金版教程2017高考数学文二轮复习第三编考前冲刺攻略第一步考前必看八大提分笔记七概率与统计3-1-7

第一步考前必看八大提分笔记七、概率与统计第三编考前冲刺攻略1应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3解决古典概型的重要前提是求基本事件的总数，这些基本事件必须是等可能的，同时应注意：在涉及抛掷骰子的问题中，将一枚骰子连续抛掷两次和将两枚骰子抛掷一次是一样的．出现的点数为(a，b)和(b，a)是两种不同的情况，应作为两个基本事件．4解决概率问题要弄清几个事件：等可能事件(涉及排列组合)、互斥事件(或和事件)、相互独立事件(或积事件)、独立重复事件(注意是否带有条件)，合理选用公式．若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也都是相互独立事件．5要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．6几何概型一般地，在几何区域D内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A)＝d的度量D的度量.此处D的度量不为0，其中“度量”的意义依D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等．即P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.7对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率．茎叶图没有原始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了．8众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．平均数：样本数据的算术平均数，即x＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．标准差的平方就是方差，方差的计算(1)基本公式s2＝1n[(x1－x])2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．(2)简化计算公式s2＝1n[(x21＋x22＋…＋x2n)－nx2]，或写成s2＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方．9变量间的相关关系假设我们有如下一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)．线性回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝i＝1nxi－xyi－yi＝1nxi－x2＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x.10独立性检验的基本方法一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表如表：y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d根据观测数据计算由公式K2＝nad－bc2a＋ba＋cb＋dc＋d所给出的检验随机变量K2的观测值k，并且k的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X与Y有关系”的可信程度．抽样方法理解不清致误例1某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是()A.简单随机抽样法B．抽签法C.系统抽样法D．分层抽样法[正解]显然总体差异明显，并且按比例进行抽样，是分层抽样，选D.[错解]A[错因分析]没有理解三种随机抽样的概念，本质特点没有抓住．[防范措施]简单随机抽样常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样法常常用于总体个数较多时；分层抽样常常用于总体由差异明显的几部分组成，主要特征是分层并按比例抽样.分层抽样是高考考查的一个热点，因为在实际生活中有差异的抽样比其他两类抽样应用空间大.补救训练1[2016·郑州三模]某中学有学生270人，其中七年级108人，八、九年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按七、八、九年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是()A.②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样解析由分层抽样和系统抽样概念可知，选D.“基本事件”概念不清致误例2先后抛掷三枚硬币，则出现“两个正面，一个反面”的概率为________．38[正解]所有的基本事件有：(正，正，正)(正，正，反)(正，反，正)(反，正，正)(正，反，反)(反，正，反)(反，反，正)(反，反，反)八种，而“两正一反”事件含三个基本事件，∴P＝38.[错解]所有基本事件有：三正，两正一反，两反一正，三反；∴出现“两正一反”的概率为14.[错因分析]没有理解基本事件的概念，所列举出的事件不是等可能的．[防范措施]对于公式P(A)＝mn(n和m分别表示基本事件总数和事件A包含的基本事件数)，仅当所述的试验结果是等可能出现时才成立．解题时要充分理解古典概型的定义，验证基本事件的有限性及等可能性．补救训练2[2016·西安八校联考]从a，b，c三人中选出两人参加演讲比赛，则a被选中的概率为________．23解析由题意得从a，b，c三人中选出两人有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共三种情况，其中a被选中有(a，b)，(a，c)，共两种情况，故所求概率P＝23.互斥事件概念不清致误例3抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P(A∪B)．[正解]将A∪B分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件，记出现“1、2、3”为事件C，出现“5”为事件D，则C与D两事件互斥，所以P(A∪B)＝P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝36＋16＝23.[错解]因为P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝12＋12＝1.[错因分析]事件A、B不是互斥事件，使用加法公式错误．[防范措施]在应用公式PA∪B＝PA＋PB求解概率问题时，一定要注意分析事件是否互斥，若事件不互斥，可以转化为互斥事件，再用公式.补救训练3在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；(2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．解设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B，随机选取两种的情况为(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，…，(4,5)，共15种．(1)芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)，(1,3)．故P(A)＝215.(2)芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的取法有1种：(0,2)．故P(B)＝1－115＋115＝1315.几何概型中“测度”不准致误例4如图所示，在等腰Rt△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AMAC的概率为________．34[正解]在AB上取一点D，使AD＝AC，设AMAC为事件E.因为AD＝AC＝a，∠A＝π4，所以∠ACD＝∠ADC＝3π8.则P(E)＝∠ACD∠ACB＝3π8π2＝34.[错解]记AMAC为事件E，设AC＝BC＝a，因为△ABC为直角三角形，所以AB＝2a.在AB上任取一点D，使AD＝AC＝a，那么对线段AD上的任意一点M都有AMAD＝AC.故AMAC的概率P(E)＝ADAB＝a2a＝22.[错因分析]由题意，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，则射线CM在∠ACB内部均匀分布，但点M在AB上的分布是不均匀的．[防范措施]等可能性是判断一个实验是不是几何概型的重要特征之一，在解题过程中若忽视该性质，常常会导致解题错误.解决此类问题一般分析等可能性，明确测度，计算概率.补救训练4[2016·贵州七校联盟联考]设直角三角形的直角边长x，y均为区间(0,1)内的随机数，则斜边长小于34的概率为()A.9π64B.964C.9π16D.916解析由题意知0x1，0y1，不等式组表示的区域为一个边长为1的正方形，面积S1＝1.根据勾股定理可得斜边长为x2＋y2，根据题意可得x2＋y234，x2＋y2342，即点(x，y)在以(0,0)为圆心，34为半径的圆内，则既在圆内又在正方形区域内的点构成的区域的面积S2＝14·π·342＝9π64，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率P＝9π641＝9π64，故选A.