【图形的相似】全章复习提高

1《图形的相似》全章复习提高一、【整章的知识结构】二、【知识要点归纳】(一)比例线段1、线段的比（长度之比）：比例尺=实际距离图距（注：单位统一）2、比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即ab＝cd，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段3、比例中项：如果ab＝bc那么b叫做a、c的比例中项，也可以写成b2＝ac4、比例性质：（1）基本性质：bcaddcbaacbcbba2（2）合比定理：ddcbbadcba（3）等比定理：)0.(ndbbandbmcanmdcba5、黄金分割：如图，若ABPBPA2，则点P为线段AB的黄金分割点．6、平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。4.相似三角形的性质BAP相似多边形的性质值班员相似图形相似多边形相似三角形相似三角形的判定方法和性质三角形中位线梯形中位线三角形重心坐标与图形的运动坐标表示物体的位置2（1）对应边的比相等，对应角相等.（2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质:三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质:梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。(三)位似:位位似似::如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位位似似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比利用位似可以将一个图形放大或缩小三、【经典例题】例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？例2.如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．例3.如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（）A．4.5米B．6米C．7.2米D．8米例4.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？3例5.如图，已知四边形BDFE是菱形，DC=21BD，且DC=4，求AE的长度例6.如图，在△ABC中，AB=14，AC=6，在AC上取一点D，使AD=3，如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，则AE的长度为多少？四、【课堂训练】（一）选择题1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（）（A）mnnm（B）nmmn2（C）nmmn（D）mnnm22．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且ACAD＝31，AE＝BE，则（）（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD题2题4题53．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（）（A）2（B）3（C）4（D）55．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（）（A）∠APB＝∠EPC（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP︰BC＝2︰36．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）ADCD＝ABAC；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个_A_B_C_E_F_DBACD4题6题7题87．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）（A）AE⊥AF（B）EF︰AF＝2︰1（C）AF2＝FH·FE（D）FB︰FC＝HB︰EC8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（）（A）4︰10︰25（B）4︰9︰25（C）2︰3︰5（D）2︰5︰25题9题10题1110．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（）．（A）5︰12（B）9︰5（C）12︰5（D）3︰211．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝41AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（）（A）2︰1（B）3︰2（C）3︰1（D）5︰212．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（）（A）4cm、10cm（B）5cm、10cm（C）4cm、23cm（D）5cm、23cm题12（二）填空13．已知线段a＝6cm，b＝2cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm．14．若cba＝acb＝bca＝－m2，则m＝______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝21FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．5题16题17题1817．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．题19题20题2120．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则△ABC的面积是______．21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8cm，AD＝8cm，BC＝14cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．(三)解答题23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．24.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证ABAE＋CDCG＝1625.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．26.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设BCAB＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．27.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，CA＝8cm，动点P从点C出发，以每秒2cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝41S△ABC？28.如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．29.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.730.（1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。求证：AE//BC；（2）如图二，将(1)中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作△EDC改成相似于△ABC。请问：是否仍有AE//BC？证明你的结论。31.如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间（06t），那么：（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式。（2）当△POQ的面积最大时，△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由。（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似？32.如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积．33.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．OPAXYBQ8【课后作业】1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=16，将△ABC沿DE折叠，使点C落在BC边上的C’处，并且C’D∥BC，则CD的长度是_________。2．如图，在直角梯形ABCD中，AD=8，AB=2，DC=3，P为AD上一点，若△PAB和△PCD相似，则AP的长度为多少？3.如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的角平分线，且交AB于点E，DB与CE相交于点O，已知AB=7，BC=5，则DBOB等于_________。4.如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，过点D垂直于直线AB的直线交BC与点F，交AC的延长线于点E，请说明：△DCF∽△DEC。BCEADC'ADCBPOADBCEFABECD