第4章-拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析

第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析教学目的：1掌握拉氏变换及拉氏反变换的定义；2掌握拉氏变换的基本性质；3掌握拉氏变换分析法（求解电路问题）；4掌握系统函数的概念；5掌握由系统函数分析系统频响特性的方法。教学重点：1拉氏变换对及其性质；2系统函数及系统频响特性。§4.1引言FT的优点在于：物理概念清楚FT不足之处:(1)只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；(2)在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。ttfd1j1()()d2tftFFFωeω拉氏变换法(LT)•优点：1将微积分方程求解问题转化为代数方程求解。2进行变换时，初始条件被自动计入，无需计算从0－到0＋状态的跳变。•缺点：物理概念不如傅氏变换那样清楚。本章的学习方法：注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。§4.2拉普拉斯变换的定义、收敛域一.拉氏变换的定义——从傅氏变换到拉氏变换二．拉氏变换的收敛域三．一些典型函数的拉氏变换一、从傅氏变换到拉氏变换有一些信号不满足狄里赫利条件，FT不存在：u(t)•增长信号•周期信号)0(aeat•若乘一衰减因子为任意实数，则收敛，满足狄里赫利条件tetetf).(tetu)()(.aeetattet1cost1cos乘一衰减因子一．拉普拉斯变换定义ttfFFe)(1ttfttdee)(j:,)(e),(依傅氏变换定义绝对可积条件后容易满足为任意实数乘以衰减因子信号ttf称为复频率。具有频率的量纲令,,j:s)j(FttfsFtsde则1．拉普拉斯正变换（LT)ttftde)()j(2．拉氏逆变换(LT－1）deπ21ejttjFtfdejπ21jtFtfjj::s对积分限：对ejtftF是的傅里叶逆变换te以两边同乘jdd;j:ss则取常数，若其中jjdejπ21ssFtftsjjeettjtFfttftetdd所以拉氏变换对考虑到实际信号都是因果信号：j1jed1ed2πjstσstσFsLftfttftLFsFss正变换逆变换sFtf:记作,0相应的单边拉氏变换为系统采用0j1jed1ed2jstσstσFsLftfttftLFsFssπ称为象函数。称为原函数，sFtf0edstFsftt所以双边拉氏变换单边拉氏变换自动包含0－条件FT:实频率是振荡频率LT:复频率S是振荡频率，控制衰减的速度0j1jed1ed2πjstσstσFsLftfttftLFsFss正变换逆变换1ed1()ed2πjtjtFFftfttftFFF正变换逆变换FT:LT:sj拉氏变换已考虑了初始条件)()()()()(ofsSFdttdfLTsFtfLT''000()()()()()(0)()()(0)()(0)stststsftedtfteftedtfefSFsSFsfSFsf初值，若有跳变则为)(of证明：二．拉氏变换的收敛域00e)(limσσtftσt收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域；记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件。Oσωj0σ收敛坐标收敛轴收敛区数学描述：图形表示：说明01.lim()e0ttftσσ满足的信号称为指数阶信号；00elim.3tnttαttt0eelim.46.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。进行拉氏变换。为非指数阶信号，无法，长快，找不到收敛坐标等信号比指数函数增2e.5t平面氏变换一定存在；全部有界的非周期信号的拉s.2三．一些常用函数的拉氏变换0de1)(ttuLst1.阶跃函数2.指数函数0deeetLsttαtαssst1e100esαtsαsα1ασ全s域平面收敛1de0tttLst0ede000ststtttttL3.单位冲激信号4．tnu(t)0detttLst201e11sssst0detttLstnn01dettsnstn00dee1ttsstst2n3222122ssstLstL43236233ssstLstL1nntLsntL0estnst01dettsnstn1!nnsntL1n所以所以常用信号的拉氏变换S1()tuteas1nt1!nsn)(t1)(0tt0ste()ut§4.3拉普拉斯变换的基本性质主要内容线性性质时域微分时域积分延时（时域移位）s域平移（频域移位）尺度变换初值定理终值定理卷积定理s域微分s域积分一．