2020中考数学大一轮复习课件29：正多边形与圆、扇形和圆锥的有关计算

第二部分图形与几何考点梳理归类探究课时作业第九单元圆第29课时正多边形与圆、扇形和圆锥的有关计算考点梳理考点1正多边形的有关计算公式图示多边形A1A2A3…An为正n边形，设其半径为R，边心距为rn，边长为an，中心角为αn，周长为Pn，面积为Sn，如图29­1.图29­1计算公式(1)中心角：αn＝360°n；(2)边长：an＝2Rsin180°n；(3)边心距：rn＝Rcos180°n；(4)周长：Pn＝nan＝2nRsin180°n；(5)面积：Sn＝n·12anrn＝12Pnrn.考点2弧长公式与扇形面积公式[核心考点]弧长公式(1)圆的周长公式C＝(r为圆的半径)；(2)在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l＝.扇形面积公式(1)S扇形＝nπR2360(n°是圆心角的度数，R是半径)；(2)S扇形＝12(l是弧长，R是半径).2πrnπr180lR【方法技巧】如图29­2.图29­2(1)当弓形所含的弧是劣弧时，如图29­2①，S弓形＝S扇形OAB－S△OAB；(2)当弓形所含的弧是优弧时，如图29­2②，S弓形＝S扇形OAB＋S△OAB；(3)当弓形所含的弧是半圆时，如图29­2③，S弓形＝12S⊙O.不规则图形的面积应当转化为规则图形(有公式可利用)的面积的和或差，转化的方法一般有分割和补全两种．考点3圆柱、圆锥的侧面积与全面积[核心考点]圆柱S圆柱侧＝；S圆柱全＝.(1)侧面展开图为矩形；(2)r为底面半径，h为圆柱的高．圆锥S圆锥侧＝12l·2πr＝；S圆锥全＝.(1)侧面展开图为扇形；(2)r为底面半径，l为母线长，h为圆锥的高.2πrh2πrh＋2πr2πrlπrl＋πr2【易错提醒】在计算公式中，不能把圆锥的母线长误当作圆锥的高．归类探究类型之一正多边形与圆1(2018·资阳)如图29­3，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB＝a，则图中阴影部分的面积是()图29­3BA.π6a2B．π6－34a2C.34a2D．π3－34a2【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为a，∴⊙O的半径为a，∴⊙O的面积为πa2.∵正六边形ABCDEF可分割为六个边长为a的正三角形，∴每个正三角形的面积为34a2，∴正六边形ABCDEF的面积为332a2，∴S阴影＝πa2－332a2×16＝π6－34a2.故选B.【点悟】熟悉正多边形的有关计算公式是解题的关键．【变式训练】1．(2019·衡阳)如图29­4，已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是.图29­463【解析】如答图，过点O作OD⊥BC于点D，连接OB.变式训练1答图∵OB＝6，∠OBD＝30°，∴BD＝6×cos30°＝33，∴BC＝2BD＝63.类型之二弧长的计算2(1)(2018·宁波)如图29­5，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD︵的长为()图29­5A.π6B．π3C.2π3D．23π3C【解析】∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠A＝30°，∴∠B＝60°，BC＝2，∴CD︵的长为60π·2180＝2π3.故选C.(2)(2017·烟台)如图29­6，在▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则DE︵的长为()A.π3B．2π3C．7π6D．4π3B图29­6【解析】如答图，连接OE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝70°，AD＝BC＝6，∴OA＝OD＝3.∵OD＝OE，∴∠OED＝∠D＝70°，例2答图∴∠DOE＝180°－2×70°＝40°，∴DE︵的长为40π·3180＝2π3.故选B.【点悟】熟练掌握弧长公式，理解弧长公式l＝nπr180中各个量所代表的意义是解题的关键．【变式训练】2．在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图29­7的方式在直线l上进行两次无滑动翻转，则点B在两次翻转过程中经过的路径的长是()图29­7A.25π2B．13πC．25πD．22A【解析】如答图，连接BD，B′D.变式训练2答图∵AB＝5，AD＝12，∴BD＝52＋122＝13，∴BB′︵的长为90·π·13180＝13π2.∵B′B″︵的长为90·π·12180＝6π，∴点B在两次翻转过程中经过的路径的长是13π2＋6π＝25π2.故选A.3．(2019·安徽芜湖二模)如图29­8，⊙O的直径AB＝8，点C在⊙O上，∠CAB＝22.5°，过点C作CD⊥AB交⊙O于点D，则CD︵的长为.图29­82π【解析】如答图，连接OC，OD.变式训练3答图由圆周角定理，得∠COB＝2∠CAB＝45°.∵CD⊥AB，∴BC︵＝BD︵，∴∠COD＝90°，∴CD︵的长为90π·4180＝2π.类型之三扇形的面积的计算3(2018·乐山)如图29­9，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是(1，3)，则在旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为.π2图29­9【解析】如答图，过O′作O′M⊥OA于点M，则∠O′MA＝90°.∵点O′的坐标是(1，3)，∴O′M＝3，OM＝1.∵AO＝2，∴AM＝2－1＝1，∴tan∠O′AM＝31＝3，∴∠O′AM＝60°，例3答图即旋转角为60°，∴∠CAC′＝∠OAO′＝60°.∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，∴S△OAC＝S△O′AC′，∴S阴影＝S扇形AOO′＋S△O′AC′－S△OAC－S扇形ACC′＝S扇形AOO′－S扇形ACC′＝60π·22360－60π·12360＝π2.【点悟】求不规则图形的面积，常将不规则图形转化为易求解的规则图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和或差求出结果．【变式训练】4．(2019·遂宁)如图29­10，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为()图29­10AA．4π－8B．2πC．4πD．8π－8【解析】由题意可知，∠BOC＝2∠A＝45°×2＝90°，S阴＝S扇－S△OBC，S扇＝14S圆＝14π·42＝4π，S△OBC＝12×42＝8，∴S阴影＝4π－8.