小学六年级数学竞赛讲座 第5讲 工程问题(二)

第五讲工程问题（二）模块一、合作类问题：工程问题的三个基本公式：工作效率×工作时间=工作总量；工作总量÷工作时间=工作效率；工作总量÷工作效率=关系时间；上述三个公式都可以通过第一个公式经过简单的运算导出；在合作问题中工作效率可以叠加，但工作时间不能加单的叠加，这是因为时间是工作量除以工作效率得到的，二商一般不能简单叠加；在工作总量未知时，常常把工作总量假设为单位1.例1．（1）打印一本书稿，甲、乙两个打字员如果合打8天完成，甲单独打12天完成。实际上是乙先打了若干天后，再由甲继续完成，全部完成共用了15天，则实际上甲打了天，乙打了天。（2）一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以完成；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完。现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要小时才能完成。解：（1）甲的工作效率是112，甲、乙两人的工作效率之和是18，所以乙的工作效率是11181224，设甲打了x天，乙打了15−x天，则1511224xx，解得x=9，15−x=6，所以甲打了9天，乙打了6天。（2）由已知，甲少抄2小时，乙多抄了3小时，即甲与乙的工作效率之比为3:2，设甲的工作效率为3x，则乙的工作效率为2x，所以10×(3x+2x)=1，解得x=150，甲的工作效率为350，乙的工作效率为125，(1−2×350)÷(350+125)=8.8（小时）。例2．有一条公路，甲队单独修需要20天，乙队单独修需要30天，丙队单独修需要40天，现在让三个队合修，但中间甲队撤出到另外的工地，结果用了12天才把这条公路修完，则甲队中间撤出天。解：设甲队中间撤出了x天，则12×(111203040)−x×120=1.解得x=6，所以甲队中间撤出了6天。模块二：轮流工作轮流工作问题是指两个人或多个人按顺序交替工作的工程问题，所有人都完成一次工作后看做一个周期，而完成整个工作往往不是整数个周期，这时就要注意经过尽可能多的完整周期后，剩余格子每个人的顺序及格子时间。例3．两个人轮流做一项工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做1个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复轮流做，做完为止，如果甲、乙轮流做这项工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那么乙单独做这项工程需要小时。解：甲、乙轮流做一个工程需要9.8时，甲做了5小时，乙做了4.8小时；乙、甲轮流做一个工程需要9.6时，甲做了4.6小时，乙做了5小时；设：甲的效率是每小时做x，乙的效率是每小时做y.5x+4.8y=1，4.6x+5y=1，解得x=573，y=107310/73，1÷1073=7.3小时，答：乙单独做这个工程需要7.3时.例4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天，已知乙单独完成这项工程需要20天，则甲单独完成这项工程需要天。解：两种方法比较，显然第一种方法用的时间少，也就是甲的效率比乙的效率要高，即第一种方法是用了奇数天：甲、乙、甲、乙、……甲、乙、甲；第二种方法是乙、甲、乙、甲、……乙、甲、乙、甲(半天)；前面偶数天的进度是一样的，也就是最后甲工作1天相当于乙工作1天+甲工作半天，得到甲的效率是乙的2倍，已知乙单独完成这项工程需要20天，则甲单独完成这项工程需要10天。模块三、变速工作变速工作是指工作效率变化的工程问题，在整个工作过程中，要注意工作效率的变化以及不同的工作效率所对应的工作时间。例5．加工一批零件，甲单独做需要60小时，乙单独做需要50小时，已知每小时乙比甲多做12件，如果甲的工作效率提高40%，而乙每小时比原来多做4件，那么两人合作这批零件的23需要小时。解：由已知甲的效率是160，乙的效率是150，12÷(150−160)=3600（件），所以甲每小时完成60件，乙每小时完成72件，甲提高效率后每小时完成60×1.4=84（件），此时乙每小时完成76件，这批零件的23一共有3600×23=2400（件），2400÷(84+76)=15（小时）。例6．甲、乙两人分别加工一批零件，甲用A机器需要6小时才能完成任务，用B机器效率降低60%，乙用B机器需要10小时才能完成任务，用A机器效率提高20%。如果甲用A机器、乙用B机器同时开始工作，中途某一时刻交换机器，最后恰好同时完成任务，则甲、乙完成任务所用的时间为小时。解：甲用A机器的效率为16，用B机器的效率为16×40%=115，乙用A机器的效率为110，用B机器的效率为110×120%=325，设甲用A机器x小时，B机器y小时；那么乙用B机器x小时，用A机器y小时．则1116151311025xyxy，解得45xy.所以完成任务所用的时间为9小时。随堂练习1．一项工程，甲队单独做要10天完成，乙队单独做要6天完成，已知这项工程甲队做了几天后离开，乙队接着做，从开始到完成共用了8天，那么乙队做了多少天？解：设乙队做了x天，则甲队做了8−x天，81106xx，24−3x+5x=30，解得x=3，答：乙队做了3天。2．一项工程，甲队单完成需要40天，若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙合作，又需要20天可完成。如果乙队单独完成此工程，则需要多少天？解：设乙队单独完成需要x天，则3020140x，解得x=60（天），答：乙队单独完成需要60天。3．蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，如果想灌满整池水，单开甲管需要10小时，单开乙管需要12小时，单开丙管需要15小时，上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结果到下午2点水池被灌满。问甲管在何时被关闭？解：上午8点到下午2点，一共是6小时，设甲管放水的时间为x小时，则661101215x，解得6x+30+24=60，x=1，答：甲管在上午9点时被关闭。4．一项工程，甲单独做需要6小时完成，乙单独做需要10小时完成。如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每人工作1小时后交换，那么需要多少小时才能完成任务？解：甲的效率为16，乙的效率为110，每人工作1小时，完成工作的16+110=415，6小时之后，即两人都工作了3小时后，完成了工作的443155，剩下15，甲再做1小时，剩下15−16=130，乙再做需要130÷110=13小时，所以一共需要713小时。5．一项工程，甲单独做需要10天，乙单独做需要15天。如果两人合作，工作效率就要降低，甲每天只能完成原来的45，乙每天只能完成原来的910。现在要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？解：甲原来的效率为110，合作时的效率为110×45=225，乙原来的效率为115，合作时的效率为115×910=350，所以两人合作1天完成工程的237255050，如果合作x天，剩下的8−x天由甲工作，能够完成任务，7815010xx，7x+40−5x≥50，2x≥10，解得x≥5.答：两人最少合作5天。