线性性质)()()()(,),()(),()(22112211212211sFKsFKtfKtfKLKKsFtfLsFtfL则为常数，若tωtωtωtfjjee21)cos()(ωsωstωLj1j121cos22ωss已知则αsLtα1e同理22sinωsωtωL例题：二．时域微分)0()(d)(d),()(fssFttfLsFtfL则若)0()0()()0(0d)(d22fsfsFsffsFsttfL10)(1)0()(d)(dnrrrnnnfssFsttfL推广：证明：)(0deede000ssFfttsftfttfststst零状态条件下，时域微分一次，频域乘一个s电感元件的s域模型)()(),()(sVtvLsItiLLLLLttiLtvLLd)(d)()0()()0()()(LLLLLLisIsLissILsV)(tiL)(tvLLsILLs0LLisVL电感元件的s模型应用时域微分性质设当iL(0－）＝0时，)()(sIsLsVLL三．时域积分，则若)()(sFtfLsfssFττfLt)0()(d)(1证明：ττfττfττfttddd00tsttstttfsττfs000de1de①②00dedtττfstt②tstttfs0de101f①sf01ssF零状态条件下，时域积分一次，频域除一个s电容元件的s域模型tcCiCtvd)(1)(sissICsVCCC)0()(1)()1()0(d)(1)0(10)1(CCCviCiC)0(1)(1CCvssIsCtiCtvCCsC101CvssICsVC电容元件的s模型当vc(0-)=0时，)(1)(sIsCsVcC四．延时（时域平移）0e)()()()()(00stsFttuttfLsFtfL，则若00000de)()()()(tttuttfttuttfLst0de)(0tsttttf，令0ttτ代入上式则有,dd,0τttt000dee)()()(0ττfttuttfLsτst0e)(stsF证明：时移特性、例题22211111ssssssF。求＝已知)(,4πcos2)(sFtuttf1111tututLttuLsF【例4-1】sFttutf求,1已知【例4-2】tttttfsincos4πsinsin24πcoscos2ssse112见书例4-5P185例求半波正弦函数的拉氏变换)()()(:1tftftfba解22sin()()sin[()()]22TTEtutEtutTT0T/2tf1(t)E2222222()()22()()TsEETTessTT2222()(1)2()TsETesT0T/2TtE()aft0T/2TtE()bft0T/2Ttf(t)E？五．s域平移(频域移位）)(e)()()(αsFtfLsFtfLtα，则若0()e()eedαtαtstLftftt证明：()0()edsatftt()Fsa例4-32020)(cos:ωsstutωL已知2020)(coseωαsαstutωt所以20200)(sine:ωαsωtutωt同理的拉氏变换求tωtα0cose据频域移位性质()e()αtLftFsα六．尺度变换时移和标度变换都有时:01)(),()(aasFaatfLsFtfL则若0,0e1)()(baasFabatubatfLabs若0()()edstLfatfatt，则令atτ0()()edsτaτLfatfτa01()edsτafττaasFa1证明：见书P187)(lim)0()(lim),()(d)(d)(0ssFftfsFtfttftfst则可以进行拉氏变换，且及若七．初值初值定理证明ttfLfssFd)(d0)(tttfstded)(d0tttftttfststded)(dded)(d000tttffssFstded)(d0)(0所以0delimd)(dded)(dlim00tttftttfstssts由原函数微分定理可知tttfffstded)(d0000(0)lim()lim()tsfftsFs说明应化为真分式：不是真分式若,sFksFsF)()(11(0)lim()lim()lim()sssfsFsksFskssFs项。中有中有常数项，说明tδtfsF例4-4即单位阶跃信号的初始值为1。?)0(,1)(:fssF求已知1)(lim)(lim)0(0ssFtffst例4-5?)0(,12)(fsssF求21212ssssF因为