抛物线练习题

抛物线第1页抛物线一、选择题：1．如果抛物线y2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标是（）A．（1,0）B．（2,0）C．（3,0）D．（－1,0）2．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2-x-2y-41=0B．x2+y2+x-2y+1=0C．x2+y2-x-2y+1=0D．x2+y2-x-2y+41=03．直线3yx与抛物线24yx交于,AB两点，过,AB两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,PQ，则梯形APQB的面积为（）A．48B．56C．64D．724．若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为（）A．2B．2C．4D．45．已知抛物线C的方程为212xy，过点A1,0和点3,tB的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是()A.,11,B.,2222,C.,,2222D.,,226．已知抛物线222222(0)1xyypxpab与双曲线)0,0(ba有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A．215B．12C．13D．21227．如图，过抛物线y2＝2px（p0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为（）A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝x38、从抛物线xy42上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）A．5B．10C．20D．159、已知定点A（3，4），点P为抛物线y2=4x上一动点，点P到直线x=－1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（）A．25B．2C．42D．4510.已知抛物线xy42的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且||23||MNNF,则NMF=（)A.6B.4C.3D.12511.双曲线)0,(212222epxyexy的焦点为，抛物线的离心率为则p的值为（）A．－2B．－4C．2D．412．抛物线2xy上一点到直线042yx的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1）B．（41,21）C．)49,23(D．（2，4）13．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（）A．6mB．26mC．4.5mD．9m14．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）A．y2=－2xB．y2=－4xC．y2=－8xD．y2=－16x抛物线第2页15．抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5,m）到焦点距离是6，则抛物线的方程（）A．y2=-2xB．y2=-4xC．y2=2xD．y2=-4x或y2=-36x16．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OAFA＝－4，则点A的坐标是（）A．（2，22）B.(1，2)C.（1，2）D.(2，22)17．过抛物线y2=4x焦点作直线，交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则|AB|=（）A．8B．10C．6D．418．把与抛物线y2=4x关于原点对称的曲线按向量a)3,2(平移,所得的曲线的方程是（）A．)2(4)3(2xyB．)2(4)3(2xyC．)2(4)3(2xyD．)2(4)3(2xy19．过点M（2，4）作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线l有（）A．0条B．1条C．2条D．3条20．过抛物线y=ax2(a0)焦点F作一直线交其于P,Q两点,线段PF,FQ长分别是p、q，则qp11=（）A．2aB．a21C.4aD．a4【答案】ADADDBCBAADABCBBACCC二、填空题：1．抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为．2．抛物线y=2x2的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是．3．P是抛物线y2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是．4．抛物线的焦点为椭圆14922yx的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为.5．设抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是.6．设O是坐标原点，F是抛物线)0(22ppxy的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则||OA为.7．己知等边三角形的一个顶点位于抛物线2yx的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为．8．已知两点(10)A，，(0)Bb，，若抛物线24yx上存在点C使ABC为等边三角形，则b＝______.9．过抛物线22(0)ypxp的焦点F的直线交抛物线于点,AB，交其准线于点C（B在FC之间），且2BCBF，12AF，则p的值为．10．有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线)0p(2pxy2的焦点，则该抛物线的方程是．【答案】1.2；2.4kx；3.（1，0）；4.xy542；5.32；6.p221；7.2-3或2+3；8.5或－13；9.6；10.5xy2。三、解答题：1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．（yx82，62的值为m抛物线第3页2.已知抛物线)0(22ppxy，过点E(a,0)(a≠0)的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若MEPM，NEPN，求的值.（答:-1）3．设动点(,)(0)Pxyx到定点1(,0)2F的距离比它到y轴的距离大12．记点P的轨迹为曲线C（1）求点P的轨迹方程；（2）设圆M过(1,0)A，且圆心M在P的轨迹上，EF是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时弦长||EF是否为定值?请说明理由．4．已知抛物线)0(22ppxy．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，pAB2||．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NABRt面积的最大值．5．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线2y＝2x相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OAOB＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．抛物线第4页6．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF→＝λFB→（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明FM→·AB→为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．7.已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线12,ll，设1l与轨迹C相交于点,AB，2l与轨迹C相交于点,DE，求ADEB的最小值．8．如图，对每个正整数n，(,)nnnAxy是抛物线24xy上的点，过焦点F的直线nFA角抛物线于另一点(,)nnnBst。（Ⅰ）试证：4(1)nnxsn；（Ⅱ）取2nnx，并记nC为抛物线上分别以nA与nB为切点的两条切线的交点。试证：112221nnnFCFCFC；抛物线第5页解答题3解：（1）依题意，P到1(,0)2F距离等于P到直线12x的距离，曲线C是以原点为顶点，1(,0)2F为焦点的抛物线，1P曲线C方程是22yx；（2）设圆心(,)Mab，因为圆M过(1,0)A，故设圆的方程2222()()(1)xaybab令0x得：22210ybya，设圆与y轴的两交点为12(0,),(0,)yy，则12122,21yybyya，2222121212()()4(2)4(21)484yyyyyybaba，(,)Mab在抛物线22yx上，22ba，212()4yy12||2yy，所以，当M运动时，弦长||EF为定值2。4解（Ⅰ）直线l的方程为axy，将pxyaxy22代入，得0)(222axpax．设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为),(11yxA、),(22yxB，则.),(2,04)(42212122axxpaxxapa又axyaxy2211,，∴221221)()(||yyxxAB]4)[(221221xxxx)2(8app．0)2(8,2||0apppAB，∴papp2)2(80．解得42pap．（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为),(33yx，则由中点坐标公式，得paxxx2213，paxaxyyy2)()(221213．∴22222)0()(||ppapaQM．又MNQ为等腰直角三角形，∴pQMQN2||||，∴||||21QNABSNAB||22ABppp22222p即NAB面积最大值为22p5解（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6).∴OBOA=3；当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为(3)ykx，其中0k，由22(3)yxykx得2122606kyykyy，又∵22112211,22xyxy，∴2121212121()34OAOBxxyyyyyy，综上所述，命题“如果直线l过点T(3,0)，那么OBOA=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果OBOA=3,则该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OAOB=3,直线AB的方程为：2(1)3yx，而T(3,0)不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足OBOA=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).6解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由AF→＝λFB→，抛物线第6页即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，－x1＝λx2①1－y1＝λ(y2－1)②将①式两边平方并把y1＝14x12，y2＝14x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝1λ，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝14x2，求导得y′＝12x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝12x1(x－x1)＋y1，y＝12x2(x－x2)＋y2，即y＝12x1x－14x12，y＝12x2x－14x22．解出两条切线的交点M的坐标为(x1＋x22，x1x24)＝(x1＋x22，－1)。所以FM→·AB→＝(x1＋x22，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝12(x22－x12)－2(14x22－14x12)＝0，所以FM→·AB→为定值，其值为0．(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝12|AB||FM|．|FM|＝(x1＋x22)2＋(－2)2＝14x12＋14x22＋12x1x2＋4＝y1＋y2＋12×(－4)＋4＝λ＋1λ＋2＝λ＋1λ．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y