图（a）、（b）所示其端电压和电流保持不变时，由22222211jjjjGBGBZRXYGBGBGBGG所以22222GRGBBXGB上式就是由导纳等效变换为阻抗的参数条件。四、阻抗与导纳的等效变换由于相量形式的KCL、KVL和欧姆定律与三定律在电阻电路中的表现形式相似，因此，将电阻电路中的u、i、R、G分别用.U、.I、Z、Y替换后电阻电路等效变换的方法都可以使用。（1）单口无源网络中各阻抗为串联时，等效阻抗为1nkkZZ两个阻抗串联时的分压公式为..1112..2212ZUUZZZUUZZ（2）单口无源网络中各导纳并联时，等效导纳为1nkkYY或111nkkZZ两个阻抗并联时，等效阻抗为1212ZZZZZ分流公式为..2112..1212ZIIZZZIIZZ（3）三端无源网络为星形或三角形连接时，等效变换公式为：①已知星形（Y）电路，求等效的三角形（△）电路122331123122331231122331312ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ②已知三角形（△）电路，求等效的星形（Y）电路311211223311223212233123313122331ZZZZZZZZZZZZZZZZZZ在使用以上公式时应注意：a．一般来讲，以上各公式中的阻抗和导纳用各自的模表示时，各等式不成立。如123nZZZZZ…。b．和电阻电路中的分压、分流公式相同，式（5-34）和式（5-38）在使用时，要注意符号与参考方向的关系。例5-13如下图所示电路中，已知电源的角频率为rad/s。若电流超前电压的角度为arctan2，求电阻R。解本题的相量模型图如图（b）所示，因三元件是串联，且414LXL×Ω1151420CXCΩ×则其总阻抗jjj4j5jLCZRXXRR由于电流超前电压的角度为arctan2，则arctan2，即有1tan2,0.5RR例5-14已知图（a）所示电路中，S22sinVut，求2u。解电路的相量模型如上图（b）所示2(j4)(1.6j0.8)2(j4)RCZ由分压公式得..2S1.6j0.820j0.5j0.5(1.6j0.8)2.215.94VRCRCZUUZ˚=∠-˚22.22sin(15.94)Vut˚