故选A.类型之四圆锥(柱)的侧面积和全面积的计算4(2018·绵阳)如图29­11，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是()图29­11A．(30＋529)πm2B．40πm2C．(30＋521)πm2D．55πm2A【解析】设底面圆的半径为Rm，则πR2＝25π，解得R＝5m，圆锥的母线长为22＋52＝29(m)，∴圆锥的侧面积为12×2π·5×29＝529π(m2)．圆柱的侧面积为2π·5×3＝30π(m2)，∴需要毛毡的面积为(30＋529)πm2.故选A.【点悟】圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的母线长就是扇形的半径，圆锥的底面周长就是扇形的弧长．熟记几个公式：弧长公式l＝nπr180，扇形面积公式S扇形＝nπr2360＝12lr.注意区别不同的公式中，l与r的不同意义．【变式训练】5．(2019·杭州)如图29­12是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，已知其母线长为12cm.底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积约为cm2(结果精确到个位)．图29­12113【解析】这个冰淇淋外壳的侧面积为12×2π·3×12＝36π≈113(cm2)．课时作业1．(2018·盘锦)如图29­1，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB︵)，则AB︵的展直长度为()图29­1BA．3πmB．6πmC．9πmD．12πm【解析】AB︵的展直长度为108π·10180＝6π(m)．故选B.2．(2017·株洲)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是()A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形A3．如图29­2，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径AA′︵的长为()图29­2BA．πB．2πC．4πD．8π【解析】∵每个小正方形的边长都为1，∴OA＝4.∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，∴∠AOA′＝90°，∴点A运动的路径AA′︵的长为90·π·4180＝2π.故选B.4．(2019·金华)如图29­3，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°.若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为()A．2B．3C．32D．2D图29­3【解析】∵∠A＝90°，∠ABC＝105°，∴∠ABD＝45°，∠CBD＝60°，∴△ABD是等腰直角三角形，△CBD是等边三角形．设AB长为R，圆锥底面周长为1，则BD的长为2R.∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝12lR，∴l＝2R.∴下面圆锥的侧面积为12lR＝12·2R·2R＝2.故选D.5．如图29­4，一把扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB的长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为()B图29­4A．175πcm2B．350πcm2C.800π3cm2D．150πcm2【解析】∵AB＝25cm，BD＝15cm，∴AD＝10cm，∴S贴纸＝2×120·π·252360－120·π·102360＝2×175π＝350π(cm2)．故选B.6．(2019·菏泽)如图29­5，在⊙O中，AB︵＝AC︵，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是()A．2＋2π3B．2＋3＋2π3C．4＋2π3D．2＋4π3A图29­5【解析】∵如答图，连接OB，OC，OA，第6题答图∵AB︵＝AC︵，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°.∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2.如答图，过点O作OD⊥BC于点D.∴BD＝CD.∵AB＝AC，∴A，O，D三点共线，∴OD＝32OB＝3，∴AD＝2＋3，∴S△ABC＝12BC·AD＝2＋3，S△BOC＝12BC·OD＝3，∴S阴影＝S△ABC＋S扇形OBC－S△BOC＝2＋3＋60π·22360－3＝2＋2π3.故选A.7．(2018·连云港)一个扇形的圆心角是120°，它的半径是3cm，则扇形的弧长为cm.2π【解析】根据题意，扇形的弧长为120π·3180＝2π.8．(2018·聊城)用一块圆心角为216°的扇形铁皮，做一个高为40cm的圆锥形工件(接缝忽略不计)，那么这块扇形铁皮的半径是cm.50【解析】设这块扇形铁皮的半径为Rcm，圆锥的底面圆的半径为rcm，根据题意，得2πr＝216·π·R180，解得r＝35R.∵402＋35R2＝R2，解得R＝50.∴这块扇形铁皮的半径为50cm.9．(2018·昆明)如图29­6，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为.(结果保留根号和π)图29­6332－π3【解析】如答图，正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OD，OE，过点O作OH⊥DE于点H，第9题答图∴∠DOE＝360°6＝60°，∴OD＝OE＝DE＝1，∴OH＝32，∴S正六边形ABCDEF＝12×1×32×6＝332，∠A＝6－2×180°6＝120°，∴S扇形ABF＝120π·12360＝π3，∴S阴影部分＝332－π3.10．(2019·北部湾)如图29­7，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD.(1)求证：∠BAD＝∠CBD；(2)若∠AEB＝125°，求BD︵的长(结果保留π)．图29­7(1)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∵∠CAD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠CBD.(2