大学物理流体力学

第三章流体力学第一节液体的压强第二节理想流体及其连续性方程第三节伯努利方程第一节液体的压强A•B•hC•PA=PBPC-PB=ρgh静压强pressure重要结论：在连通的同种流体中（1）定义：SFP（2）单位：帕斯卡（Pa）（3）物理意义：单位面积上所受到的力液体静止时各点的压强。例1:水在下图装置内做定常流动。若压强计用水银做测量液体求：p1-p2=?（忽略1点与2点的高度差）解：当定常流动时，U形压强计中的流体是静止的，符合静压强的有关规律。∵ρ水=103kg/m3ρ银=13.6×103kg/m3即：银水P3=P4P3=P1+ρ水gh+ρ水gΔhP4=P2+ρ水gh+ρ银gΔh联立求解得：P1-P2=(ρ银-ρ水）gΔh≈ρ银gΔh水流12••3••4hΔhP1–P2=ρ水gΔhP1–P2=ρ水gΔhP1–P2=ρ银gΔhh1•2•水流1•水流2•Δhρ银1•2•Δh水流理想流体及其连续性方程一、基本概念1.理想流体（idealfluid）2.稳定流动（steadyflow）不可压缩的没有黏滞性的流体称理想流体),,,(tzyxvv),,(zyxvv3.流线（streamline）在流速场中人为想象的一些曲线，这些曲线上每一点的切线方向均与该点速度方向一致。飞流直下三千尺，疑是银河落九天。用染色示踪剂显示的做定常流动的流体经过几种不同形状障碍物时的流线分布定常流动时流线的特点：（1）与流体质点的运动轨迹相同（2）形状不随时间的推移而改变（3）任何两条流线都不可能相交（4）流线疏的地方，流速小；流线密的地方流速大例题2.画出例1四个装置中的流线.水流12••3••4hΔhh1•2•水流1•水流2•Δhρ银1•2•Δh水流例题3:下列说法哪个对？理想流体做定常流动时A.流经空间中各点速度相同；B.流速一定要很小；C.其流线是一组平行线；D.流线上各点速度不随时间变化。答案：D流线流管4.流管（flowtube）通过液体内部某一截面的流线所围成的细管定常流动时流管的特点：（1）形状不随时间的推移而改变（2）流管内外无物质交换（3）生活中的水管，河道即是流管例题4.下列说法哪个对？研究流体运动时所取的流管A.一定是直管;B.一定是由许多流线组成的管状体；C.一定是截面相同的管状体；D.一定是截面不同的圆形管。答案：B5、流量（体积流量）（1）定义：（2）单位：米3/秒（m3s-1）（3）物理意义：单位时间内流过截面积为S的流管的流体的体积。VQvst二.理想流体及其连续性方程(3)注意适用条件：不可压缩流体定常流动在同一流管连续性方程(1)数学表述：S=常数(2)物理表述:同一流管流量守恒。重点证明：ΔV1=ΔV2（不可压缩性）S11Δt=S22Δt∴S11=S221点与2点是任选的，则S=常数流进流管的体积=流出流管的体积若流管中某截面上的流速不是定值，则速度应用平均值：常数vS证毕！例5：请你列出下面2种流管分布的连续性原理方程S11=S22S2变小2变大S11=S22+S33+S441••21•2•3•4•截面积小的地方流速大例题6理想流体在同一流管中定常流动时，对于不同截面的流量是A.截面大处流量大；B.截面小处流量小；C.截面大处流量等于截面小处流量；D.截面不知大小不能确定。答案：C证明：有功能原理：外力作功+非保守内力作功=机械能增量V)-P(PV-PVPLS-PLSPLSPLSPLSP侧侧侧21221122211122211190cos180cos0cosLΔFw(1)外力作功:(2)机械能增量：)mghvm-()mghmv(-EE)E)-(EE(EE1212222121132123(3)功能原理：W=ΔE1E2E3E121222212121mghmvmghmvV)P(P121222212121ghvghvPP移项：222212112121ghvPghvP由于1点、2点的任意性，可得到伯努利方程利用VVm有等式两边同除常数ghVP221其中：P—压强能密度221v—动能密度gh—重力势能密度∴能量密度之和不变证毕！上圖(由左至右):丹尼爾．伯努利（次子）雅各布．伯努利（伯父）約翰．伯努利（父亲）名人介绍(见文字资料)丹尼尔.伯努利(Daniel,公元1700—1782年)出生于荷兰的格罗宁根,1716年16岁时获艺术硕士学位；1721年又获医学博士学位,1725年,25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数学教授,1734年,丹尼尔荣获巴黎科学院奖金,以后又10次获得该奖金.出版了经典著作《流体动力学》(1738年)研究弹性弦的横向振动问题(1741—1743年)提出声音在空气中的传播规律(1762年).他的论著还涉及天文学(1734年)、地球引力(1728年)、湖汐(1740年)、磁学(1743、1746年),振动理论(1747年)、船体航行的稳定(1753、1757年)和生理学(1721、1728年)等.凡尼尔的博学成为伯努利家族的代表.主要贡献:流体伯努力方程(3)适用条件(考过！):理想流体定常流动同一流线常数221vghP(1)数学表述：(2)物理表述:同一流线，能量密度之和守恒重点第三节伯努利方程习题：两个方程的应用例7：一个很大的开口容器（SASB，两个数量级以上，或者A=0），器壁上距水面h处开有一小孔，截面积为SB。求：小孔处液体的流速B=?