数形结合在解题中的应用(精版)

1数形结合在解题中的应用目录第一章引言.................................................................2第二章数形结合在解题中的应用...............................................32.1数形结合在集合中的应用..............................................32.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题............................32.1.2利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题....................32.2数形结合在解析几何中的应用..........................................42.2.1与斜率有关的问题..............................................52.2.2与距离有关的问题..............................................52.2.3与截距有关的问题..............................................72.2.4与定义有关的问题..............................................72.3数形结合在函数中的应用..............................................92.3.1利用数形结合解决与方程的根有关的问题.........................92.3.2利用数形结合解决函数的单调性问题.............................92.3.3利用数形结合解决比较数值大小的问题..........................102.3.4利用数形结合解决抽象函数问题................................112.4、数形结合在不等式中的应用...........................................122.4.1求参数的取值范围...........................................122.4.2解不等式...................................................132.5数形结合在解三角函数中的应用.......................................142.6数形结合在复数中的应用.............................................16第三章数形结合在高等数学中的应用..........................................173.1数形结合在数学分析中的应用.........................................173.3.1用数形结合求定义域............................................173.1.2微积分中的解题应用数形结合....................................183.2数形结合在常微分方程中的应用.......................................193.3数形结合在概率论中的应用...........................................21第四章利用数形结合思想解题需要注意的问题..................................22第五章结论与展望..........................................................22【参考文献】............................................................232数形结合在解题中的应用摘要：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合起来使抽象思维和形象思维结合。运用数形结合的思想方法，既可以使很多代数问题的解决简捷明了，也可以大大开拓我们的解题思路。本文主要通过一些例题讲解数形结合的思想在初等数学即集合、解析几何、函数、三角函数、不等式、复数以及高等数学中的相关应用。关键字：数形结合应用初等数学高等数学第一章引言数与形是数学研究（尤其是中学数学研究）的两类基本对象，相互独立又互相渗透。在坐标系建立以后，数与形的结合更为紧密。而且，在实际应用中，若就数论数，便缺乏直观性；若就形论形，便缺乏严密性。而二者结合往往可优势互补，得到事半功倍的效果。通过数到形结合的研究对数学思维品质的培养大有帮助。数形结合，就是据数学问题的条件和结论间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙地结合，再充分利用这种结合寻找解题思路，解决问题的数学思想方法。数形结合的思想既是数学的本质之一，也是数学教学的精髓，可以融合、贯穿在课堂教学教程中。我们可以利用数形结合引入新知，建构概念，提出问题，解决问题，利用数学思想、数学方法去激发学生的学习兴趣，提高其数学能力，同时也为学生以后的学习和工作打下坚实基础。很多时候，数形结合能使数量之间的联系变得直观，在分析问题时，注意把数和形结合起来，由问题的具体情形，把数量关系问题化为图形问题，或把图形问题化为数量关系问题，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，化繁为简、化难为易。高考考试说明中明确指出：数形结合的思想方法是学生必须掌握的思想方法之一。历年的高考试题中,充分体现了数形结合的应用。