高等代数习题2

高等代数习题库第一章行列式1.决定以下排列的反序数，从而决定它们的奇偶性.(1)134782695(2)217986354(3)9876543212.如果排列121nnxxxx的反序数为k，排列121nnxxxx的反序数是多少?3.写出4阶行列式中所有带有负号并且包含因子23aa的项.4.按定义计算行列式(1)010000200001000nn;(2)001002001000000nn5.设112111()3211121xxfxxx，不计算行列式，求展开式中3x的系数.6.求12121212111222nnnnjjjjjjjjjnjnjnjaaaaaaaaa，这里12njjj是对所有n元排列求和.7.证明：1111111212122221221121()()()()()()()()()()()()()()()()()()jnnnnjnjnnnnnnjnndatatatdtatatatdatatatatatatddtdtatatatdatatatdt8.计算下列行列式.(1)2464273271014543443342721621;(2)xyxyyxyxxyxy;(3)1234234134124123(4)1111111111111111xxyy;(5)2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaabbbbccccdddd(6)0111101111011110;(7)7326894972735334;(8)12345237101335111621277721453109.已知n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa12,,,nbbb为常数，若D的值为c，求下列行列式的值:2111121211221212222221122nnnnnnnnnnnababbabbabbababbabbabbab10.设D是n阶行列式，若D的元素间满足关系：(,1,2,,)ijjiaaijn则称D是一个反对称行列式.求证：当n是奇数时,n阶反对称行列式的值为零.11.计算下列n阶行列式(1)111112001030100n；(2)122222222232222n；(3)xaaaaaxaaaaaxaaaaaxa；(4)123111111111111(0,1,2,,)1111inaaaaina；(5)222212112aaaaaa；(6)111(1)()(1)()1111nnnnnnaaanaaanaaan；(7)000000000000xyxyxyyx；(8)1231231231231111nnnnaaaaaaaaaaaaaaaa12.证明(1)1111111112222222222bccaababcbccaababcbccaababc；(2)22222200111010;(0)010010xyzxzyzyxyzyzxzxzyxyx(3)11000100;()01000001nn(4)cos100012cos100cos012cos0000012cosn.13.计算下列行列式的值(1)111111221111111111221222222221221111;(0,0,1,2,,1)nnnnnnnnnnnnnnniinnnnnnnnaabababbaabababbabinaabababb;(2)12323413452131nnn;(3)xaaaaaxaaaaaxaaaaaax;(4)211121221222212;(0)nninnnnxaaaaaaaxaaaxaaaaxa(5)122221212111nnnnnnnnnxxxxxxxxx;(6)xaaaabxaaabbxaabbbxabbbbbx;(7)xyyyyzxyyyzzxyyzzzxyzzzzx；(8)750000027500000275000002700000007500000275000002714.利用Laplace定理计算(1)1112101012211311221003013;(2)11111111nnnnnnnnabababcdcdcd15.利用Laplace定理证明1111111,11,11,11,1,11,1,11,10000kkkkknkkkkkkkkknkkknknnnnknknnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa16.设1212,,,;,,,nnaaabbb都是实数，且0,1,2,,,1,2,,ijabinjn.计算行列式D的值，其中111212122212111111111nnnnnnababababababDababab17.用克拉默法则解下列方程组(1)12341234123412342326223832242328xxxxxxxxxxxxxxxx;(2)12341234123412344142524222xxxxxxxxxxxxxxxx(3)1234512345123451234512345224123428323434222233xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx;(4)121232343454556156056056051xxxxxxxxxxxxx18.