信号与系统第三章(陈后金)4

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年系统的时域分析线性非时变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应离散时间LTI系统的响应冲激响应表示的系统特性四、序列卷积和图解法计算卷积和列表法计算卷积和卷积和的性质交换律结合律分配律位移特性差分与求和特性1.图解法计算卷积和卷积和的定义为计算步骤：][][][][nkhnxkhkxn(1)将x[k]、h[k]中的自变量由k改为n；(2)把其中一个信号翻转，如将h[n]翻转得h[n]；(3)把h[n]平移k，k是参变量。k0图形右移，k0图形左移。(4)将x[n]与h[kn]相乘；(5)对乘积后的图形求和。例1已知x[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0a1，计算y[k]=x[k]*h[k]10kh[k]n或h[n]x[k]0k1n或x[n]0n1h[-n]例1已知x[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0a1，计算y[k]=x[k]*h[k]01nx[n]0n1h[-n]01nx[n]h[k-n],k0kk0,x[n]与h[kn]图形没有相遇y[k]=0例1已知x[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0a1，计算y[k]=x[k]*h[k]01nx[n]0n1h[-n]01nx[n]kh[k-n],0kk0,x[n]与h[kn]图形相遇nkknaky0][例1已知x[k]=u[k]，h[k]=aku[k]，0a1，计算y[k]=x[k]*h[k]k0，x[n]与h[kn]图形相遇nkknaky0][k0，x[n]与h[kn]图形没有相遇y[k]=00k1y[k]例2计算y[k]=RN[k]*RN[k]otherwise0101][NkkRNknN-101RN[k]或RN[k]n-(N-1)01RN[-n]例2计算y[k]=RN[k]*RN[k]otherwise0101][NkkRNnN-101RN[n]k-(N-1)RN[k-n],kk0k0时,RN[n]与RN[kn]图形没有相遇y[k]=0nN-101RN[n]k-(N-1)RN[k-n],k10Nk0kN1时，重合区间为[0，k]11][0kkykn例2计算y[k]=RN[k]*RN[k]otherwise0101][NkkRNnN-101RN[n]k-(N-1)RN[k-n],k221NkNN1k2N2时，重合区间为[k(N1)，N1]kNkyNNkn121][1)1(k2N2时，RN[n]与RN[kn]图形不再相遇y[k]=0例2计算y[k]=RN[k]*RN[k]k0时,RN[n]与RN[kn]图形没有相遇y[k]=00kN1时，重合区间为[0，k]11][0kkyknN1k2N2时，重合区间为[k(N1)，N1]kNkyNNkn121][1)1(k2N2时，RN[n]与RN[kn]图形不再相遇y[k]=0N-101kRN[k]*RN[k]2N-2N234123otherwise0101][NkkRN2.列表法计算序列卷积和设x[k]和h[k]都是因果序列，则有0],[][][][][0knkhnxkhkxkykn当k=0时，]0[]0[]0[hxy当k=1时，当k=2时，当k=3时，]0[]1[]1[]0[]1[hxhxy]0[]2[]1[]1[]2[]0[]2[hxhxhxy]0[]3[]1[]2[]2[]1[]3[]0[]3[hxhxhxhxy以上求解过程可以归纳成列表法。2.列表法计算序列卷积和x[0]x[1]x[3]x[2]h[0]h[1]h[3]h[2]x[0]h[0]x[0]h[1]x[0]h[2]x[0]h[3]x[1]h[0]x[1]h[1]x[1]h[2]x[1]h[3]x[2]h[0]x[2]h[1]x[2]h[2]x[2]h[3]x[3]h[0]x[3]h[1]x[3]h[2]x[3]h[3]将h[k]的值顺序排成一行，将x[k]的值顺序排成一列，行与列的交叉点记入相应x[k]与h[k]的乘积，对角斜线上各数值就是x[n]h[kn]的值。对角斜线上各数值的和就是y[k]各项的值。解:例3计算与的卷积和。}2,3,0,2,1{][kx}3,2,4,1{][khh[-1]h[1]h[0]h[2]1023102340812204630691423x[-2]x[1]x[0]x[2]x[-1]22846}6,13,14,20,10,10,6,1{][ky利用卷积和的起点坐标等于待卷积两序列起点之和，确定卷积和的原点。解:例4计算与的卷积和。][][kukxk][][kukhk][*][kukukk][][nkununknn0000knknnkk11[](1)[]kkkukkauk)(e)(etututt)(e)()ee(1tuttuattt3.卷积和的性质交换律:x[k]h[k]=h[k]x[k]x[k]{h1[k]h2[k]}{x[k]h1[k]}h2[k]x[k]{h1[k]+h2[k]}x[k]h1[k]+x[k]h2[k]结合律:分配律:3.卷积和的性质位移特性：][][*][][*][kykhkxkhkx][][*])[(][*][nykhnxnhkxknknknx[k]d[kn]=x[kn]推论：若x[k]h[k]=y[k]，则x[kn]h[kl]=y[k(n+l)]差分与求和特性：若x[k]h[k]=y[k]解:例5计算与的卷积和。