平面向量的概念及线性运算

1平面向量的概念及线性运算知识点：1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λaμa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb23.向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．选择题：给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是()A．①B．③C．①③D．①②解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为()A．1B．2C．3D．4解析由题知结果为零向量的是①④，故选B.设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是()A．a0＝b0B．a0·b0＝1C．|a0|＋|b0|＝2D．|a0＋b0|＝2解析∵是单位向量，∴|a0|＝1，|b0|＝1设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|·a解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．3设a、b是两个非零向量()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|解析对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，∴a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，∴成立，而D显然不一定成立．如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a，b表示AD→，则AD→等于()A．a＋34bB.14a＋34bC.14a＋14bD.34a＋14b解析∵CB→＝AB→－AC→＝a－b，又BD→＝3DC→，∴CD→＝14CB→＝14(a－b)，∴AD→＝AC→＋CD→＝b＋14(a－b)＝14a＋34b如图，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A．0B.BE→C.AD→D.CF→解析由题图知BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A．a－12bB.12a－bC．a＋12bD.12a＋b解析连接CD，∵C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD→＝12AB→＝12a，∴AD→＝AC→＋CD→＝b4＋12a已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线解析：∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB→，∴BD→、AB→共线，又公共点B，∴A、B、D三点共线设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→D.AD→＝43AB→－13AC→解析∵BC→＝3CD→，∴AC→－AB→＝3(AD→－AC→)，即4AC→－AB→＝3AD→，∴AD→＝－13AB→＋43AC→.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→＋FC→等于()A.BC→B.12AD→C.AD→D.12BC→解析EB→＋FC→＝12(AB→＋CB→)＋12(AC→＋BC→)＝12(AB→＋AC→)＝AD→在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c解析∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝BD→＝2DC→＝2(AC→－AD→)，∴3AD→＝2AC→＋AB→，∴AD→＝23AC→＋13AB→＝23b＋13c.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A.OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→解析OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→5已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP→＝2OA→＋BA→，则()A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上解析∵2OP→＝2OA→＋BA→，∴2AP→＝BA→，∴点P在线段AB的反向延长线上，故选B.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于()A.23B.13C．－13D．－23解析∵AD→＝2DB→，即CD→－CA→＝2(CB→－CD→)，∴CD→＝13CA→＋23CB→，∴λ＝23.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，则x的取值范围是()A.0，12B.0，13C.－12，0D.－13，0解析设CO→＝yBC→，∵AO→＝AC→＋CO→＝AC→＋yBC→＝AC→＋y(AC→－AB→)＝－yAB→＋(1＋y)AC→.∵BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈0，13，∵AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，∴x＝－y，∴x∈－13，0.已知a，b是不共线的两个向量，AB→＝xa＋b，AC→＝a＋yb(x，y∈R)，若A，B，C三点共线，则点P(x，y)的轨迹是()A．直线B．双曲线C．圆D．椭圆解析∵若A，B，C三点共线，∴AB→＝λAC→，即xa＋b＝λ(a＋yb)⇒x＝λ，1＝λy，⇒xy＝1，故选B.设a，b不共线，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析∵BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a－b.6又∵A，B，D三点共线，∴AB→，BD→共线．设AB→＝λBD→，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.已知平面内一点P及△ABC，若PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部解析由PA→＋PB→＋PC→＝AB→得PA→＋PC→＝AB→－PB→＝AP→，即PC→＝AP→－PA→＝2AP→，所以点P在线段AC上．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA→＋OB→＋OC→＝0，则△ABC的内角A等于()A．30°B．60°C．90°D．120°解析由OA→＋OB→＋OC→＝0，知点O为△ABC的重心，又∵O为△ABC外接圆的圆心，∴△ABC为等边三角形，A＝60°.填空题：设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________解析DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(AC→－AB→)＝－16AB→＋23AC→，∵DE→＝λ1AB→＋λ2AC→，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________解析∵ABCD为平行四边形，∴AB→＋AD→＝AC→＝2AO→，已知AB→＋AD→＝λAO→，故λ＝2已知□ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________(用a，b表示)．解析如图，DC→＝AB→＝OB→－OA→＝b－a，BC→＝OC→－OB→＝－OA→－OB→＝－a－b.7已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.解析由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴λ＝－k，3k＝1.解得λ＝－13，k＝13.已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA→，OB→，OC→，OD→满足等式OA→＋OC→＝OB→＋OD→，则四边形ABCD的形状为________解析由OA→＋OC→＝OB→＋OD→得OA→－OB→＝OD→－OC→，∴BA→＝CD→，∴四边形ABCD为平行四边形．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________解析：OB→＋OC→－2OA→＝(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC→2＝16，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|＝________解析由|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|得，AB→⊥AC→，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，∴|AM→|＝12|BC→|＝2在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________；y＝________解析MN→＝MC→＋CN→＝13AC→＋12CB→＝13AC→＋12(AB→－AC→)＝12AB→－16AC→，∴x＝12，y＝－16.解答题：在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AD→，AG→.解AD→＝12(AB→＋AC→)＝12a＋12b.AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BE→＝AB→＋13(BA→＋BC→)＝23AB→＋13(AC→－AB→)＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b.