2020中考数学大一轮复习课件20：直角三角形与勾股定理

第二部分图形与几何考点梳理归类探究课时作业第六单元三角形第20课时直角三角形与勾股定理考点梳理考点1直角三角形[核心考点]概念有一个角是直角的三角形叫做，其中夹直角的两边叫做直角边，另一条边叫做斜边．性质(1)直角三角形的两个锐角；(2)在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于；(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于，那么这条直角边所对的锐角等于30°；(4)直角三角形中，斜边上的中线等于．直角三角形互余斜边的一半斜边的一半斜边的一半判定(1)两个内角的三角形是直角三角形；(2)一边上的中线等于这边的三角形是直角三角形.【重要结论】(1)SRt△ABC＝12ab＝12ch，其中a，b为两条直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高；(2)Rt△ABC的内切圆半径r＝a＋b－c2，外接圆半径R＝c2，其中a，b为两条直角边长，c为斜边长．互余一半考点2勾股定理及其逆定理[核心考点]勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.a2＋b2＝c2a2＋b2＝c2归类探究类型之一直角三角形的性质1(1)(2019·陕西)如图20­1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为点D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是()A．25°B．30°C．50°D．65°D图20­1(2)(2018·淄博)如图20­2，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为()图20­2A．4B．6C．43D．8B【解析】(1)∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD＝90°－∠A＝25°.∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＝90°－∠ACD＝65°.∵在Rt△CDB中，E是BC的中点，∴EC＝ED，∴∠EDC＝∠DCE＝65°.故选D.(2)∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC，且MN∥BC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC.∵∠A＝90°，∴∠B＝30°，∴∠AMN＝30°.∵AN＝1，∴MN＝2AN＝2，∴AC＝AN＋NC＝3，∴BC＝2AC＝6.故选B.【点悟】在直角三角形中：(1)求角度时，通常利用“直角三角形两锐角互余”的性质；(2)遇30°角时，通常要利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质；(3)遇斜边上的中线时，要想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．【变式训练】1．(2018·扬州)如图20­3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是()A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝ECC【解析】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A.∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.又∵∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE.故选C.图20­32．(2018·福建)如图20­4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D是AB的中点，则CD＝.图20­43【解析】∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝12AB＝12×6＝3.3．(2018·玉林)如图20­5，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，则AD的取值范围是.图20­52AD8【解析】如答图，延长BC交AD的延长线于点E，过点B作BF⊥AD于点F.在Rt△ABE中，∵∠E＝30°，AB＝4，变式训练3答图∴AE＝2AB＝8.在Rt△ABF中，AF＝12AB＝2，∴AD的取值范围为2AD8.类型之二勾股定理2在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于点D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD.―→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x.―→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．解：如答图，在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，AB＝15，BC＝14，AC＝13.例2答图设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.∴AD＝152－92＝12.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.【点悟】勾股定理的作用是已知直角三角形的任意两边，求第三边的长．我们要会灵活运用勾股定理的不同形式求解．若在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则勾股定理的不同形式有：(1)c2＝a2＋b2，a2＝c2－b2，b2＝c2－a2；(2)c＝a2＋b2，a＝c2－b2，b＝c2－a2.【变式训练】4．(2019·毕节)如图20­6，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为()A.3B．3C．5D．5B图20­6【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2－EB2＝22－12＝3，∴S正方形ABCD＝BC2＝3.故选B.5．(2018·湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图20­7，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为.图20­7x2＋32＝(10－x)2【解析】设AC＝x.∵AC＋AB＝10，∴AB＝10－x.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2，即x2＋32＝(10－x)2.类型之三勾股定理的逆定理3(2017·益阳)如图20­8，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线，则CD＝.图20­86.5【解析】∵在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2＋BC2＝52＋122＝132＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°.∵CD是AB边上的中线，∴CD＝12AB＝6.5.【点悟】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，判断时应先确定最大边，然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方．【变式训练】6．(2019·滨州)满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的为()A．AB＝41，BC＝4，AC＝5B．AB∶BC∶AC＝3∶4∶5C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D.cosA－12＋tanB－332＝0C【解析】A．∵52＋42＝25＋16＝41＝(41)2，∴△ABC是直角三角形；B．∵(3x)2＋(4x)2＝9x2＋16x2＝25x2＝(5x)2，∴△ABC是直角三角形；C．∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，∴∠C＝53＋4＋5×180°＝75°≠90°，∴△ABC不是直角三角形；D．∵cosA－12＋tanB－332＝0，∴cosA＝12，tanB＝33，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选C.7．如图20­9，已知△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD＝()图20­9A．3B．4C．4.8D．5D【解析】∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴BC2＋AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.∵DE是AC的垂直平分线，∴DE∥BC，且DE是△ABC的中位线，∴D是AB的中点，∴CD＝12AB＝5.故选D.类型之四勾股定理与拼图4图20­10是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别为2,5,1,2，则最大的正方形E的面积是.10图20­10【解析】根据勾股定理的几何意义，可得A，B的面积和为S1，C，D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，于是S3＝2＋5＋1＋2＝10.【点悟】图20­10中S3＝S1＋S2的结论，常用于解决“勾股树”类的面积问题．【变式训练】8．(2019·大庆)我国古代数学家赵爽的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图20­11所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是.1图20­11【解析】(a－b)2＝a2＋b2－2ab，其中，由勾股定理，可得a2＋b2＝13，每个直角三角形的面积为(13－1)÷4＝3，即12ab＝3，∴ab＝6，∴(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝13－12＝1.类型之五平面展开图中的最短路线问题5(2018·东营)如图20­12所示圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现在有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是()A．34＋πB．32C.34＋π22D．34＋π2图20­12C【解析】将圆柱侧面沿AB展开，得到矩形如答图，则AB＝3，BC＝3π2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝AB2＋BC2＝32＋3π22＝34＋π22.故选C.例5答图【点悟】在求几何体表面上两点之间的最短距离时，可以通过把立体图形展开成平面图形，利用勾股定理求出几何体表面上两点之间的距离．【变式训练】9．(2018·黄冈)如图20­13，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm.(杯壁厚度不计)20图20­13【解析】作杯壁一半的展开图．如答图，点E与点A关于直线l对称，连接EB，即为蚂蚁爬行的最短路径，过点B作BC⊥AE于点C，则在Rt△EBC中，BC＝32÷2＝16(cm)，EC＝3＋14－5＝12(cm)，∴EB＝EC2＋BC2＝20(cm)．变式训练9答图课时作业1．(2019·长沙)下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是()A．3,4,5B．6,8,10C.3，2，5D．5,12,13C2．(2018·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为()A．5B．6C．7D．8A【解析】∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦为32＋42＝5.故选A.3．如图20­1，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC的长为()A．6B．62C．63D．12图20­1A4．(2019·邵阳改编)公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，如图20­2，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的面积为()图20­2CA．1B．2C．4D．8【解析】股b＝c2－a2＝8，∴小正方形ABCD的边长为b－a＝2，面积为22＝4.故选C.5．(2018·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝500m，则该沙田的面积为()A．7.5km2B．15km2C．75km2D．750km2A【解析】∵52＋122＝132，∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，∴沙田的面积为12×5×500×12×500＝7500000(m2)＝7.5(km2)．故选A.图20­36．(2017·绍兴)如图20­3，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