北京航空航天大学材料力学课件-刘华-3第三章--轴向拉压变形

第三章轴向拉压变形Page1第三章轴向拉压变形§3-1引言§3-3桁架节点位移与小变形概念§3-4拉压与剪切应变能§3-5简单拉压静不定问题§3-6热应力与预应力§3-2拉压杆的变形与叠加原理§3-7拉压杆弹塑性分析简介§3-8结构优化设计概念简介第三章轴向拉压变形Page2思考：为什么要研究变形？下述问题是否与变形相关？•各杆内力？•A点位移?•各杆材料不同，温度变化时内力？AF123AF45§3-1引言第三章轴向拉压变形Page3§3-2拉压杆的变形与叠加原理•轴向变形胡克定律一、拉压杆的轴向变形与胡克定律FFl1l1bbNFA，p()ENFllEA拉压刚度llEAFN(伸长为正)ll1ll-l•横向变形1bbb第三章轴向拉压变形Page4二、拉压杆的横向变形与泊松比试验表明：对传统材料，在比例极限内，且异号。——泊松比FFl1l1bb1bbb00.5,bb横向正应变定义：)1(2EG第三章轴向拉压变形Page5例：已知E,,D，d，F，求D和d的改变量。FFdD思考：当圆管受拉时，外径减小，内径增大还是减小？横向应变中的横向：横截面上任意一点沿面内任意方向泊松比：对于大多数各向同性材料00.5铜泡沫：=-0.39第三章轴向拉压变形Page6例：已知E,,D，d，F，求D和d的改变量。FFdD224FFEAEDdE224FDdE解：224FDDDDdE先求内周长,设ds弧长改变量为du,’＝du/dsdu=’dsddsu0ddsEdDF022)(4EdDFd)(422udEdDFd)(422dds第三章轴向拉压变形Page7三、多力杆的变形与叠加原理解：1.内力分析。轴力图2.变形计算。（用何方法？）方法一：各段变形叠加步骤：*用截面法分段求轴力；*分段求出变形；*求代数和。例：已知E，A1，A2，求总伸长l1l2l3lF2F312123123FlFlFlllllEAEAEAFFNFxNFllEA第三章轴向拉压变形Page8•阶梯形杆：讨论：n－总段数FNi－杆段i轴力N1niiiiiFllEA)(d)()d(NxEAxxFl•变截面变轴力杆N()()lFxldxEAx第三章轴向拉压变形Page9解法二：各载荷效应叠加与解法一结果一致，引出叠加原理1l2l3lF2F121222bFlFllEAEA312123abFlFlFllllEAEAEA1l2l3lF(a)1l2l3l2F(b)例：已知E，A1，A2，求总伸长（续）lxFNFxNF2F23112()aFllFllEAEA第三章轴向拉压变形Page10叠加原理：几个载荷同时作用所产生的总效果，等于各载荷单独作用产生的效果的总和。叠加原理的适用范围*材料线弹性*小变形*结构几何线性第三章轴向拉压变形Page11Fl1F1lFl2F2l*12,lllFl1F1lFl2F2l12FF*lFl1F1l叠加原理成立。叠加原理不成立。*12,lll材料线性问题，材料非线性问题，Fl12FF1l*l第三章轴向拉压变形Page12*几何非线性问题例(2)杆伸长：解：(1)节点C平衡：(4)N2sinFF2N2FlFllEAEA(3)关系：l222/2llll3232EAlEAFll(三次抛物线关系,瞬时机构,叠加原理不成立)sin/l(微小)llFCABNFNFCF例：已知，求与关系。,,FlEAF第三章轴向拉压变形Page13解：距端点x处截面的轴力为总伸长为lqxxdxNFxq例：已知，求,,,qlEA?lNFxqxNFxdxqxdxdlEAEAllqxdxqldxldlEAEA2002(1)为常量qdx微段伸长第三章轴向拉压变形Page14解：(a)取长度为x的杆段为分离体；(c)轴力(e)总伸长：(b)分离体内再取微段，微段载荷(2)为变量qqxddFxqd00xxNFxdFxqdNFxdxdlEA(d)微段伸长：dx0lldllqxxdxNFxdxdNFxx例：已知，求（续）,,,qlEA?l需两次积分，第一次求轴力，第二次求总伸长。EAdxxFldN)()(第三章轴向拉压变形Page1522()qdmAd解：1、叶片的外力作用于微段上的离心力为d例：图示涡轮叶片，已知，角速度，求叶片横截面上的正应力与轴向变形。,,AE第三章轴向拉压变形Page162、叶片的内力与应力3、叶片的变形02222N02RxAFxAdRx22202xRxNFxdxdlEA02N32300236iRiiRFxldxRRRREAEdx微段:总伸长：第三章轴向拉压变形Page17例：已知,求桁架节点A的水平与铅垂位移解：1、轴力与变形分析(拉)(缩短)(压)(伸长)1452AFBCN12FFN2FFN11111222FlFlFllEAEAEAN22222FlFllEAEA11222,EAEAEAll§3-3桁架节点位移与小变形概念第三章轴向拉压变形Page181452ACBA1A2、节点A的位移的精确计算及其困难。•位移求法：杆1伸长到点，杆2缩短到点，以B、C为圆心作圆交于A’点l1A1A2l2•计算困难：解二次方程组；由于位移内力变化，需迭代求解.2A第三章轴向拉压变形Page19小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形。