在我们的大学数学中，也有很多关于数形结合的思想在解题中的应用，比如高等数学里面的微积分、数学分析中的求面积、求体积的问题，概率统计以及常微分方程等都有运用到数形结合，由此可见数形结合的思想贯穿整个数学研究。后面我们从集合、解析几何、函数、不等式、三角函数、复数5个方面谈数形结合在初等数学解题中应用。从3数学分析、概率论、常微分方程来谈数形结合在高等数学中的应用。第二章数形结合在解题中的应用2.1数形结合在集合中的应用2.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般我们用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．若利用韦恩图法则能直观地解答有关集合之间的关系的问题．例如：例1.有45名学生，要求每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化小组的人数分别为27，24，14，同时参加理、数小组的8人，同时参加化、数小组的6人，同时参加化、数小组的7人，问：同时参加数、理、化小组的有多少人【分析】我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分表示同时参加数理化小组的人数．用card表示集合中元素的个数，则有：45)()()()()()()(CBAcardCBcardCAcardBAcardCcardBcardAcard即：45)(768142427CBAcard∴1)(CBAcard，即同时参加数理化小组的有1人．图12.1.2利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题当两个集合的解集是不等式形式时，要求其交集或并集，常借助于数轴，把C（化）A（数）B（理）4不等式的解集在数轴上表示出来，通过数轴便可直观的观察它们的交集或并集。例如：例2.已知集合)(,3|,62|RaaxaxBxxA(1)若BA，求a的范围.(2)若AB，求a的范围．解：在数轴上表示出集合A，要使BA，则集合B应该覆盖集合A，从而有:632aa,此时a值不存在（图2）(1)(2)图2（2）要使AB，当a0时，集合A应该覆盖集合B,则有0632aaa成立，即20a。当0a时,B,AB显然成立.故AB时的取值范围为：2a.（图2(2)）通过上面的例子我们可以知道，一般对于比较复杂的集合运算题、涉及到求一些参数取值、取值范围的题我们都可以用数形结合的方法求解.2.2数形结合在解析几何中的应用解析几何问题通常综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，深受出题者喜爱，求解过程中常通过数形结合的思想把抽象的数学语言和直观的几何图形相结合起来，达到研究与解决问题的目的.。a3a。3a－263a3a3a。。－26a3a52.2.1与斜率有关的问题例1.已知一有向线段PQ，其中起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶my+x+m=0与有向线段PQ延长线相交，求实数m的取值范围.【分析】本题将直线l的方程是化为点斜式方程后，可看出其和斜率为-、与Y轴的交点为M（0，-1）.结合图形可求出斜率的取值范围.解：直线l的方程my+x+m=0可化为点斜式：y+1=-（x-0），易知直线l过定点M（0，-1），且斜率为-.∵l与PQ的延长线相交，由图像可得：当过M且与PQ平行时，直线l的斜率趋于最小；当过点M、Q时，直线l的斜率趋于最大.这个题看上去是一个动直线与定直线的问题，但是通过转化，问题变得简单了，直线过定点，于是便转化成与斜率相关的问题，再通过数形结合，这类题便迎刃而解了。一般在确定区间、确定域（线性规划问题中表现比较明显）求斜率的问题都可以利用数形结合思想求解。2.2.2与距离有关的问题例2.求：y=（sinθ-sinα-2）2+（cosθ-cosα+3）2的最大（小）值.【分析】此可看成求两动点P（cosα-3，sinα+2）与Q（cosθ，sinθ）之间距离的最值问题.距离最值的平方便是y的最值。解：经分析可得，两动点的轨迹方程分别为：x2+y2=1和（x+3）2+（y-2）2=1，转化为求两曲线上两动点之间距离的最值问题.如下图：6所以13417maxy13417miny例3.已知P为直线01634yx上的动点，PBPA,是曲线014422yxyx的两条切线，BA,为切点，C为圆心，求四边形PACB面积的最小值。解：圆的方程可转化为9)2()2(22yx.可知圆心为（2，2），半径为3.121222PCPBBCPBSSPBCPACB要使面积最小，只需PC最小，即求定点C到定直线上动点P最小距离即点C)2,2(到直线01634yx的距离，而63416242322d3516)(2minPACBS对于例2看上去是一个参数函数的值域问题，若直接把它当作函数处理，便麻烦了，但若把问题转化一下，转化成两个点的关系，很容易想到圆的参数方程，于是整个问题便转化成了定圆之间的最大距离与最小距离的问题，结合图像，可以很直观的得到答案。例3，这道题直接求解较难，如能联想点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则更简洁。所以在平时求解的过程中一定要注意转化，利用图像解决问题，使问题简单化。72.2.3与截距有关的问题例4.若直线y=x+m与曲线21yx恰有一个公共点，求m的取值范围.解：易知曲线21yx为单位圆x2+y2=1的右半圆)0(x，m是直线y=x+m在y轴上的截距.由数形结合知：当直线与曲线相切时，直线与曲线有一个交点，此时2m，结合图形可知：当11m也满足条件.综上：m的取值范围是：2m或11m这道题很直观的看出所要求解的m为直线y=x+m在y轴上的截距，曲线为右半圆，结合图像便可求解。一般对于斜率确定求截距的取值范围的问题我们都可以用数形结合的方法。变式：若直线y=x+n与曲线21yx恰有两个交点，求n的取值范围.解：由例4可知，n的取值范围为：12n.2.2.4与定义有关的问题例5.求抛物线42yx上到焦点F的距离与到点A（2，2）的距离之和最小的点P的坐标，并求出最小值.【分析】要求||||P