}4,2,0,1{][kx}3,5,4,1{][kh]1[4][2]2[][kkkkxddd利用位移特性][*]}1[4][2]2[{][*][khkkkkhkxddd]1[4][2]2[khkhkh}12,26,26,15,7,4,1{][*][][khkxky冲激响应表示的系统特性级联系统的冲激响应并联系统的冲激响应因果系统稳定系统一、级联系统的冲激响应h1(t)x(t)z(t)y(t)h2(t))(*)()(1thtxtz)(*)(*)()(*)()(212ththtxthtzty根据卷积积分的结合律性质，有)](*)([*)()(*)(*)()(2121ththtxththtxtyh(t)一、级联系统的冲激响应结论:h(t)=h1(t)*h2(t)x(t)y(t)h2(t)x(t)y(t)h1(t)1)级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。2)交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应。两个离散时间系统的级联也有同样的结论。h1[k]x[k]x[k]y[k]h2[k]h[k]=h1[k]*h2[k]x[k]y[k]h2[k]x[k]y[k]h1[k]二、并联系统的冲激响应h1(t)h2(t)+y(t)x(t)y1(t)y2(t))(*)()(11thtxty)(*)()(22thtxty)(*)()(*)()(21thtxthtxty应用卷积积分的分配律性质，有)]()([*)()(21ththtxtyh(t)二、并联系统的冲激响应结论:并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和。h(t)=h1(t)+h2(t)x(t)y(t)h1[k]h2[k]+y[k]x[k]y1[k]y2[k]h[k]=h1[k]+h2[k]x[k]y[k]两个离散时间系统的并联也有同样的结论。例1求图示系统的冲激响应，其中h1(t)=e3tu(t)，h2(t)=δ(t1)，h3(t)=u(t)。h1(t)x(t)y(t)h2(t)h3(t)+解：子系统h1(t)与h2(t)级联，h3(t)支路与h1(t)h2(t)级联支路并联。)()(*)()(321thththth)()(e*)1(3tututtd)()1(e)1(3tutut例2求图示系统的单位脉冲响应，其中h1[k]=2ku[k]，h2[k]=d[k1]，h3[k]=3ku[k]，h4[k]=u[k]。h2[k]x[k]y[k]h3[k]h1[k]+h4[k]解：子系统h2[k]与h3[k]级联，h1[k]支路、全通支路与h2[k]h3[k]级联支路并联，再与h4[k]级联。全通支路满足][][*][][kxkhkxky全通离散系统的单位脉冲响应为单位脉冲序列d[k]{}][][][][][][4321khkhkhkkhkhd]1[]5.0)3(5.1[][][)2(21kukukukk三、因果系统定义：因果系统是指系统t0时刻的输出只和t0时刻及以前的输入信号有关。LTI系统因果的充分必要条件因果连续时间LTI系统的冲激响应必须满足0,0)(tth因果离散时间LTI系统的单位脉冲响应必须满足0,0][kkh例3判断M1+M2+1点滑动平均系统是否为因果系统。)0,(21MM解：M1+M2+1点滑动平均系统的输入输出关系为][11][2121nkxMMkyMMn系统的单位脉冲响应为][11][2121nkMMkhMMnd即其它0)1/(1][2121MkMMMkh显然，只有当M1=0时，才满足h[k]=0,k0的充要条件。即当M1=0时，系统是因果的。四、稳定系统定义：若系统对任意的有界输入其输出也有界，则称该系统是稳定系统。(BIBO稳定)LTI系统稳定的充分必要条件连续时间LTI系统稳定的充分必要条件是Shd)(离散时间LTI系统稳定的充分必要条件是Skhk][例4判断M1+M2+1点滑动平均系统是否稳定。)0,(21MM解：由例3可知，系统的单位脉冲响应为其它0)1/(1][2121MkMMMkh111][2121kMMkMMkh由离散时间LTI系统稳定的充分必要条件可以判断出该系统稳定。对h[k]求和，可得例5已知一因果LTI连续系统的冲激响应为h(t)=eatu(t)，判断该系统是否稳定。解：由于ded)(0ah0e1aa当a0时，ah1d)(系统稳定当a0时，d)(h系统不稳定综合例题1.已知某连续因果LTI系统的微分方程为求:(1)零输入响应yzi(t)(2)冲激响应h(t)、零状态响应yzs(t)(3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、强迫响应(4)判断该系统是否稳定。解：)()(12)('7)(txtytytyt0)()(tutx1)0(y2)0('y(1)系统的特征方程为s2+7s+12=0特征根为s1=3,s2=4（两不等实根）ttBAty43ziee)(t0零输入响应为代入初始状态y(0),y'(0)y()0)0(ziyBA===1=y'()0)0('ziyBA43==2解得A=6B=5系统的零输入响应为0,e5e6)(43zittytt解：(2))(e)(e)(43tuDtuCthtt利用冲激平衡法可求出C=1D=1系统的零状态响应)(*)()(zsthtxty)()ee(*)(43tututt)()e41e31121(43tutt