实用解法：*按结构原几何形状与尺寸计算约束反力与内力；*采用切线代圆弧的方法确定节点位移。1452ACBAA1A2A3、小变形问题实用解法第三章轴向拉压变形Page204、节点位移计算22xFlAAAlEA1222cos45221ylFlFlAlEAEAFlEA1452ABCA1A2A第三章轴向拉压变形Page21例：ABC刚性杆，求节点C的位移。然后画B点位移思考：有同学问BB’,CC’铅垂向下，刚性杆ABC杆为什么能伸长？再画C点位移答：切线代圆弧的近似。解：先计算杆1内力与伸长l1NF1FBDACC’B’第三章轴向拉压变形Page22例：零力杆：求A点的位移。*AB杆不受力，不伸长转动。第三章轴向拉压变形Page23例：画出节点A的位移杆两端均为可动点情形：平移+变形(伸长或缩短)+转动(切线代圆弧)FABCABC第三章轴向拉压变形Page24例：画节点A的位移FA12B3AB第三章轴向拉压变形Page25*设想固定BD中点和BD方位例：求A，C相对位移2'ACCCFFABCDCO*D点随OD杆变形发生位移，DC杆平移、伸长、转动，由对称性，C点到达C’点。第三章轴向拉压变形Page26§3-4拉压与剪切应变能两条平行的研究途径(从物理、理力到材力)方法一：方法二：hhvv1m2m1m2mTT1mg2mgTmgmgTammmmgamm12122112()2112()mmgamm2212121122EmVmVmghmgh0Et由例：无摩擦，求21,mma第三章轴向拉压变形Page27•功能原理成立条件：载体由零逐渐缓慢增加，动能与热能等的变化可忽略不计。FF•应变能（）：构件因变形贮存能量。V•外力功():构件变形时，外力在相应位移上做的功。W外力功、应变能与功能原理（根据能量守恒定律）WVε•弹性体功能原理：第三章轴向拉压变形Page28一、轴向拉压应变能*线弹性材料•拉压杆应变能fdfdFdAoff2N22FlFlEAε,VWEAlFV22Nεdd,WfΔfW0d•外力功2FlW•弹性体功能原理：•对线弹性体：（如何推导）第三章轴向拉压变形Page29*非线性弹性材料Fof2FW0Wfd•外力功计算•功能原理是否成立?ε?VW第三章轴向拉压变形Page30二、拉压与剪切应变能密度单向受力dxdydzxyz221222vEE应变能密度：单位体积内的应变能，用表示vεdddd2xzyVddd2xyz•单向受力应变能密度•单向受力体应变能22VvdxdydzdxdydzE第三章轴向拉压变形Page31纯剪切dxdydzxyz221222vGGεdddd2xzyVddd2xyz22VvdxdydzdxdydzENF(x)(x)=,dydzAA•拉压杆•单向受力体应变能2()d2()NlFxVxEAx22NFlVEA（常应力等直杆）•纯剪应变能密度（变力变截面杆）第三章轴向拉压变形Page322、应变能计算3、位移计算例：计算节点B的铅垂位移。解：1、轴力分析FA45l12BC3N12FFN2FFN3FFε2VFWBy＝EAFlBy)12(2222N1N2N3ε2222FlFlFlVEAEAEAEAlF)12(2第三章轴向拉压变形Page33FFABCD例：用能量法求A，C相对位移。解：1、轴力分析12周边四杆轴力：122NFF2NFF2、应变能、外力功计算222N1N2ε2242,222FlFlFlVEAEAEA杆2轴力：3、位移计算ε,VW/1,2ACWF/(22)ACFlEA第三章轴向拉压变形Page34总结：1、不用通过画变形图来确定节点的位移。2、只能求解沿载荷作用线方向的位移。3、同时作用有多个载荷时，无法求载荷的相应位移。无法求A点的水平位移PABCF无法求A点的铅垂位移PABC第三章轴向拉压变形Page35§3-5简单拉压静不定问题*静不定问题：根据静力平衡方程不能确定全部未知力的问题。*静定问题：由静力平衡方程可确定全部未知力(包括支反力与内力)的问题。*静不定度：未知力数与有效平衡方程数之差。一度静不定AF123静定问题1452AFBC第三章轴向拉压变形Page36平衡方程静不定问题求解思路协调方程赘余反力数=协调条件数求解物理方程：F123AAFAN1FN3FN2FAA2l1l3lN1N2,,0ifFF…12,,0igll…N1N2,,0igFF…kNklF第三章轴向拉压变形Page37解：1、平衡方程2、变形协调方程3、胡克定律4、补充方程F123AAFAN1FN3FN2FAA2l1l3lN2N1sinsin0FFN1N2N3coscos0FFFF13cosllN11111FllEAN31333cosFllEA211N1N333cosEAFFEA第三章轴向拉压变形Page381、静不定问题需综合考虑静力学、几何与物理三方面；注意：5、联立求解平衡方程及补充方程2、内力特点：内力分配与杆件刚度有关，某杆刚度增大，轴力亦增大。2N1N233311cos2cosFFFEAEAN33113312cosFFEAEAF123AA第三章轴向拉压变形Page392、几何方面3、物理方面4、支反力计算补充方程：解1：1、静力学方面例：求杆两端的支反力。1l2lFAxFBxFABC0AxBxFFF120AxBxFlFl0ACCBll1,AxA