2020中考数学大一轮复习课件27：圆的有关性质

第二部分图形与几何考点梳理归类探究课时作业第九单元圆第27课时圆的有关性质考点梳理考点1圆的有关概念圆的定义在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做，固定的端点叫做，线段OA叫做圆的．等圆半径相等的圆叫做等圆．同心圆圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．圆圆心半径弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为弧，小于半圆的弧称为弧．在同圆或等圆中，能够的弧叫做等弧．弦连接圆上任意两点的叫做弦．直径经过圆心的弦叫做直径．直径是圆内最的弦.优劣完全重合线段长考点2点与圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d.drd＝rdrd与r的大小关系点在圆外点在圆上点在圆内位置关系考点3圆的对称性和垂径定理[核心考点]圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过的直线．对称性圆是中心对称图形，对称中心为.定理垂直于弦的直径弦，并且平分弦所对的两条．垂径定理推论1.平分弦(不是直径)的直径弦，并且弦所对的两条弧．2．弦的垂直平分线经过，并且平分弦所对的两条．圆心圆心平分弧垂直于平分圆心弧【方法技巧】1.如图27­1，因为圆是轴对称图形，所以圆中的五个条件：①③AE＝BE，④AB⊥CD，⑤CD是直径，只要满足其中的两个，另外三个就一定成立．2．利用垂径定理进行计算或证明时，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解．图27­1【易错提醒】1.垂径定理的推论中，“不是直径”是指被平分的弦不是直径，因为两条直径互相平分，但并非一定垂直．2．由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦有在圆心的同侧或异侧两种情况，所以利用垂径定理计算时，有时要分情况讨论，不要漏解．考点4圆心角、弧、弦之间的关系圆心角顶点在的角叫做圆心角．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.圆心相等相等考点5确定圆的条件条件经过不在同一直线上的三点．外心三角形三边的有且只有一个交点，这一点叫做三角形的外接圆的圆心，即三角形的外心．外心性质三角形的外心到三角形的距离相等.有且只有一个圆垂直平分线三顶点考点6圆周角定理[核心考点]定义顶点在上，并且都和圆相交的角叫做圆周角．定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的的一半．推论半圆(或直径)所对的圆周角是，90°圆周角所对的弦是.圆两边相等圆心角直角直径【易错提醒】图27­2中的∠ABC都不是圆周角．图27­2考点7圆内接四边形定义如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．定理圆内接四边形的对角，并且任何一个外角都等于它的．规律圆内接四边形的对角互补，它的外角起到了沟通圆内外图形的作用，利用这一性质可以把圆外的角转化到圆内.互补内对角归类探究类型之一圆心角、弧、弦之间的关系1如图27­3，正方形ABCD内接于⊙O，M为AD︵的中点，连接BM，CM.(1)求证：BM＝CM；(2)当⊙O的半径为2时，求BM︵的长．图27­3(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB︵＝CD︵.∵M为AD︵的中点，∴AM︵＝DM︵，∴BM︵＝CM︵，∴BM＝CM.(2)解：如答图，连接OM，OB，OC.例1答图∵BM︵＝CM︵，∴∠BOM＝∠COM.∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BOC＝360°4＝90°，∴∠BOM＝360°－90°2＝135°，∴BM︵的长为135·π·2180＝3π2.【点悟】(1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)及分类讨论思想的应用．【变式训练】1．如图27­4，在⊙O中，若C是AB︵的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝()图27­4AA．40°B．45°C．50°D．60°【解析】∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠B＝∠A＝50°，∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°.∵C是AB︵的中点，∴∠BOC＝12∠AOB＝40°.故选A.2．(2019·南京)如图27­5，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC.图27­5证明：如答图，连接AC.变式训练2答图∵AB＝CD，∴AB︵＝CD︵，∴AB︵＋BD︵＝BD︵＋CD︵，即AD︵＝CB︵，∴∠C＝∠A，∴PA＝PC.类型之二垂径定理及其推论2(2018·衢州)如图27­6，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F.若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是()A．3cmB．6cmC．2.5cmD．5cmD图27­6【解析】如答图，连接OB.例2答图由题意知，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，BD＝8cm，AE＝2cm.在Rt△OEB中，OE2＋BE2＝OB2，即OE2＋42＝(OE＋2)2，解得OE＝3cm，∴OB＝3＋2＝5(cm)，∴EC＝5＋3＝8(cm)．在Rt△EBC中，BC＝BE2＋EC2＝42＋82＝45(cm)．∵OF⊥BC，∴BF＝25cm.∴OF＝BO2－BF2＝52－252＝5cm.故选D.【点悟】已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算．【变式训练】3．(2019·北部湾)《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图27­7所示，已知：锯口深为1寸(ED＝1寸)，锯道长1尺(AB＝1尺＝10寸)，则该圆材的直径为寸．26图27­7【解析】设⊙O的半径为r.在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r－1，OA＝r，则有r2＝52＋(r－1)2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸．类型之三圆周角定理及其推论3(2017·临沂)如图27­8，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DB＝DE；(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．图27­8(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵CD︵所对的圆周角为∠DBC和∠CAD，∴∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE.(2)解：如答图，连接CD.例3答图∵∠BAD＝∠CAD，∴BD︵＝CD︵，∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴BC＝BD2＋CD2＝42，∴△ABC外接圆的半径为12×42＝22.【点悟】圆周角定理及其推论是进行圆内角度转化与计算的主要依据．遇直径，要想到直径所对的圆周角是90°，从而得到直角三角形；遇同弧所对的圆周角与圆心角，要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍以及同弧所对的圆周角相等的性质．【变式训练】4．(2019·株洲)如图27­9，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝.图27­920°【解析】如答图，连接DO.变式训练4答图∵CO⊥AB，∴∠COB＝90°.∵∠AEC＝65°，∴∠C＝25°.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠C＝25°.在△DCO中，∠DOC＝130°，∴∠DOB＝40°.∵2∠BAD＝∠DOB，∴∠BAD＝20°.5．如图27­10，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以BD为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.(1)求证：∠1＝∠F；(2)若sinB＝55，EF＝25，求CD的长．图27­10(1)证明：如答图，连接DE.变式训练5答图∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°.∵E是AB的中点，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B.∵∠B与∠F都是DE︵所对的圆周角，∴∠B＝∠F，∴∠1＝∠F.(2)解：∵∠1＝∠F，EF＝25，∴AE＝EF＝25，∴AB＝2AE＝45.在Rt△ABC中，∵sinB＝55，∴AC＝AB·sinB＝4，∴BC＝AB2－AC2＝8.设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.∵AC2＋CD2＝AD2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴CD＝3.类型之四圆内接四边形的性质4(2018·无锡)如图27­11，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cosB＝35，求AD的长．图27­11解：如答图，延长AD，BC交于点E.例4答图∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，∴∠EDC＝∠B，∠ECD＝∠A＝90°，∴△ECD∽△EAB，∴CDAB＝ECEA.∵cos∠EDC＝cosB＝35，∴CDED＝35.∵CD＝10，∴10ED＝35，∴ED＝503，∴EC＝ED2－CD2＝5032－102＝403.∴1017＝403503＋AD，∴AD＝6.【点悟】圆内接四边形的角有两种关系：(1)对角互补：若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°；(2)外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．【变式训练】6．(2019·天水)如图27­12，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为()图27­12A．20°B．25°C．30°D．35°C【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝12∠DCB＝12(180°－∠D)＝50°.∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB－∠ACE＝30°.故选C.课时作业1．(2019·凉山)下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦．其中，真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4A【解析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；两点之间线段最短；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，∴只有①是对的．故选A.2．(2017·宜昌)如图27­1，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是()A．AB＝ADB．BC＝CDC.AB︵＝AD︵D．∠BCA＝∠DCAB图27­13．(2018·聊城)如图27­2，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是()图27­2DA．25°B．27.5°C．30°D．35°【解析】∵∠A＝60°，∠ADC＝85°，∴∠B＝∠ADC－∠A＝85°－60°＝25°，∴∠O＝2∠B＝2×25°＝50°，∴∠C＝∠ADC－∠O＝85°－50°＝35°.故选D.4．(2019·眉山)如图27­3，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为()A．62B．32C．6D．12A图27­3【解析】∵∠CAO＝22.5°，∴∠COE＝45°.∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC＝6，∴∠CEO＝90°.∵∠COE＝45°，∴CE＝OE＝22OC＝32，∴CD＝2CE＝62.故选A.5．(2017·永州)小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图27­4的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是()图27­4A．AB，AC边上的中线的交点B．AB，AC边上的垂直平分线的交点C．AB，AC边上的高线的交点