信号与系统第四章(陈后金)3

信号与系统SignalsandSystems普通高等教育“十一五”国家级规划教材《信号与系统》陈后金，胡健，薛健高等教育出版社，2007年信号的频域分析连续周期信号的频域分析连续非周期信号的频域分析离散周期信号的频域分析离散非周期信号的频域分析信号的时域抽样和频域抽样连续非周期信号的频域分析连续时间信号的傅氏变换及其频谱常见连续时间信号的频谱连续时间傅氏变换的性质二、常见连续时间信号的频谱常见非周期信号的频谱(频谱密度)单边指数信号双边指数信号e-a|t|单位冲激信号d(t)直流信号符号函数信号单位阶跃信号u(t)常见周期信号的频谱密度虚指数信号正弦型信号单位冲激串（一）常见非周期信号的频谱1.单边指数信号，，0)(e)(-aatutxtttxXtde)()j(j--幅度频谱221)j(aX相位频谱)arctan()(a-tttdeej0a--aaaj10)j(e)j(--t（一）、常见非周期信号的频谱1.单边指数信号，，0)(e)(-aatutxt221)j(aX)arctan()(a-单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱t01)(tx0a/1)j(X0)(2/π2/π-（一）、常见非周期信号的频谱2.双边指数信号e-a|t|幅度频谱tttttxXtdcose2dcos)(2)j(00a-222)j(aaX0)(222220)cossin(e2aaaaa--ttt相位频谱（一）、常见非周期信号的频谱3.单位冲激信号d(t)单位冲激信号及其频谱ttttxtFttde)(de)()]([jj----dd10t)(td)1(01)j(X（一）、常见非周期信号的频谱4.直流信号x(t)=1,-t直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的方法求出其傅里叶变换。]e1[lim]1[||0tFF-]2[lim220)(π2d000]2[lim220π2)arctan(2d222--（一）、常见非周期信号的频谱4.直流信号对照冲激、直流时频曲线可看出:0t1)(tf0)π2()j(X时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。直流信号及其频谱（一）、常见非周期信号的频谱5.符号函数信号符号函数定义为-010001)sgn(tttt]e)[sgn(lim)][sgn(0ttFtF-tttFtttttdeedee)1(]e)[sgn(j0j0------------0)j(0)j(jejettttj1j1--j2（一）常见非周期信号的频谱5.符号函数信号-010001)sgn(tttt)j(X02/π2/π-)(0符号函数的幅度频谱和相位频谱（一）常见非周期信号的频谱6.单位阶跃信号u(t)阶跃信号及其频谱0t)(tu1)j(X0)π(2/π2/π-)(0)}()({21)}()({21)(tututututu---)sgn(2121tdj1)(π)]([tuF（二）常见周期信号的频谱密度1.虚指数信号)(e0j-tt)(π2de1jd--tt由)(π2de]e[0)j(j00d----tFtt得)(π2de]e[0)j(j00d---tFtt同理:)π2(00)j(X虚指数信号频谱密度（二）常见周期信号的频谱密度2.正弦型信号)]()([π)ee(21cos00jj000dd--Fttttt0cos100-)π()π(0)j(X余弦信号及其频谱函数（二）常见周期信号的频谱密度2.正弦型信号)]()([jπ)ee(j21sin00jj000dd-----Fttttt0sin100-)π()π(0)j(X0)(2/π2/π-正弦信号及其频谱函数（二）常见周期信号的频谱密度3.一般周期信号两边同取傅里叶变换tnnnCtx0je)(~-]e[)j()](~[0jtnnnCFXtxF-)(π2)](~[0dnCtxFnn--)π2(00T]e[0jtnnnFC-（二）常见周期信号的频谱密度4.单位冲激串因为dT(t)为周期信号，先将其展开为指数形式傅里叶级数：---ntnnTTnTtt0je1)()(dd)(1π2)]([0ddnTtFnT--)(00dnn----nTnTtt)()(dd（二）常见周期信号的频谱密度4.单位冲激串)(1π2)]([0ddnTtFnT--)(00dnn----nTnTtt)()(dd00-0)]([tFTd)(00T-T)(tTd)1(t单位冲激串及其频谱函数三、傅里叶变换的基本性质1.线性特性2.共轭对称特性3.对称互易特性4.展缩特性5.时移特性6.频移特性7.时域卷积特性8.频域卷积特性9.时域微分特性10.积分特性11.频域微分特性12.能量定理1.线性特性，；若)j()()j()(2211XtxXtxFF)j()j()()(2121bXaXtbxtaxF则其中a和b均为常数。2.共轭对称特性)j()(XtxF若)j(*)(*-XtxF则当x(t)为实函数时，有|X(j)|=|X(-j)|，()-(-))j(*)(*XtxF-)(je)j()j(XX)j(j)j(IRXX)j()j(),j()j(IIRR----XXXXX(j)为复数，可以表示为2.共轭对称特性)j()(XtxF若)j(*)(*-XtxF则当x(t)为实偶函数时，有X(j)=X*(j)，X(j)是的实偶函数)j(*)(*XtxF-当x(t)为实奇函数时，有X(j)=-X*(j)，X(j)是的虚奇函数3.时移特性)j()(XtxF若0j0e)j()(tFXttx--则式中t0为任意实数证明：tttxttxFtde)()]([j00----令x=t-t0，则dx=dt，代入上式可得de)()]([)(j00---txttxF0je)j(tX-信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。例1试求图示延时矩形脉冲信号x1(t)的频谱函数X1(j)。0A2t2-)(tx0At)(1txT解：无延时且宽度为的矩形脉冲信号x(t)如图，)2(Sa)j(AXTXXj1e)j()j(-)()(1Ttxtx-TAje)2(Sa-因为故，由延时特性可得其对应的频谱函数为4.展缩特性证明:)j()(XtxF若)j(1)(aXaatxF则tatxatxFtde)()]([j--)j(1de)(1)]([jaXaxaatxFa--令=at，则d=adt，代入上式可得时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。4.展缩特性)j()(XtxF若)j(1)(aXaatxF则X(j)-x(t)x(t)X(j)-tt0.5-0.51-1尺度变换后语音信号的变化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段语音信号(“对了”)。抽样频率=22050Hzx(t)x(t/2)x(2t)