2020中考数学大一轮复习课件23：平行四边形

第二部分图形与几何考点梳理归类探究课时作业第七单元四边形第23课时平行四边形考点梳理考点平行四边形的性质与判定[核心考点]定义两组对边分别的四边形叫做平行四边形．性质(1)平行四边形的对边；(2)平行四边形的对角；(3)平行四边形的对角线；(4)平行四边形是对称图形，它的对称中心是两条对角线的．平行平行且相等相等互相平分中心交点判定(1)两组对边分别的四边形是平行四边形(定义法)；(2)两组对边分别的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别的四边形是平行四边形；(4)一组对边的四边形是平行四边形；(5)对角线的四边形是平行四边形.平行相等相等平行且相等互相平分【温馨提示】利用平行四边形的性质求角的度数、边的长度或图形的周长、面积时，要结合题目条件、图形性质，灵活运用方程(组)和整体代入等数学思想方法解决问题．【易错提醒】1．平行四边形是以对角线的交点为中心的中心对称图形，但不一定是轴对称图形．2．一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如图23­1所示的四边形是等腰梯形，不是平行四边形．图23­1归类探究类型之一平行四边形的性质1(2018·福建)如图23­2，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F.求证：OE＝OF.图23­2证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠OAE＝∠OCF.在△OAE和△OCF中，∠OAE＝∠OCF，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△EOA≌△FOC(ASA)．∴OE＝OF.【点悟】1.平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，这为计算边与角、证明三角形全等提供了很多条件，因此，要灵活运用这些性质解题．2．在解决平行四边形中的线段和角相等的问题时，常利用平行四边形的性质证明三角形全等．【变式训练】1．E是▱ABCD的CD边的中点，AE与BC的延长线交于点F，CF＝3，CE＝2，求▱ABCD的周长．图23­3解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF.又∵ED＝EC，∴△ADE≌△FCE(AAS)．∴AD＝FC＝3，DE＝CE＝2.∴DC＝4.∴C▱ABCD＝2(AD＋DC)＝14.2．(2019·吉林)如图23­4，在▱ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE，DF，求证：△ABE≌△CDF.图23­4证明：在▱ABCD中，BA＝DC，∠A＝∠C.由题意知，AE＝CF.∴在△ABE与△CDF中，BA＝DC，∠A＝∠C，AE＝CF.∴△ABE≌△CDF(SAS)．类型之二平行四边形的判定2(2019·郴州)如图23­5，在▱ABCD中，E是边AD的中点，连接CE并延长CE交BA的延长线于点F，连接AC，DF.求证：四边形ACDF是平行四边形．图23­5证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，即AF∥CD.∴∠AFE＝∠DCE.∵E是边AD的中点，∴AE＝DE.又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝DC.∴四边形ACDF是平行四边形．【点悟】证明一个四边形是平行四边形的基本思路：(1)若已知一组对边平行，可以证明这组对边相等，或另一组对边平行；(2)若已知一组对边相等，可以证明这组对边平行，或另一组对边相等；(3)若已知条件与对角线有关，可以证明对角线互相平分．【变式训练】3．(2018·岳阳)如图23­6，在▱ABCD中，AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．图23­6证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB＝CD.∴∠BAE＝∠DCF.又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF.∴BE＝DF，同理，可得DE＝BF.∴四边形BFDE是平行四边形．4．如图23­7，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.图23­7(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.∵AD∥BC，∴∠ADO＝∠CBO.在△AOD和△COB中，∠ADO＝∠CBO，∠AOD＝∠COB，OA＝OC，∴△AOD≌△COB(AAS)，∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形．(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∴S菱形ABCD＝12AC·BD＝24.课时作业1．(2018·宜宾)在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的平分线交于点E，则△AED的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定B【解析】如答图，第1题答图∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.∵AE和DE分别平分∠BAD和∠ADC，∴∠EAD＝12∠BAD，∠ADE＝12∠ADC，∴∠EAD＋∠ADE＝12(∠BAD＋∠ADC)＝90°，∴∠E＝90°，∴△AED是直角三角形．故选B.2．(2018·黔南州)如图23­1，在▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为()A．26cmB．24cmC．20cmD．18cmD图23­1【解析】∵AC＝4cm，△ADC的周长为13cm，∴AD＋DC＝13－4＝9(cm)．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴▱ABCD的周长为2(AD＋DC)＝18cm.故选D.3．(2018·海南)如图23­2，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为()图23­2A．15B．18C．21D．24A【解析】∵▱ABCD的周长为36，∴BC＋CD＝12×36＝18，OB＝OD＝12BD＝12×12＝6.又∵E是CD的中点，∴OE＝12BC，DE＝12CD，∴△DOE的周长为OD＋OE＋DE＝6＋12BC＋12CD＝6＋12(BC＋CD)＝6＋12×18＝15.故选A.4．(2019·泸州)四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是()A．AD∥BCB．OA＝OC，OB＝ODC．AD∥BC，AB＝DCD．AC⊥BDB【解析】∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．故选B.5．(2019·广州)如图23­3，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是()图23­3BA．EH＝HGB．四边形EFGH是平行四边形C．AC⊥BDD．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍【解析】∵E，H为OA，OD的中点，∴EH＝12AD＝2，同理，HG＝12CD＝1，A错误；EH∥AD，EH＝12AD，FG∥BC，FG＝12BC，∵在▱ABCD中，AD＝BC，且AD∥BC，∴EH＝FG，且EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，B正确．AC与BD不一定垂直，C错误；由相似三角形的面积比等于相似比的平方，知△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，D错误．故选B.6．(2018·常州)如图23­4，在▱ABCD中，∠A＝70°，DC＝DB，则∠CDB＝.40°图23­4【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C＝70°.∵DC＝DB，∴∠C＝∠DBC＝70°，∴∠CDB＝180°－70°－70°＝40°.7．(2018·十堰)如图23­5，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为.图23­514【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，OA＝OC＝4，OB＝OD＝5，∴△OCD的周长为5＋4＋5＝14.8．(2018·衡阳)如图23­6，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是.图23­616【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.∵OM⊥AC，∴AM＝MC.∴△CDM的周长为AD＋CD＝8，∴▱ABCD的周长是2×8＝16.9．已知在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，其中A，B，C三个点的坐标分别为(0,2)，(－1,0)，(2,0)，则当点D的坐标为时，以A，B，C，D四个点为顶点的四边形是平行四边形．(3,2)，(－3,2)，(1，－2)【解析】如答图，点D的坐标为(3,2)或(－3,2)或(1，－2)．第9题答图10．(2019·柳州)平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．已知：如图23­7，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求证：四边形ABCD是平行四边形．图23­7第10题答图证明：如答图，连接AC.在△ABC和△CDA中，AB＝CD，AD＝CB，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(SSS)，∴∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．11．(2019·湖州改编)如图23­8，在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，EF.(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；(2)若AB＝7，BC＝6，求四边形BEFD的周长．图23­8(1)证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF∥BC，DF＝12BC，EF∥AB，EF＝12AB.∴四边形BEFD是平行四边形．(2)解：由(1)知，DF＝BE＝12BC，EF＝BD＝12AB，▱BEFD的周长为BE＋EF＋DF＋BD＝AB＋BC＝13.12．(2018·大庆)如图23­9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F.图23­9(1)证明：四边形CDEF是平行四边形；(2)若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥CF.又∵EF∥CD，∴四边形CDEF是平行四边形．(2)解：∵在Rt△ABC中，D是AB的中点，∴AB＝2CD.∵D，E分别是AB，AC的中点，∴BC＝2DE.∵2CD＋2DE＝25，∴AB＋BC＝25.在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋(25－AB)2，解得AB＝13.13．(2019·张家界)如图23­10，在▱ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别与BC，AC交于点F，G.(1)求证：BF＝CF；(2)若BC＝6，DG＝4，求FG的长．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CD，AB＝CD，∴∠EBF＝∠DCF，∠BEF＝∠CDF.∵AB＝BE，∴BE＝CD，∴△BEF≌△CDF(ASA)，∴BF＝CF.(2)解：结合(1)知，BF＝CF＝3，AD＝BC＝6.∵AD∥BC，∴△ADG∽△CFG，∴CFAD＝FGDG，即36＝FG4，解得FG＝2.