设水银密度h与温度t的关系为230123haatatat由实验测定得以下数据：|0102030|13.6013.5713.5513.52tCCCCh求15,40tCC时水银密度(准确到小数两位).19在几何空间中有不在同一直线上的三点11112222(,,),(,,)MxyzMxyz和3223(,,)Mxyz，试建立用行列式表示的过这三点的平面方程.20.设123:0,:0,:0,LxyLxyLxy是三条不同的直线，若123,,LLL交于一点，试证：0第二章矩阵1.设A是n阶矩阵，k是一个数，试问det()kA与det()kA有什么关系？2.设311111212,210123101AB，计算,ABABBA.3.计算(1)2211310012;(2)1101n;(3)cossinsincosn;(4)40312573;(5)40312573;(6)100100n;(7)11121212221211aabxxyaabybbc;(8)1111111111111111n4.求所有与矩阵A可交换的矩阵.100010(1)012;(2)001312000AA5.证明：若n阶矩阵A与所有的n阶矩阵可交换,那么A一定是数量矩阵.6.在中学代数中,有平方差公式22()()ababab,现设,AB是两个n阶矩阵,问对于矩阵是否有22()()ABABAB成立?为什么?7.用ijE表示i行j列的元素为1,而其余元素全为零的nn矩阵,而()ijnnAa.证明：(1)如果1212AEEA,那么当1k时10ka,当2k时20ka;(2)如果ijijAEEA,那么当ki时0kia,当kj时0jka且iijjaa;(3)如果A与所有的n阶矩阵相乘可交换,那么A一定是数量矩阵,即AaE.8.如果1()2ABE,证明：2AA当且仅当2BE.9.矩阵A称为对称的,如果TAA,证明：如果A是实对称阵且20A,那么0A.10.矩阵A称为反对称的,如果TAA,证明:任一nn矩阵都可以表示为一对称阵与一反对称阵之和.11.设()ijAa是n阶矩阵,则A主对角线上元素之和1122nnaaa称为矩阵A的迹,记为trA.设,AB为n阶矩阵,k是常数,求证：(1)()trABtrAtrB；(2)()trkAktrA；(3)()()trABtrBA.12.求证：(1)上(下)三角阵的逆矩阵也是(下)三角阵；(2)对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵；(3)反对称矩阵的逆矩阵也是反对称矩阵.13.设123045006A,用初等变换的方法求1A,通过求1A来回答下面的问题：可逆的上三角阵11121222000nnnnbbbbbBb的逆矩阵还是上三角阵吗?为什么?14.解矩阵方程.(1)223110110111121201X;(2)2XAXAE,其中101020101A.15.若n阶矩阵,AB都可逆,问,ABAB也可逆吗?为什么?16.把下列矩阵化为它的等价标准形.(1)2111321011124413A;(2)0111211232011132A17.设120011110111A,求可逆矩阵P与Q,使得000rEPAQ.18.求1A,设(1)223110121A;(2)111210110A;(3)1111111111111111A;(4)1234231211111026A;(5)2100320057181316A;(6)2100002100002100002100002A19.若,AB为n阶矩阵,nEAB可逆,求证：nEBA也可逆.20.对n阶矩阵,AB,求证：***()ABBA.21.求证：若2n,则**2()||nAAA.22.计算下列分块矩阵的乘法.23.设有分块矩阵00ACB,其中,AB为可逆矩阵,求C的逆矩阵.24.设,AB为n阶方阵,求证：||||ABABABBA25.设ABBA,求证:22||ABABBA26.设A是4阶矩阵,||2A,求1*|4|AA的值.27.设A是n阶方阵且2AA,求证:2nEA是可逆矩阵.28.若3n,求证下列行列式的值为零.111212122212111111111nnnnnnxyxyxyxyxyxyxyxyxy29.设,,,ABCD都是n阶矩阵,求证：||||||||ABCDBADCMABCDABCDABCDABCDCDABDCBA30.设,AB分别是nm和mn矩阵.证明：||||mnmnEBEABEBAAE31.设,AB分别是nm和mn矩阵,0.证明：||||nmnmEABEBA32.设,AB分别是n阶方阵,证明：若,ABAB都是可逆矩阵,则ABBA也是可逆矩阵,并求其逆矩阵.(提示：000EEABEEABEBAEBAB).33.设,,,ABCD都是n阶方阵,A是可逆矩阵,且ACCA.求证：ABADCBCD.(提示：1110000EABAEABC