初中数学中点到直线的距离的求法

天问数学1初中数学中点到直线的距离的求法——从一道双语初三数学月考题谈起天问数学杨星首先我们看2013年长郡双语初三第一次月考的一道压轴题试题：如图，抛物线923212xxy与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．先看这道题的几何解法：解：（1）在923212xxy中，令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；令y=0，即0923212xx解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）.∴AB=9，OC=9.（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴2AEDABCSAESAB，即：2sm19992.∴s=12m2（0＜m＜9）.（3）∵S△AEC=12AE•OC=92m，S△AED=s=12m2，∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣12m2+92m=﹣12（m﹣92）2+818.∴△CDE的最大面积为818，此时，AE=m=92，BE=AB﹣AE=92，又22BC6+9=313，天问数学2过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：EFBEOCBC，即：9EF29313.∴27EF1326，∴以E点为圆心且与BC相切的圆的面积S⊙E=π•EF2=72952.其次介绍这道题的其他解法，我们要用到以下的结论：引理：设两条不同的直线1l：11bxky，2l：22bxky.则：（1）2121kkll∥，21bb；（2）12121kkll.证明：（1）我们知道1l：11bxky，2l：22bxky的交点坐标为方程组2211bxkybxky的解，两试相减得2121)(0bbxkk，即1221)(bbxkk21ll∥1l与2l无交点（在同一平面内），方程组无解，方程无解，001221bbkk，2121bbkk且.（2）为了证明的简化，我们可以将直线1l，2l平移到原点，得到'1l：xky1，'2l：xky2故只需证明121'2'1kkll事实上，在'1l，'2l上分别取),(22yxA，),(11yxB，则111xky，222xky以上两式相乘，得：212121xxkkyy.1'l2'l天问数学3222BOAOAB另一方面，连接AB，则有2212212)()(yyxxAB21212yxBO22222yxAO由勾股定理，,02222)()(212121212222212121222121222122222121221221xxyyyyxxyxyxyyyyxxxxyxyxyyxx由式得，121kk.下面我介绍试题其他解法：一、关于第（2）问中S的表达式△ADE的底AE=m，高为D点纵坐标的绝对值，故求D点的坐标，又D点是直线l与直线AC的交点.故求直线l与直线AC的解析式（可用m表示）.这里涉及的是点到坐标轴的距离.由第（1）问，A（﹣3，0），C（0，﹣9），B（6，0），)0,3(mE，易知直线AC：93xy，直线BC：923xy，直线l平行BC，设l：pxy23，又过)0,3(mE，得l：)3(2323mxy解方程组)3(232393mxyxy得),39(mmD，故△ADE的高是m)0(m，∴s=12m2（0＜m＜9）.1'l2'l天问数学4二、关于第（3）问中圆的面积题目的本质是求点E到直线CB的距离.我们有以下三种思路.思路一：定义法.过点E作直线CB的垂线EF交直线CB于F，E到直线CB的距离即是垂线段EF的长度.这就把求点到直线的距离，转化成点点的距离，关键是求点F的坐标.同样转化成求直线EF与直线CB的交点，而求直线EF就用到了12121kkll，具体解法如下：易知C（0，﹣9），B（6，0），E（23，0）.用待定系数法可得直线CB的解析式：923xy，设直线EF为bkxy，CBEF则123k，32k则bxy32，又直线过E（23，0），代入得1b直线CB：132xy由方程组923132xyxy得F)1327,1360(,由两点间的距离公式可得27EF1326.思路二：面积法.点E到直线CB的距离，即是CBE中，CB边上的高EF.由C（0，﹣9），B（6，0），E（23，0），1176922BC，29236EB，9OCEFCBOCEBSCBE2121132627EF思路三：最值法.点E到直线CB的距离就是E点到直线CB上任意一点距离的最小值.设M为直线CB：923xy上的任意一点，则可设)923,(mmM，又E（23，0）则E到直线CB的距离为EM的最小值5272952729)1360(413)923()23(2222mmmEM等号成立当且仅当1360m，52729)(min2EM，此时CBEM.M天问数学5当然利用点到直线的距离公式可直接求出EF.而点到直线的距离公式是高中解析几何的内容，即已知点00(,)Pxy直线:0(0,0)lAxByCAB（A、B、C是常数，A、B不同时为零），则点P到直线l的距离2200BACByAxd.这个知识点，双语初三近期数学考试作为阅读材料题考了.这个公式有多种推导方法，读者可以用以上的三种思路推导，其中最值法较为简洁.附：长郡双语近期初三数学测试压轴题试题：（10分）阅读下列材料：我们知道，一次函数bkxy的图像是一条直线，而bkxy经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：0CByAx（A、B、C是常数，A、B不同时为零）.如图1，点),(nmP到直线l：0CByAx的距离d计算公式是：22BACBnAmd.例：求点)2,1(P到直线61125xy的距离d时，先将61125xy化为02125yx，再由上面的距离公式求得：1321)12(5)2(2)12(1522d.解答下列问题：如图2，已知直线434xy与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线542xxy上的一点)2,3(M.（1）求点M到直线AB的距离.（2）抛物线上是否存在点P，使得PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由.图2