解：求解步骤（1）画流线（2）列方程（3）解方程BBBAAAghvPghvP222121ghvB2应用一：小孔流速PA=P0A=0PB=P0hB=0根据题意，有：代入伯努利方程中，求解得：A••B此公式适用条件：（1）两头都开口：PA=PB=PO（2）大容器：A=0（3）h是小孔到水面的距离类似装置：装置的特点：大敞口容器下方开一小孔A••BhA••BhghvB2A•B•hghvB2h•B•A重点例题8：一直立圆柱形容器，高0.2m，直径0.1m，顶部开启，底部有一面积为10-4m2的小孔，水以每秒1.4×10-4m3的快慢由水管自上面放入容器中。问容器内水面可上升的高度？若达到该高度时不再放水，求容器内的水流尽需多少时间。解：（1）求上升高度。此时为定常流动，有流量连续和能量连续：A••BBBBAAAghvPghvP222121AABBsvsv2224242()22(1.410)19.8(10)0.1BBBBvsvsmgg解得：HA••B（2）求流尽的时间。221122ABvgxvAABBsvsv222111()222BBBABBABAAsgxvvsssvvgxss即：0024(2)2210.120.14109.811.2tAAHBBssdxtdtHsgxssg2AAABdxvdtsdxdxdtvsgx应用二：流速计原理汾丘里流量计皮托管等高流线中流速与压强的关系212pvC流速较小的地方，压强必然较大。水流抽气机、喷雾器、内燃机中的汽化器等都是利用这个原理制成的。例9：汾丘里流量计是一根粗细不均匀的管子做成的，粗部和细部分别接有一根竖直的细管，如图所示。在测量时，两竖直管中的液体会出现高度差h。如果已知SA、SB、h。求：Q=?解：画流线，如图：列方程：ghPPvPvPvSvSBABBAABBAA222121•ASAB•SBh求解：222BABASSghSv222BAABSSghSv222BABABBAASSghSSvSvSQ汾丘里（Venturi）流量计装置的特点：类似装置：h•A•BA••Bh在粗细不等的两处接出压强计。例10：皮托管测水流速度A点即流体流动的速度解：B点是停滞区A、B两点同高0212BAPvPghPPvAB2)(22ghv2装置的特点：迎着流速开口A，顺着流速开口B，两个开口分别与压强计联接。例11：皮托管测飞机的飞行速度。A、B两点近似为同高点2210BBAvPPghPPBA是液体密度是气体密度ghv2应用3：虹吸管例12：用如图所示的虹吸管将容器中的水吸出。如果管内液体作定常流动，求(1)虹吸管内液体的流速(2)虹吸管最高点B的压强(3)B点距离液面的最大高度解：（1）小孔流速BAcvvv122()cvghh•B•A•Ch1h2h3•D（2）PB=?B点与C点列伯努力方程021)(21203212CBBvPhhhgvP)(3210hhhgPPB（3）h3的最大值？D点与B点列伯努力方程：32021ghvPPBBgVgPgPhBB2203即最大值mgPh3.108.9101001325.13503•B•A•Ch1h2h3•D应用4：喷雾器原理喷口处的截面小，流速大，该处压强小于大气压强，其吸入外界气体和下面的水，混合成雾状喷出。讨论：五个日常现象（1）水流随位置的下降而变细•A•BhBABBAABABASSvSvSvvvghv222121（2）两船并行前进，不能靠得太近，易互相碰撞S外S内222121内内外外内外内外内内外外vPvPvvSSvSvS内外vv内外PP(3)烟囱越高，拔火力量越大ghPPPghPvvBBBA00A•锅炉B•（4）为什么在火车站的月台上有一条黄色的警示线分析：2222112121vPvP2442332121vPvP火车•13•2•4•在很远的地方，近似有2332112121vPvP2442222121vPvP空气是粘滞流体，贴近火车的空气层以火车的速度流动，其它流层逐层流速减小v24vv24PP好象有一种力量推向火车一侧！火车•13•2•4•（5）帕斯卡实验:再加一杯水就可以使一个非常结实的酒桶破裂，为什么？∵高处流体压强较小，低处压强大。如果水桶能承受2atm大气压的压强，h为多高能使其破裂？设v=0p桶=p0+ρghh=(p桶－p0)/ρg=1.033×105/103×9.8=10.54(m)本章重点：压强计端口：P1–P2=ρgΔh流量连续：S=常数常数ghVP221能量连续：ghvB2小孔流速：Oydyyyab例题:在密度为的液体中沿竖直方向放置一个长为a、宽为b的长方形平板，板的上边与水面相齐，求此板面所受液体压力的大小（不考虑液面外的大气压）。ddfpgySddfgyay201d2bfgyaygab解：如图，在深度为y处取宽度为dy的液层，液层的面积为dS=ady，该液层处液体的压强为即积分得板面所受到的压力为p’pdzhOdrrzr例题:一个水桶绕自身的竖直轴以角速度旋转，当水与桶一起转动时，求水面的形状。解：如图在水下h处取底面积为dS，长为dr的液体元，沿径向可得2ddddpSSrrpS2ddrzrg222zrCg222zrg当r=0时，z=0,可得2dpprr0ppghgz0(d)ppghgzz例题:一个由旋转对称表面组成的水壶，其对称轴沿竖直方向，壶底开有一个半径为r的小孔。为使液体从底部小孔流出的过程中壶内液面下降的速率保持不变，壶应做成什么形状？解：建立如图坐标系221122vugz22uxvr424(1)2xugzr2444()2uxrzgr2442uxzgrr«xxzzO动脉系统毛细管系统静脉系统心脏哈维发现的人体血液循环理论是流体连续性原理的一个很好例证.人体血液循环示意